Metod_pos_prakt

Министерство образования Российской Федерации

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА

В.А. МИХАЙЛОВ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

Учебное пособие по практическим занятиям

Под редакцией Е.Ф. Базлова

Казань 2003

УДК 621.3.01

Михайлов В.А. Основы теории цепей: Учебное пособие по практическим занятиям. /Под ред. Е.Ф. Базлова. Казань: Изд-во Казан. гос. Техн. Ун-та, 2003.

107 с.

ISBN 5-7579-0461-5

Книга включает в себя теоретический материал к аудиторным занятиям и индивидуальные домашние задач по 8 темам курса «Основы теории цепей».

Пособие имеет двоякое назначение: во-первых, оно содержит основные понятия, законы, правила и формулы теории цепей. Рассматриваются различные методы расчета линейных цепей. Большое внимание уделено расчету частотных и переходных характеристик. По многочисленным примерам подробно поясняются методики и формулируются алгоритмы решения задач. Во-вторых, по каждой теме даны 30 вариантов задач для самостоятельной работы по практическим занятиям.

Предназначается для студентов заочной и очной форм обучения направлений «Радиотехника» и «Телекоммуникации».

Рецензенты: кафедра информатики и информационно-управляющих систем (Казанский энергетический университет; канд. техн. наук, доцент Старцев С.А. (Казанский энергетический университет)

Рекомендовано к изданию Учебно-методическим центром КГТУ им.А.Н.Туполева

с В.А. Михайлов, 2003.

2

АУДИТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ

ТЕМА 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ СХЕМ

Одним из простых методов расчета цепей является метод эквивалент-

ных преобразований электрических схем. Согласно этому методу исходная схема преобразуется в схему, содержащую меньшее количество элементов, т.е. более простую. В основе различных методов преобразования электрических цепей лежит принцип эквивалентности электрических схем.

Цепи считаются эквивалентными, если их внешние электрические характеристики (u = f(i)) являются одинаковыми (подобными).

Существует ряд простых преобразований участков цепей.

1. Последовательное соединение элементов

При последовательном соединении элементов через них протекает один и тот же ток I1 (рис. 1.1).

Условием эквивалентности этих цепей являются равенства:

I1 = IЭКВ; U = UЭКВ, RЭКВ = R1 + R2.

Следовательно, при последовательном соединении n сопротивлений

эквивалентное сопротивление RЭКВ равно сумме этих сопротивлений

Если в ветви содержатся источники ЭДС, соединенные последовательно (рис. 1.2), то ЭДС источников складываются алгебраически: EЭКВ = E1 – E2. По-

Рис.1.2

3

ложительное направление ЭДС эквивалентного источника берется произвольно. При этом со знаком «плюс» в формуле пишутся ЭДС тех источников, направления которых совпадут с направлением эквивалентного источника.

Таким образом, можно сформулировать правила преобразования при последовательном соединении элементов:

при последовательном соединении элементов складываются их сопротивления, а ЭДС источников складываются алгеб-

раически (с учетом знака).

Эквивалентное сопротивление при последовательном соединении всегда больше наибольшего сопротивления: RЭКВ > R1, RЭКВ > R2.

2. Параллельное соединение элементов

При параллельном соединении элементы находятся при одном и том же напряжении U. Пример параллельного соединения элементов представлен на рис. 1.3.

Рис.1.3

В расчетах при параллельном соединении удобнее пользоваться понятием «проводимость», а не «сопротивление». Проводимость элемента обратно-

Правила преобразования при параллельном соединении элементов:

при параллельном соединении пассивных элементов складываются их проводимости, а токи источников складываются алгебраически (с учетом знака).

По приведенному примеру видно, что если параллельно включены источники тока (рис. 1.3), то их можно преобразовать в эквивалентный источник Jэкв, ток которого равен алгебраической сумме токов источников, соединенных параллельно: Jэкв = J1 - J2. Положительное направление тока эквивалентного источника берется произвольно. При этом со знаком «плюс» в формуле пишутся токи тех источников, направления которых совпадут с направлением эквивалентного источника.

4

Полезно запомнить формулу соединения двух сопротивлений:

При параллельном соединении элементов эквивалентное сопротивление меньше наименьшего. При равенстве двух сопротивлений результат равен половине.

3. Преобразование схем источников электрической энергии

Реальные электрические источники могут быть представлены простыми электрическими моделями в виде последовательной схемы с идеальным источником ЭДС E (рис. 1.4,а) и в виде параллельной схемы с идеальным ис-

точником тока J (рис.1.4,б). Сопротивление RИСТ моделирует внутреннее сопротивление реального электрического источника.

- внутренние сопротивления Rист этих схем совпадают.

4. Смешанное соединение элементов

Если при соединении элементов не выполняются условия и последовательного и параллельного соединений, то такое соединение называют смешанным. Пример цепи при смешанном соединении элементов показан на рис. 1.5 а.

Электрические схемы, имеющие смешанное соединение, могут быть преобразованы в более простую эквивалентную схему путем замены параллельных ветвей одной эквивалентной ветвью и последовательно соединенных участков цепи одним эквивалентным участком.

5

На рис. 1.5,а схема цепи со смешанным соединением элементов может быть преобразована в простую эквивалентную схему из двух элементов –

(RЭКВ – EЭКВ) (рис. 1.5 б). Для этого сначала параллельный участок цепи (R2 – J) преобразовать в последовательную схему – (R2 – E2). Получится участок цепи с последовательным соединением элементов (см. рис.1.6), который, как показывалось ранее, преобразуется в эквивалентную схему (см. рис. 1.5 б):

Rэкв = R1 + R2; E2 = J/R2;

Eэкв = E1 – E2 = E1 – J/R2.

5. Неразветвленная цепь

В неразветвленной ветви (см. рис. 1.6), содержащей различные резисторы

где Vа, Vб – потенциалы точек а и б; Uаб = Vа – Vб – разность потенциалов или напряжение между точками а и б; ∑R – арифметическая сумма сопротивлений резисторов ветви; ∑E – алгебраическая сумма ЭДС источников. Со знаком “плюс” берут те ЭДС, направления которых совпадают с выбранным положительным направлением тока, а со знаком “минус” – ЭДС с противоположными направлениями.

В ветви, изображенной на рис. 1.6, ток определяется формулой:

IVа Vб E1 E2 .

1R1 R2

6.Эквивалентные преобразования сложных схем

Если схема цепи, содержит большое число ветвей и различных источников, то такую схему можно преобразовать в простую эквивалентную путем преобразования отдельных участков схемы и уменьшения числа элементов. Это можно проиллюстрировать на примере.

6

Пример 1.1. Преобразовать схему цепи, изображенную на рис. 1.7 а, в эквивалентную (Rэкв – Eэкв) (рис. 1.7 б).

Решение. Задача решается в насколько этапов.

Следует начать преобразование не со стороны узлов а) и б), а с другой стороны схемы (справа).

Сопротивления R3 и R4 соединены последовательно, а к ним параллельно подключено R5. Этот участок преобразуется в одно сопротивление R6:

Теперь образовался участок смешанной цепи из элементов (R2 - J1 - R6) (см. рис.1.8). Его нужно преобразовать в последовательную цепь – (R7 – E2 )

(см. рис.1.9 а), где R7 = R2 + R6, E2 = J1·R2.

Полученную схему нужно преобразовать в параллельные схемы (рис. 1.9

б, в).

Параметры преобразованных элементов определяются по формулам:

J2 = E1/R1, J3 = E2/R7, R8 R1 R7 , J4 = J2 + J3.

R1 R7

По условию задачи исходную схему (рис. 1.7 а) следует преобразовать в последовательную Rэкв – Eэкв (рис. 1.7 б или рис. 1.9 г).

Таким образом,

RЭКВ = R8; EЭКВ = J4∙R8.

7

На основании рассмотренных примерах можно сделать вывод:

эквивалентные преобразования участков цепей позволяют значительно упростить схему цепи.

8

ТЕМА 2. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ЗАКОНОВ КИРХГОФА. МЕТОД ТОКОВ ВЕТВЕЙ

Расчет электрических цепей заключается в определении величин токов в ветвях и напряжений на участке цепи. Электрическое состояние цепи можно полностью описать с помощью законов Кирхгофа и Ома. Такой метод расчета цепи известен под названием «Метод токов ветвей».

2.1. Законы Кирхгофа Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в узле:

n ik 0

k 1 алгебраическая сумма мгновенных значений токов всех ветвей, подключенных к узлу схемы цепи, в любой момент времени равна нулю.

Узел – место соединения трех и более ветвей. Он отмечается в схеме одной или несколькими точками и при необходимости нумеруется.

Ветвь – участок цепи между двумя узлами, через элементы которого протекает один и тот же ток. Соединительные линии между точками в схеме не яв-

ляются ветвями. “Точка” в схеме показывает, что линии соединены между собой. Узел может объединять несколько точек.

Направления токов в ветвях выбираются произвольно и при необходимости указываются стрелками. Токи, направленные от узла, условно принимаются положительными, а направленные к нему – отрицательными (или наоборот).

Пример 2.1. Записать уравнения по первому закону Кирхгофа для всех узлов схемы, изображенной на рис. 2.1. Определить количество независимых уравнений n1, которые можно составить по первому закону.

9

Значение тока j источника принято писать в правой части уравнения. Если ток j втекает в узел, например, в первый, то ток j пишется в правой части со знаком “плюс” Если вытекает из узла – пишется с другим знаком, с “минусом”. Перепишем эти уравнения: –i1 + i2 + i3 = j,

i1 – i2 – i3 = j.

Сравнивая эти уравнения между собой, видно, что второе может быть получено из первого умножением каждого слагаемого на (–1). Это значит, что одно уравнение является зависимым уравнением в системе и его нельзя использовать для решения.

На основании проведенного анализа можно сделать важный вывод о количестве независимых уравнений n1, которые можно составить по первому за-

число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно числу узлов без единицы.

Узел, для которого не составляется уравнение, называется “базисным” или “общим” и отмечается специальным знаком, как показано на рис. 2.1.

Второй закон Кирхгофа устанавливает баланс напряжений элементов

алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений всех элементов, входящих в контур, в каждый момент времени равна нулю.

Контур – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям цепи. Если в контуре имеются источники ЭДС, то второй закон Кирхгофа можно

контура равна алгебраической сумме ЭДС источников напряжений.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа не следует выбирать контура, содержащие источники тока, так как эти контура являются зависимыми.

Направление обхода контура выбирают произвольно, например, по ходу часовой стрелки. Если положительное направление напряжения элемента совпадает с направлением обхода, то напряжение в левой части равенства принимается положительным. ЭДС источника берется со знаком “плюс” в правой ча-

10