1 семестр / L3_Igonina_Beskonechno_malye_funkcii_gotova
.pdf
Лекция 3
Тема 3. Бесконечно малые функции
3.1 Определение ограниченных и неограниченных функций
Def 1 Функции называется ограниченной на некотором интервале ( , ), если
> 0 ( , ) => | ( )| <
Def 2 | Функции = ( ) называется ограниченной при → , если она ограничена в некоторой окрестности точки .
Def 3 | Функция = ( ) называется ограниченной
а)сверху на некотором интервале ( , ), если > 0 ( , ) => ( ) <
б)снизу на некотором интервале ( , ), если > 0 ( , ) => < ( )
Пример1: = ( ) ограничена снизу при (0; 2,) ,а сверху не ограничена
3.2 Бесконечно малые функции
Def 4 Бесконечно малой функцией (б/м) при → называется функция ( )
для которой |
( ) = т. е. |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
> 0 = ( ) > 0 |
< |
| − | < => |
| ( )| < |
|
Th1( о связи функции с ее пределом)
Для того, чтобы число А было пределом функции ( )
необходимо и достаточно ,чтобы разность между функцией и ее пределом была
функцией б/м, т.е. ( ) = А <=> { |
( ) − А = ( ) |
, |
||||
( ) = |
||||||
|
|
|
→ |
|
||
|
|
|
|
→ |
|
|
Замечание |
|
|
|
|||
Любая б/м |
при → функция ограничена при → . Обратное неверно. |
|||||
Например, = sin х - ограничена на (− ∞, + ∞ )т.е. |sin х | ≤1. Но |
||||||
при → |
|
|
= sin х → 1 ,т.е. не является б/м . |
|
||
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
||
1
Лекция 3
Вывод: Понятие ограниченной функции является более широким, чем понятие
б/м функции.
3.3 Бесконечно большие функции
Def 5 Функции ( ) называется бесконечно большой функцией (б/б) при→ , если
( ) = ∞ т. е.
→
> 0 = ( ) > 0 |
< | − | < => |
| ( )| > |
Геометрическая интерпретация : ∆= и Е =
Пример2: = |
|
при → 2 |
|
|
|
|
|
||
|−| |
|
|
||
|
|
|
|
= ∞ |
|
|
|
||
|
|
| − | |
||
|
|
→ |
|
Th2 (о связи б/б и б/м функций )
1.Если
2
Лекция 3
lim ( ) = 0 |
( ( ) ≠ 0) и |
( ) = |
1 |
|
, то |
|
( ) |
||||||
→ |
|
|
|
|||
lim ( ) = ∞
→
2.Если
lim ( ) = ∞ |
и ( ) = |
1 |
|
, то |
|
( ) |
|||||
→ |
|
|
|||
lim ( ) = 0
→
Свойства бесконечно малых функций 3.4
Th3 (о сумме б/м функций)
Сумма ограниченного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
Th4 (о произведении б/м функции на ограниченную)
Если
lim ( ) = 0 ( ( ) ≠ 0) и
→
функции = ( ) ограничена в некоторой окрестности точки , то функция
( ) ∙ ( ) − б/м при → или
lim ( ) ∙ ( ) = 0
→
Следствие 1 |
Если С=const , ( ) - |
б/м |
при → то |
lim С ∙ ( ) = 0 |
|
|
|
|
→ |
Следствие 2 |
Если lim ( ) = 0 и |
lim ( ) = 0 ,то lim ( ) ( ) = 0 |
||
|
→ |
→ |
→ |
|
3.5 Сравнение бесконечно малых
функций
Рассмотрим две б/м функции α(x) и β(x) при x → a . Сравним эти функции, для этого оценим
3
Лекция 3
lim ( )
→ ( ),
Def 6 Если
lim ( ) = 0 , то
→ ( )
( ) − б/м функция более высокого порядка, чем ( ) при → .
Def 7 Если
lim ( ) = ∞ , то
→ ( )
( ) − б/м |
функция более высокого порядка, чем ( ) при → . |
Def 8 |
Если |
|
|
|
|
|
|
lim |
( ) |
= ≠ {1 |
, то |
|
|
|
|||
|
|
→ ( ) |
0 |
|
|
( ) и |
( ) − б/м |
функции одного порядка при → |
|||
Def 9 |
Если |
|
|
|
|
lim ( ) = 1 , то
→ ( )
( ) и ( ) – являются эквивалентными бесконечно малыми функциями при
→ , |
обозначается |
( ) ~ ( ) |
|
|
||
Def 10 |
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lim |
( ) |
|
= С ≠ {∞ |
, то |
|
|
|
||||
|
|
→ ( ( )) |
0 |
|
||
( ) − |
б/м функция порядка m по сравнению с ( ) при → |
|||||
4
Лекция 3 |
|
|
|
|
Def 11 Если |
|
|
|
|
|
|
lim |
( ) |
то |
|
( ) |
|||
|
|
→ |
|
|
б/м функции ( ) и |
( ) – не сравнимы. |
|
||
Пример 3
( ) = ln(1 + ) − |
б/м при → 0 , ( ) = − б/м при |
→ 0 |
|||
lim ln(1 + ) = lim (1 + ) |
= ln ( lim (1 + ) ) = = 1 |
||||
|
|
|
1 |
1 |
|
→0 |
|
→0 |
→0 |
|
|
3.6 Свойства эквивалентных бесконечно малых функций
Для эквивалентных бесконечно малых функций справедливы три свойства:
1.рефлексивность: ( ) ~ ( )
2. |
симметричность: если ( ) ~ ( ) |
=> ( )~ ( ) |
|
3. |
Транзитивность: если ( )~ ( ) и |
( ) ~ ( ) => |
( )~ ( ) |
Th5 (о разности эквивалентных бесконечно малых функций )
Две б/м функции ( ) и ( ) |
будут эквивалентными при → тогда и |
|||||
только тогда, когда разность между ними есть б/м |
функция более высокого |
|||||
порядка, чем каждая из данных функций, что можно записать |
||||||
( )~ ( ) < => ( ) − ( ) = ̅(( )) |
и ( ) − ( ) = ̅(( )) |
|||||
Доказательство: необходимость |
|
|
|
|
||
|
|
( )~ ( ) |
=> lim |
|
( ) |
= 1 => |
|
|
|
|
|||
|
( ) |
|||||
|
|
|
→ |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
=> |
|
− 1 = ( ), где |
( ) − |
б/м |
функция при → => |
|
( ) |
||||||
=> ( ) − ( ) = ( ) ∙ ( ) = ̅( ( ))
5
Лекция 3
достаточность
( ) − ( ) = ̅( ( )) разделим обе части на ( ) =>
( )( ) − 1 = ̅ ( ( )( ) ) и перейдем к пределу при → =>
|
( ) |
|
|
̅ |
|
|
( ) |
|
|
|
||
lim ( |
− 1) = |
lim |
( ( )) |
= 0 => |
lim |
= 1 |
=> ( )~ ( ) |
|
||||
( ) |
( ) |
|
( ) |
|||||||||
→ |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|||||
Th6:(о замене эквивалентными бесконечно малых функций)
Предел отношения двух бесконечно малых функций ( ) и ( ) не изменится, если заменить эти бесконечно малые функции эквивалентными бесконечно малыми функциями при → , то есть
Если
( )~ 1( ) ; ( ) ~ 1( ) при → =>
lim |
( ) |
= |
lim |
1( ) |
|
( ) |
1( ) |
||||
→ |
|
→ |
Доказательство: Преобразуем тождественно
= lim
→
lim ( ) = lim ( ) ∙ 1( ) ∙ 1( ) = → ( ) → ( ) ∙ 1( ) ∙ 1( )
( )
1( )
∙ lim
→ ( )
( )
→ ( )
∙ |
lim |
1( ) |
= |
lim |
1( ) |
|||
1 |
( ) |
1 |
( ) |
|||||
|
→ |
|
→ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
( ) |
||
|
( ) |
|||
|
→ |
|||
|
|
|
|
|
3.7 Основные эквивалентности
При → 0 справедлива следующая таблица эквивалентных функций.
6
Лекция 3
1. ( )~ т. к. lim |
( ) |
= 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
||
2. ( )~ т. к. lim |
( ) |
|
|
|
|
( ) |
|||
|
|
= |
lim |
|
|
|
= 1 |
||
|
|
|
|||||||
→0 |
|
|
→0 |
∙ |
|||||
|
|
|
( ) |
|
|
|
||||
3. ( )~ т. к. lim |
|
|
|
|
= | ( ) = | = |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
→0 |
|
|
= |
|
|
||||
= |
lim |
|
= 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
→0 |
|
|
|
|
|
|||
|
( ) |
|
|
|
|
|||||
4. ( )~ т. к. lim |
|
|
|
|
= | ( ) = | = |
lim |
|
= 1 |
||
|
|
|
|
|||||||
→0 |
|
|
= |
→0 |
|
|||||
|
(1 + ) |
1 |
|
||
5. (1 + )~ т. к. lim |
|
= lim (1 + ) |
|
= = 1 |
|
|
|||||
→0 |
→0 |
||||
|
|
− 1 |
− 1 = |
|||
6. − 1 ~ |
∙ <=> lim |
= | (1 + )| = |
||||
∙ |
||||||
|
→0 |
= |
|
|
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
∙
= lim = 1→0 (1 + ) ∙
7. − 1 ~ |
|
= |
8. 1 − ( )~ |
2 |
|
1 − ( ) |
|
|
22( ) |
|
|
||||||||
|
т. к. |
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
2 |
|
→0 |
|
|
|
|
→0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
= |
lim |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. (1 + ) − 1~ т. к. lim |
(1 + ) − 1 |
= | |
(1 + ) − 1 = |
| = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
→0 |
|
|
|
(1 + ) = (1 + ) |
|
|||||||||
7
Лекция 3
= lim |
|
∙ |
(1 + ) |
= |
lim |
|
∙ |
(1 + ) |
= 1 |
||
|
(1 + ) |
(1 + ) |
|
|
|||||||
→0 |
|
|
→0 |
|
|
||||||
Основные эквивалентности
при → 0
( ) ~
( ) ~
( ) ~
( ) ~
( + ) ~
− ~ |
∙ |
− ~ |
|
|
|
|
|
|
|
− ( ) |
~ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
( + ) − |
~ |
|
|||
8