2Случ События

Решение. Первую цифру можно набрать 10 способами, вторую – 9, так как одна цифра уже использована, и т. д., седьмую – 4. Тогда общее число возможных размещений равно

.◄

Перестановки

При составлении размещений из элементов по мы получали расстановки, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов. Но если брать расстановки, которые включают все элементов, то они могут отличаться друг от друга лишь порядком. Такие расстановки называются перестановками из элементов, а их число обозначается . Следовательно, число перестановок равно

.

►Пример. Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 5 человек?

Решение. .◄

Сочетания

В тех случаях, когда порядок элементов в расстановке не важен, то говорят о сочетаниях. Сочетаниями из различных элементов по называются все возможные расстановки длины , образованные из этих элементов и отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов. Общее число сочетаний обозначают через или .

Определим это число. Составим все сочетания из по . Затем переставим в каждом сочетании элементы всеми возможными способами. Теперь мы получим расстановки, отличающиеся либо составом, либо порядком, то есть это все размещения без повторений из по . Их число равно . Учитывая, что каждое сочетание дает размещений, по правилу произведения можно записать . Тогда

или .

Для чисел (они называются биномиальными коэффициентами) справедливы тождества (докажите их самостоятельно):

(правило симметрии),

,

(правило Паскаля),

.

►Пример. Составить различные сочетания по два из элементов множества и подсчитать их число.

Решение. Из трёх элементов можно составить следующие три сочетания по два элемента: , , . Их число можно подсчитать и по формуле :

.◄

►Пример. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?

Решение. Поскольку несущественно, в каком порядке отобраны кандидатуры, число вариантов равно .◄

►Пример. Сколько различных прямоугольников можно вырезать из клеток доски, размер которой равен ?

Решение. Прямоугольник однозначно определяется положением его сторон. Горизонтальные стороны могут занимать любое из положения. Тогда число способов их выбора равно . Вертикальные стороны можно выбрать способами. По правилу произведения заключаем, что количество прямоугольников равно .◄

При большом подсчет числа вариантов по этим формулам требует громоздких вычислений . В таком случае пользуются асимптотической формулой Стирлинга

, где .

Замечание. Выше предполагалось, что все элементов данного множества различны. Если некоторые элементы повторяются, то количество расстановок вычисляют по другим формулам.

Например, если среди элементов есть элементов одного вида, элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями находится по формуле

,

где .

Число размещений с повторениями из элементов по элементов равно , то есть

.

Число сочетаний с повторениями из элементов по равно числу сочетаний без повторений из элементов по элементов, то есть

.

Решим задачи с условием в виде «урновой схемы».

►Пример. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наугад деталей 4 стандартных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, то есть числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов: . Определим число исходов, благоприятствующих событию – «среди 6 взятых деталей 4 стандартных». 4 стандартные детали из 7 стандартных можно выбрать способами, при этом остальные детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

.◄

►Пример. В коробке 105 красных и 15 чёрных шаров. Наугад извлекаются 10 шаров. Найти вероятность того, что среди них хотя бы один красный.

Решение. Пусть событие состоит в том, что среди десяти наугад извлечённых шаров есть один красный, событие – два красных, и т. д., событие состоит в том, что среди десяти наугад извлечённых шаров все десять красные. Тогда или . События ( ) несовместны, поэтому

, где

, , …, .

Теперь можно найти . Но вычисление всех десяти вероятностей и последующее их суммирование – процесс трудоёмкий, поэтому рассмотрим другой подход в решении задачи.

Событие – среди десяти наугад извлечённых шаров нет ни одного красного – противоположное к . Его вероятность: . Тогда

.◄

Классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны. Равновозможность исходов опыта следует из предполагаемой симметрии (как в случае игрального кубика или монеты). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. К тому же, это определение предусматривает только конечное или счётное множество элементарных исходов и обязательно знания их вероятностей, что не всегда имеет место. Поэтому классическое определение вероятности события не является общим.

Аксиоматическое построение теории вероятностей. В настоящее время наиболее распространена логическая схема построения теории вероятностей А.Н. Колмогорова (1933 г.). Приведём её основные положения.

Пусть – пространство элементарных событий некоторого опыта и в выделена система событий (алгебра событий), удовлетворяющая свойствам:

– ;

– ;

– .

Предположим, что каждому событию поставлено в соответствие число – вероятность случайного события и верны аксиомы

1. для любого ;

2. (условие нормировки);

3. Если и несовместны, то .

Введённая таким образом тройка называется вероятностным пространством. Этот подход позволяет по известным вероятностям одних событий вычислять вероятности других, достаточно сложных событий, пользуясь только перечисленными аксиомами (при этом не обсуждается трудный вопрос о том, откуда известны первоначальные вероятности). Примером является геометрическая схема теории вероятностей.

Аксиоматический подход не указывает, как конкретно находить вероятность, поэтому для решения задач целесообразно использовать классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности.¹

Геометрическое определение вероятности. Рассмотрим опыт, состоящий в бросании случайным образом точки на отрезок , предполагая, что попадания в любую точку равновозможны. Пространство элементарных событий в этом опыте – все точки отрезка – событие . Поскольку множество элементарных исходов несчётно (бесконечное) и все они равновозможные, то для любого : . То есть классическая схема неприменима. Припишем событию – попаданию брошенной точки на отрезок , входящий в , – вероятность, пропорциональную его длине:

,

где – длина отрезка. Коэффициент найдём из условия нормировки:

,

тогда

.

Легко убедиться в справедливости всех аксиом.

В место отрезка можно говорить о плоской фигуре. Пусть на плоскости задана квадрируемая область (область, имеющая площадь) . Её площадь обозначим . В области содержится область площади . В область наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что она попадет в область ?

Хотя каждое из множеств и содержит бесконечное множество точек, однако «вместимость» множества больше во столько раз, во сколько превышает . Принимая равновозможность всех вариантов, можно считать, что искомая вероятность равна

.

Аналогично поступают и в трёхмерном случае:

.

► Пример. На плоскости начерчены две концентрические окружности радиусами 5 см и 10 см. Найти вероятность того, что точка, брошенная наугад в большой круг, попадет в кольцо (рис. 2), образованное концентрическими окружностями (событие ).

Решение. Найдём площадь меньшего круга (области ):

.

Найдём площадь большего круга (области ):

.

Отсюда искомая вероятность равна:

.◄

ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Рис. 2

Рассмотрим ряд теорем, которые позволят выразить вероятность одного события через вероятности других.

Пусть и являются исходами одного и того же опыта. Эти исходы могут осуществиться как

1) сумма событий , , где и несовместные;

2) сумма событий , , где и совместные;

3) произведение событий , , где одно из этих событий зависит от наступления другого;

4) произведение событий , , где и независимые.

Вероятность суммы событий. Рассмотрим первый случай. Пусть общее число равновозможных несовместных исходов данного опыта равно , причем из них благоприятствуют событию , – событию , то есть , . Так как события и несовместны, то их сумме благоприятствуют все событий. Согласно классическому определению вероятности:

(формула справедлива и для случая нескольких событий).

Из приведённых рассуждений следует

Теорема 3.1 (о вероятности суммы двух несовместных событий). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, то есть

.

(Это утверждение есть свойство вероятности).

Следствие 1. Если , , …, – попарно несовместные события, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие 2. Вероятность суммы попарно несовместных событий , , …, , образующих полную группу, равна 1:

.

Следствие 3. События и несовместны и образуют полную группу событий, поэтому

.

Отсюда

.

►Пример. Спортсмен стреляет по мишени, разделённой на три сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй – 0,3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?

Решение. События – «попадание в первый сектор» и – «попадание во второй сектор» несовместны, поэтому применима теорема 3.1. Тогда

.◄

►Пример. Завод производит 85% продукции первого сорта и 10% – второго. Остальные изделия считаются браком. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие будет бракованным.

Решение. .◄

Рассмотрим второй случай. В результате опыта могут произойти события , , , . Первое из них состоит в том, что произошли оба события и , второе – в том, что произошло событие , а событие не произошло и т.д. Эти события образуют пространство элементарных исходов опыта, так как они несовместны и при проведении испытания одно из них обязательно произойдёт.

Пусть общее число равновозможных исходов испытания равно , причем из них благоприятствуют событию , – событию , – событию , – событию . Так как эти события являются пространством элементарных исходов, то . Найдём вероятность каждого элементарного исхода:

, , , .

Событию благоприятствуют равновозможных исходов, событию – равновозможных исходов, то есть

, .

Событию благоприятствуют равновозможных исходов, поэтому

или

.

Теорема 3.2 (о вероятности суммы двух совместных событий). Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, то есть

.

Выведите самостоятельно теорему сложения вероятностей трёх совместных событий:

.

Указание. Свести сумму трёх событий к сумме двух событий :

.

►Пример. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,85, для второго – 0,8. Стрелки независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадёт хотя бы один стрелок.

Решение. Пусть событие – «попадание первого стрелка», – «попадание второго стрелка», – «попадание хотя бы одного из стрелков». Тогда , где и – совместные и независимые события, поэтому применима теорема 3.2:

.◄

►Пример. Из группы студентов 10 % знают английский язык, 5 % – французский и 1 % – оба языка. Какова вероятность того, что наугад выбранный студент не знает ни одного иностранного языка?

Решение. .◄

Иногда вероятность наступления какого-либо из событий зависит от того, произошло или не произошло другое событие.

►Пример. В коробке 20 шаров. Из них 5 красных и 15 чёрных. Наудачу извлекается один шар и не возвращается в коробку. Затем из коробки снова извлекается один шар. Какова вероятность того, что этот шар красный? Найти вероятность того, что оба извлечённых шара красные?

Решение. Пусть событие состоит в том, что первым вынули красный шар, событие – вторым вынули красный шар. Понятно, что вероятность события зависит от того, какого цвета был первый извлечённый шар, то есть

.

Событие «извлечённые подряд два шара – красные» состоит в наступлении событий и , причём вероятность события зависит от наступления или не наступления события , поэтому

.◄

Определение 3.1. Вероятность события , вычисленная при условии, что произошли события , , …, , называется условной и обозначается (событие в таком случае называется зависимым от событий , , …, ). Если же вероятность события не связана с осуществлением событий , , …, , то она называется безусловной (событие в этом случае называется независимым от событий , , …, ).

По определению событие зависит от события , если . Если же , то событие не зависит от события .

Вероятность произведения событий. Рассмотрим третий и четвёртый случаи. Пусть в результате некоторого опыта может произойти событие , но только в том случае, если произойдёт событие . Допустим, что событию благоприятствуют исходов опыта ( ) из равновозможных элементарных, а событию – исходов. По классическому определению вероятности:

, .

Если произошло, то реализован один из исходов, и событие может произойти, только если произойдёт один из исходов, благоприятствующих . Таких исходов . Поэтому естественно положить условную вероятность события при условии, что произошло, равной отношению:

.

Полученное равенство можно записать в виде:

.

Теорема 3.3 (о вероятности произведения двух событий). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие уже произошло: