7Признаки сходимости числового ряда
.docПоскольку:
,
то интеграл расходится. Значит, расходится и данный ряд. ◄
► Пример. Исследовать на сходимость ряд (ряд Дирихле или обобщённый гармонический ряд).
Решение. Проверим необходимое условие сходимости числовых рядов:
.
Ряд может как сходиться, так и расходится.
Рассмотрим случай, когда . Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Очевидно, что : , поэтому ряд при расходится.
Рассмотрим случай, когда . В этом случае получаем расходящийся гармонический ряд.
Рассмотрим случай, когда . Функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке .
,
то есть интеграл сходится, значит, сходится и данный ряд.
Таким образом, ряд расходится при и сходится при . ◄