новая папка 1 / 192211

Решение типового примера.

Пусть требуется, используя формулы Крамера, решить систему

х 2у z 4

2x y 3z 53x 4y z 2

Вычислим сначала главный определитель системы , воспользовавшись следующим правилом вычисления определителей третьего порядка:

его. Вычислим вспомогательные определители х , у, z .

Далее, воспользовавшись формулами Крамера, окончательно получим

Осуществим проверку правильности полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:

0 2 ( 1) 2 4,

2 0 ( 1) 3 2 5,

3 0 4 ( 1) 2 2.

Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения.

Ответ: х = 0; у = –1; z = 2.

1

Матричный метод решения системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений

С учетом этих обозначений данная система уравнений (1) принимает следующую матричную форму:

Если матрица А – невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет об-

ратную матрицу А 1 . Умножив обе части уравнения (2) на А 1 , получим:

Равенство (3) называется матричной записью решения системы линейных уравнений (1). Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А 1 .

Пусть имеем невырожденную матрицу

где Аij (i=1, 2, 3; j=1, 2. 3) – алгебраическое дополнение элемента аij в определителе мат-

рицы А, которое является произведением ( 1)i j на минор (определитель второго порядка),

полученный вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Решение типового примера.

Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обрат-

1

Обозначим матрицы

=5 10 5 10

Получили 10 0. Следовательно матрица А имеет обратную матрицу А 1 .

2) Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента определителя матрицы А. 3)

5)Проверим правильность полученной обратной матрицы (произведение обратной мат-

рицы А 1 на матрицу А должно быть равно единичной матрице Е).

1

5 ( 2) 3 3 ( 1) ( 1)

5 ( 2) 1 3 3 ( 1)

5 ( 2) ( 1) 3 7 ( 1)

Получили единичную матрицу. Значит обратная матрица найдена верно. Находим решение данной системы уравнений в матричной форме

Проверим правильность полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:

3 2 0 ( 2) 1

2 3 3 0 ( 2) 8

3 0 2 ( 2) 1

Все три равенства верные, поэтомуделаем выводо правильности полученного решения.

Ответ: х = 3, у = 0, z= –2

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

При решении системы линейных уравнений часто применяется метод Гаусса. Сущность этого метода поясним на примерах.

1. Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

х1 2х2 2х3 2

5х1 8х2 2х3 123х1 х2 3х3 4

Решение.

Исключим из последних двух уравнений х1. Для этого умножим первое уравнение на -5 и результаты прибавим соответственно ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на -3 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему, эквивалентную данной:

Разделив обе части второго уравнения системы (1) на 2, получим систему

1

Теперь исключим из третьего уравнения системы (2) х2.

Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на — 7 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему

Откуда х3 =3, х2=1 и х1=–2. Это решение заданной системы Приведение данной системы к ступенчатому виду (3) практически более удобно, если ис-

пользовать преобразования расширенной матрицы данной системы, т. е. матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид

5 8 2 12 .

3 1 3 4

Умножим элементы первой строки матрицы на— 5 и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на — 3 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

1 2 2 2

0 2 8 22 .

Разделив элементы второй строки на 2, получим

1 2 2 2

0 1 4 11 .

Элементы второй строки умножим на — 7 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

1 2 2 2

0 1 4 11 ,

0 0 25 75

которая позволяет данную систему привести к виду (3) и затем решить ее. 2. Рассмотрим систему уравнений

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

1

Умножим элементы первой строки последовательно на -2, -4 и -5. Полученные результаты прибавим соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу

Элементы второй строки умножим на 6 и результаты прибавим к элементам третьей строки, затем элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу

Элементы третьей строки разделим на -2 и затем элементы четвертой строки прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

Теперь элементы третьей строки умножим на 13 и результаты прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу

Следовательно, данную систему можно записать так:

х1 х2 х3 2х4 4,

Откуда х4 =0, х3=2, х2=–1 и х1=–3.

Матрицы, получаемые после соответствующих преобразований, являются эквивалентами. Их принято соединять знаком ~ .

1

1

Расчетная работа № 3 Задачи линейного программирования. Графический метод.

Несмотря на то, что графический метод решения задач линейного программирования применяется только для задач с двумя искомыми переменными (или в случае трехмерного пространства с тремя), этот метод позволяет понять основную суть линейного программирования.

Типовой пример 1.

Рассмотрим систему неравенств

Найти минимум и максимум линейной формы (2) из области решений системы (1).

Решение.

Построим выпуклый многоугольник, заданный системой неравенств (1). Для этого построим прямоугольную систему координат х1ох2. Если в этой системе координат построить прямую ах1+bх2=с, то эта прямая разбивает плоскость х1ох2 на две полуплоскости, каждая из которых лежит по одну сторону от прямой. Сама прямая в этом случае называется граничной и принадлежит обеим полуплоскостям. Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости удовлетворяют неравенству ах1+вх2≤с, а координаты точек, лежащих в другой полуплоскости, удовлетворяют неравенству ах1+вх2≥с. Построим в плоскости х1ох2 граничные прямые:

чек, лежащих внутри или на границе найденного пятиугольника.

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти те значения х1 и х2 при которых линейная форма L (2) имеет минимум, и те значения х1 и х2 при которых линейная форма L достигает максимума. Из рис. 2 видно, что координаты всех точек, лежащих внутри или на границе пятиугольника, не являются отрицательными, т.е. все значения х1 и х2 больше или равны нулю. Для каждой точки плоскости х1ох2 линейная форма L принимает фиксированное значение. Множество точек, при которых линейная форма L принимает фиксированное значение L1 ,

есть прямая 2х1 х2 L1( 1) , которая перпендикулярна вектору N 2i j . Если прямую 1

передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора N , то линейная форма L будет возрастать, а в противоположном направлении – убывать. Построим прямую

1 для того случая, когда L = 0, т.е. построим прямую 2х1 х2 0. Как видно из рис. 2, при передвижении прямой 1 в положительном направлении вектора N она впервые встречается с вершиной А(0;2) построенного пятиугольника АВСDЕ. В этой вершине линейная форма L

имеет минимум. Следовательно, Lmin 2 0 1 2 2.

2