Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

новая папка 1 / 231808

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2023

Размер:

415.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

2	2	2
5) Дана матрица A 1	7	1	. Найти обратную матрицу.
5	3	3

		3	1	1	2	8
6)	Найти ранг матрицы A	7	1	2	1	12 .
		1	1	3	0	16
		11	2	3	3	20
				2	2	0	1
7)	Найти определитель матрицы A			2	1	3	0 .
				0	1	0	2
				9	2	1	0

	1	1	1
8)	Дана матрица A 1	3	1	. Найти обратную матрицу.
	5	3	4
				4	5
			2	4	5
9)	Найти определитель		5	12	11		.
			3	7	7
				4	6
			1	4	6
10) Найти определитель			1	12	19	.
			1	9	17

1.3. Системы линейных уравнений. Матричный способ, правило Крамера. Метод Гаусса

Теоретический материал

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

a11 x1	a12 x2	a13 x3	b;1
a21 x1	a22 x2	a23 x3	b2 ;
a31 x1	a32 x2	a33 x3	b3 .

Постоянные величины aij (i 1,3; j 1,3) называют коэффициентами системы. Определение: Система чисел x ( x1 ; x2 ; x3 ) называется решением системы уравнений,

если числа x1 , x2 , x3 удовлетворяют этим уравнениям.

Определение: Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение (x1 ; x2 ; x3 ) , иначе систему называют несовместной.

Определение: Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Введем для системы обозначения:

a11

a12

a13

a21

a22

a23

, называемый главным определителем;

a31

a32

a33

a12

a13

a11

a13

a22

a23

;

a21

a23

;

a32

a33

a31

a33

a11

a12

a21

a22

a31

a32

Определитель

получен из главного определителя

заменой i –го

столбца

столбцом B

b2 .

Рассмотрим три случая:

если

0 , то система имеет единственное решение, определяемое формулами

Крамера: x

i 1,3;

если

0, но отличен от нуля хотя бы один из частных определителей

xi , то

система не имеет решений;

если

0 ,

x3 0 , то система имеет бесконечное множество

решений.

Если матрица коэффициентов системы невырожденная, то для нахождения решения

применим также и матричный способ. Решением			матричного уравнения A X B
является матрица–столбец X A 1 B .
a11 x1	a12 x2	a13 x3	0
Определение: Система вида a21 x1	a22 x2	a23 x3	0
a31 x1	a32 x2	a33 x3	0

называется линейной однородной.
Данная система	всегда		имеет		нулевое решение: x1	x2	x3	0 , причем оно
является единственным при				0 .	В противном случае система имеет бесчисленное
множество решений.
					Задание
	x	2 y	z 4
Решить систему	3x	5 y		3z	1 матричным способом	и	с	помощью формул
	2x	7 y		z	8
Крамера

Решение

Найдем главный определитель

	1	2		1					5	3				2			1			2	1
	1	2		1
	3	5		3			1					3						2				5	21		3(		2	7)	2(6	5)	33.
	3	5		3			1		7	1		3		7			1	2		5	3	5	21		3(		2	7)	2(6	5)	33.
	2	7		1					7	1				7			1			5	3
	2	7		1
Так как		33		0 ,		то данная система имеет единственное решение. Для матричного
способа решения определим алгебраические дополнения:
				5 3												3 3										3		5
A ( 1)1 1				5 3			16 ; A ( 1)1 2									3 3			9 ; A ( 1)1 3							3		5	31;
11				7		1				12						2		1			13					2		7
				7		1										2		1								2		7
														1 1											1 2
A		( 1)1 2			2 1		9; A ( 1)2 2							1 1					3	; A ( 1)2 3					1 2			3 ;
21					7	1		22						2			1			23					2		7
					7	1								2			1								2		7
															1 1									1 2
A ( 1)3 1					2 1		11	; A ( 1)3 2							1 1			0 ;		A ( 1)3 3				1 2					11.
31					5	3		32							3		3			33				3			5
					5	3									3		3							3			5
																		16		9		11

																		33		33		33
Обратная матрица							имеет				вид:	A 1						9		3		0	,		а		искомое решение

																		33		33
																		33		33
																		31		3		11

																		33		33		33
представляет собой произведение:
		16		9		11				64		9	88

		33		33		33	4					33						1
X		9		3		0	1			36			3					1

		33		33								33
		33		33			8					33						1 .
			31	3		11	8			124		3	88					1 .
			33	33		33						33

Составим частные определители:

	4	2	1			5	3			2	1		2	1
	4	2	1
	1	5	3	4								8				64	9	88	33;
	1	5	3	4		7		1		7	1	8	5	3		64	9	88	33;
	8	7	1
		4	1	1		3		4		1		4	1
1
1
3		1	3				3				2			25	36	22	33;
3		1	3	8		1	3	8		1	2	1	3	25	36	22	33;
2		8	1
		2	4		5	1			2	4		2	4
	1
	1
	3	5	1				3				2				47	36	44	33.
	2	7	8		7	8			7	8		5	1
	2	7	8

По формулам Крамера имеем:	x	x 33	1,	y	y	33	1,	z	z	33	1.

		33				33				33

			Задание
x1	2x2	3x3	5
Решить систему 2x1	3x2	x3	7 .
3x1	x2	2x3	12

								Решение
				2	3		5	2	3		1	5	3
			1	2	3		5	2	3		1	5	3
Так как			2	3	1	0 , 1	7	3	1	0 , 2	2	7	1	0 ,
			3	1	2		12	1	2		3	12	2
		2		5
	1	2		5
3	2	3		7	0 , то	система имеет			бесчисленное			множество решений. Если
3
	3	1		12
													x1	2x2 3x3 5

первое	уравнение прибавим ко второму,							то получим систему 3x1	x2	2x
								3x1	x2	2x
x1	2x2	3x3	5	или	x1	2x2	5 3x3
3x1	x2	2x3	12,	или	3x1	x2	12	2x3 .
3x1	x2	2x3	12,		3x1	x2	12	2x3 .

	Пусть x3 – свободная неизвестная, а x1															и x2	– базисные. Это возможно потому, что
			2			7 , т.е.				0 .
		1	2
		3	1
		3	1
	Далее,					1				3x3			2		29 7x3 ,	2			5	3x3	3 7x3	. Следовательно,
								5
								5										1
								12 2x					1					3	12	2x3
								12 2x			3		1					3	12	2x3
x1	29			,		x2	3				,	x3		.

	7						7
	7						7
															ВОПРОСЫ ЗАДАНИЙ
	Решить систему уравнений матричным способом, с помощью формул Крамера,
Гаусса:
			11x		3y		z		2
1)			2x		5 y		5z		0
			x	y		z	2
			x	5 y		z	7
2)			2x		y	z	4
			3x		2 y		4z		11

	x	y	4
3)	2x	3y	z	1
	2x	y	3z	11
	2x	y	4z	20
4)	2x	y	3z	3
	3x	4 y	5z	8
	2x	y	3z	7
5)	x	3y	2z	0
	2 y	z	2
	3x	4 y	2z	8
6)	2x	y	3z	1
	x	5 y	z	0
	x	2 y	3z	6
7)	2x	3y	4z	16
	3x	2 y	5z	12
	3x	y	z	4
8)	x	5 y	z	7
	x	2 y	z	2
	2x	y	3z	3
9)	3x	4 y	5z	8
	2 y	7z	17
	x	y	z 2
10)	2x	y	6z	1
	3x	2 y	8

ЛИТЕРАТУРА

1.Виленкин, И. В. Высшая математика: линейная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление: учебное пособие / И. В. Виленкин, В. М. Гробер. - 6-е изд. - Ростов н/Д.: Феникс, 2011. - 414 с. : ил. - (Высшее образование). - ISBN 978-5-222-18236-9

2.Уейская, Н. Б. Линейная алгебра: учебное пособие / Н. Б. Уейская. - Саратов: ФГОУ ВПО "Саратовский ГАУ", 2011. - 76 с. - ISBN 978-5-7011-0708-1

3.Виленкин, И. В. Высшая математика: линейная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление: учебное пособие / И. В. Виленкин, В. М. Гробер. - 6-е изд. - Ростов н/Д.: Феникс, 2011. - 414 с.: ил. - (Высшее образование). - ISBN 978-5-222-18236-9

СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ

АЛГЕБРА-наука об изучении объектов произвольной природы АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ – есть минор взятый со знаком плюс, если сумма его индексов чётна и со знаком минус, если сумма его индексов нечётна МАТРИЦА- прямоугольная таблица составленная из элементов любой природы

МИНОР – определитель n-го порядка, составленный из элементов, стоящих н n пересечении любых n строк и n столбцов.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ – алгебраическая сумма n! Слагаемых составленных из элементов квадратной матрицы РАНГ МАТРИЦЫ – наивысший порядок минора

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ – множество уравнений для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих всем уравнениям системы

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ	4
1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1.1. Действия с матрицами	5
ВОПРОСЫ ЗАДАНИЙ	7
1.2. Разложение определителя по строке или	столбцу. Вычисление
определителей высших порядков. Обратная матрица	8
ВОПРОСЫ ЗАДАНИЙ	11

1.3. Системы линейных уравнений.	Матричный способ, правило Крамера.
Метод Гаусса	12
ВОПРОСЫ ЗАДАНИЙ	15
ЛИТЕРАТУРА	17
ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ	18

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в папке новая папка 1

#
26.02.2023385.6 Кб0231726.pdf
#
26.02.2023240.03 Кб0231757.pdf
#
26.02.2023280.86 Кб2231758.pdf
#
26.02.2023587.14 Кб2231759.pdf
#
26.02.2023203.21 Кб0231778.pdf
#
26.02.2023415.06 Кб0231808.pdf
#
26.02.2023555.3 Кб1231809.pdf
#
26.02.2023597.54 Кб1231810.pdf
#
26.02.2023326.14 Кб1231857.pdf
#
26.02.2023408.27 Кб1231858.pdf
#
26.02.2023499.08 Кб1231879.pdf

	4	2	1			5	3			2	1		2	1
	4	2	1
	1	5	3	4								8				64	9	88	33;
	1	5	3	4		7		1		7	1	8	5	3		64	9	88	33;
	8	7	1
		4	1	1		3		4		1		4	1
1
1
3		1	3				3				2			25	36	22	33;
3		1	3	8		1	3	8		1	2	1	3	25	36	22	33;
2		8	1
		2	4		5	1			2	4		2	4
	1
	1
	3	5	1				3				2				47	36	44	33.
	2	7	8		7	8			7	8		5	1
	2	7	8

	x	y	4
3)	2x	3y	z	1
	2x	y	3z	11
	2x	y	4z	20
4)	2x	y	3z	3
	3x	4 y	5z	8
	2x	y	3z	7
5)	x	3y	2z	0
	2 y	z	2
	3x	4 y	2z	8
6)	2x	y	3z	1
	x	5 y	z	0
	x	2 y	3z	6
7)	2x	3y	4z	16
	3x	2 y	5z	12
	3x	y	z	4
8)	x	5 y	z	7
	x	2 y	z	2
	2x	y	3z	3
9)	3x	4 y	5z	8
	2 y	7z	17
	x	y	z 2
10)	2x	y	6z	1
	3x	2 y	8

	4	2	1			5	3			2	1		2	1
	4	2	1
	1	5	3	4								8				64	9	88	33;
	1	5	3	4		7		1		7	1	8	5	3		64	9	88	33;
	8	7	1
		4	1	1		3		4		1		4	1
1
1
3		1	3				3				2			25	36	22	33;
3		1	3	8		1	3	8		1	2	1	3	25	36	22	33;
2		8	1
		2	4		5	1			2	4		2	4
	1
	1
	3	5	1				3				2				47	36	44	33.
	2	7	8		7	8			7	8		5	1
	2	7	8

	x	y	4
3)	2x	3y	z	1
	2x	y	3z	11
	2x	y	4z	20
4)	2x	y	3z	3
	3x	4 y	5z	8
	2x	y	3z	7
5)	x	3y	2z	0
	2 y	z	2
	3x	4 y	2z	8
6)	2x	y	3z	1
	x	5 y	z	0
	x	2 y	3z	6
7)	2x	3y	4z	16
	3x	2 y	5z	12
	3x	y	z	4
8)	x	5 y	z	7
	x	2 y	z	2
	2x	y	3z	3
9)	3x	4 y	5z	8
	2 y	7z	17
	x	y	z 2
10)	2x	y	6z	1
	3x	2 y	8

	4	2	1			5	3			2	1		2	1
	4	2	1
	1	5	3	4								8				64	9	88	33;
	1	5	3	4		7		1		7	1	8	5	3		64	9	88	33;
	8	7	1
		4	1	1		3		4		1		4	1
1
1
3		1	3				3				2			25	36	22	33;
3		1	3	8		1	3	8		1	2	1	3	25	36	22	33;
2		8	1
		2	4		5	1			2	4		2	4
	1
	1
	3	5	1				3				2				47	36	44	33.
	2	7	8		7	8			7	8		5	1
	2	7	8

	x	y	4
3)	2x	3y	z	1
	2x	y	3z	11
	2x	y	4z	20
4)	2x	y	3z	3
	3x	4 y	5z	8
	2x	y	3z	7
5)	x	3y	2z	0
	2 y	z	2
	3x	4 y	2z	8
6)	2x	y	3z	1
	x	5 y	z	0
	x	2 y	3z	6
7)	2x	3y	4z	16
	3x	2 y	5z	12
	3x	y	z	4
8)	x	5 y	z	7
	x	2 y	z	2
	2x	y	3z	3
9)	3x	4 y	5z	8
	2 y	7z	17
	x	y	z 2
10)	2x	y	6z	1
	3x	2 y	8