1 семестр / билет математический анализ 1 курс 1 семестр теория _1

Добавил:

ukusezha Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

(∞ − ∞); 0 ∙ ∞; 1∞; 00; ∞0.

Для классификации

типов пределов и способов раскрытия неопределённостей

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2023

Размер:

594.53 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Неопределенности и методы их раскрытия

При вычислении пределов иногда возникают ситуации, требующие преобразования функций, стоящих под знаком предела. В таких случаях, говорят о наличии неопределенности, основными видами которой являются следующие неопределенности:

предлагается использовать таблицу, содержащую некоторые простейшие приемы раскрытия основных типов неопределенностей.

Вид (тип) неопределенности

∞

Тип

Способ раскрытия

функции

неопределенности

1. Вынесение максимальной степени числителя и

рациональная или

максимальной степени знаменателя и для дальнейшего

иррациональная функция

упрощения

выражения и избавления от бесконечности

либо в числителе, либо в знаменателе.

рациональная

2. Правило Лопиталя, если выполнены условия теоремы

функция

Лопиталя.

Пример. Вычислить предел

lim

2 7

+ 9 − 4 + 5

3 9 − 8

+ 6

→∞

Решение. Рассмотрим к чему стремятся числитель и знаменатель дроби при → ∞:

2 7 + 9 − 4 + 5 ∞

lim

= [

− неопределенность] =

3 9

− 8 + 6

∞

→∞

чтобы избавиться от ∞ в

= числителе или знаменателе, разделим =

числитель и знаменатель на 9

+ 1 −

= lim

→∞

3 −

в числителе первое, третье и четвертое

слагаемые стремятся к нулю,

| =

в знаменателе первое и третье

слагаемые стремятся к нулю

Ответ:

Пример. Вычислить предел

lim

2 7

+ 9 + 4 + 4

3 5 − 3 + 6

→∞

Решение. Рассмотрим к чему стремятся числитель и знаменатель дроби при → ∞:

2 7 + 9 + 4 + 4 ∞

lim

= [

− неопределенность] =

3 5 − 3 + 6

∞

→∞

первый способ: избавимся от ∞ в числителе,

= |

второй способ: −

от ∞ в знаменателе

| =

первый способ: чтобы числитель не стремился к

∞ , разделим числитель и знаменатель на

наибольшую степень переменной в числителе ( 9), получим:

+ 1 +

= lim

→∞

−

в числителе первое, третье и чет −

= |

вертое слагаемые стремятся к нулю,

| = [

] = ∞.

в знаменателе первое, второе и

третье слагаемые стремятся к нулю

второй способ: чтобы знаменатель не стремился к

∞ , разделим числитель и знаменатель

на наибольшую степень переменной

в знаменателе ( 5), получим:

2 2

+ 4 −

= lim

→∞

3 −

в числителе третье и четвертое

слагаемые стремятся к нулю,

∞

|в знаменателе

второе и третье

= [

] = ∞.

слагаемые стремятся к нулю

Ответ: ∞.

Пример. Вычислить предел

√ 9 + 3 5 − 1

lim

2 + 2 − 6

→∞

Решение. Рассмотрим к чему стремятся числитель и знаменатель дроби при → ∞:

в числителе выносим

∞

из под корня 9

√ 9 + 3 5 − 1

lim

= [

] = |

| =

→∞ 2 + 2 − 6

∞

в знаменателе выно −

сим за скобку

3 ∙ √1 + 3

− 1

= lim

= |

упрощаем дробь

| =

сокращаем на 2

→∞

2 ∙ (1 +

−

)

√1 + 3

− 1

числитель → ∞ | = [

∞

] = ∞.

= lim

= |

→∞

знаменатель → 1

1 +

−

Ответ: ∞.

	Вид (тип) неопределенности	0
	Вид (тип) неопределенности
	0

Тип	Способ раскрытия
функции	неопределенности

рациональная	1. Разложение на множители числителя и знаменателя и
функция	дальнейшее сокращение дроби.

иррациональная	2. Умножение на сопряженное к числителю или знаменателю,
иррациональная	либо на неполный квадрат суммы, для		избавления	от
функция	либо на неполный квадрат суммы, для		избавления	от
функция	иррациональности и снятия неопределенности.
	иррациональности и снятия неопределенности.

функция общего	3. Упрощение выражений в числителе и		знаменателе,	c
функция общего	использованием таблицы эквивалентностей. Данный метод
вида	использованием таблицы эквивалентностей. Данный метод
вида	рассмотрен на стр. 80.
	рассмотрен на стр. 80.

Пример. Вычислить предел

2 − 4 lim .→2 2 + − 6

Решение. Рассмотрим к чему стремятся числитель и знаменатель дроби при → 2:

2 − 4

разложим

lim

= [

] = | многочлены | =

→2 2 + − 6

на множители

= lim

( − 2)

∙ ( + 2)

= |сократим

| = lim

( + 2)

( − 2)

∙ ( + 3)

( + 3)

→2

дробь

→2

Ответ: 5 .

Пример. Вычислить предел


lim	2 − √ − 3	.

→7	2 − 49

Решение. Рассмотрим к чему стремятся числитель и знаменатель дроби при → 7:

					умножаем числитель
	2 − √ − 3		0		умножаем числитель
lim	2 − √ − 3	= [	0	] = \|	и знаменатель \| =
lim	2 − 49	= [		] = \|	и знаменатель \| =
→7	2 − 49	0			на сопряженное
					на сопряженное

= lim (2 − √ − 3) ∙ (2 + √ − 3) =→7 ( 2 − 49) ∙ (2 + √ − 3)

избавились от

4 − ( − 3)

= |иррациональности| = lim

в числителе

→7

( 2 − 49)(2 + √ − 3)

= lim

7 −

= |сократим

| =

→7 ( − 7) ∙ ( + 7) ∙ (2 + √

− 3)

дробь

= lim

−1

= |

числитель → −1

| =

−1

знаменатель → 56

→7 ( + 7)(2 + √

− 3)

Ответ: − 56 .

Пример. Вычислить предел

lim	2 − 64	.
	3

→8	8 ∙ (√ − 2)

Решение. Рассмотрим к чему стремятся числитель и знаменатель дроби при → 8:

	2 − 64										0					умножаем числитель
	2 − 64										0						и знаменатель
lim									= [				] = \|				и знаменатель					\| =
lim			3						= [				] = \|			на неполный квадрат						\| =
			3								0
→8 8 ∙ (√ − 2)											0
																		суммы
			( 2 − 64)								3					3
											3					3
										∙ (		√ 2		+ 2√ + 4)
= lim																				=
= lim				3									3				3			=
				3									3				3
→8		8 ∙ (√ − 2) ∙ (											√ 2 + 2				√ + 4)
			2					3						3				в знаменателе
(							)	3			2			3				в знаменателе
(				− 64			)	(√			2	+ 2√ + 4)						= \| убрали ирра − \| =
= lim				− 64				(√				+ 2√ + 4)
= lim
→8						8 ∙ ( − 8)												циональность
																		циональность
												3					3
(		− 8			)(	+ 8					)			2	+ 2				= \|сократим \| =
(					)(						)			2
= lim											(		√				√ + 4)
= lim									8 ∙ ( − 8)
→8									8 ∙ ( − 8)											дробь
																									3			3
																					(		+ 8	)		2	+ 2			16 ∙ 12
																					(			)		2
																				= lim				(√				√ + 4)	=		= 24 .
																				= lim						8			=	8	= 24 .
																				→8						8				8

Ответ: 24 .

Замечательные пределы

Особую роль в вычислении пределов функции одной переменной играют пределы, получившие название замечательные пределы. Рассмотрим два из них.

Первый замечательный предел:

lim sin = 1.

→0

В общем виде для функции ( ) первый замечательный предел имеет вид:

		lim	sin ( )		= 1.

		( )→0		( )
Второй замечательный предел:
	1				1

lim (1 +		) =		или	lim(1 + ) =

→∞					→0

может быть записан в двух эквивалентных видах в зависимости от стремления аргумента к бесконечности или к нулю (эквивалентность доказывается заменой = 1 ).

В общем виде для функции ( ) и ( ) второй замечательный предел имеет вид:

( )

lim (1 +

)

= или lim

(1 + ( ))

( )

= .

( )

( )→∞

( )→0

Используя эти пределы, раскрываются неопределенности вида

и 1∞:

Вид (тип)

Тип

Способ раскрытия

неопреде-

функции

неопределенности

ленности

Первый замечательный предел

общего вида

sin

lim

= 1

→0

Второй замечательный предел

1∞

lim(1 + ) =

функция вида ( ) ( )

→0

lim (1 +

)

→∞

Пример. Вычислить предел

lim

sin23

1 − cos4

→0

Решение. Рассмотрим к чему стремятся числитель и знаменатель дроби при → 0

sin23

1 − cos4 = 2sin22 ,

lim

= [

] = |умножим и разделим | =

1 − cos4

→0

дробь на (3 )2 и (2 )2

= lim

sin23

∙

(2 )2

∙

(3 )2

2 ∙ (2

→0

sin

первый заме−

чательный предел

Ответ:

Пример. Вычислить предел

lim

tg5 ∙ ctg7 .

→0

Решение. Рассмотрим к чему стремятся числитель и знаменатель дроби при → 0

lim tg5 ∙ ctg7 = [0 ∙ ∞] =

→0

= lim

sin5 ∙ cos7

= [

] = |умножим и разделим| =

→0

cos5 ∙ sin7

дробь на 5 и 7

= lim

sin5

∙

5 ∙ cos7

sin7

cos5 ∙ 7

→0

первый заме−

чательный предел

Ответ:

Пример. Вычислить предел

lim (

−

) .

sin

→0

Решение. Рассмотрим к чему стремится выражение в скобках при → 0

cos

| =

lim (

−

) = [∞ − ∞] = | tg

sin

→0

вычтем дроби

1 − cos = 2sin2

1 − cos

= lim

= [

] =

умножим и разделим

→0

sin

дробь на и (

)

2sin

∙ ∙ (

sin

2 ∙ (

= lim

)

= lim (

)

∙

)

→0

( ) ∙ sin ∙

→0

sin

применим первый

2 ∙ (2)

= |сократим | =

= |

замечательный | = lim

предел

→0

дробь

= lim

= 0.

→0

Ответ:

0 .

Пример. Вычислить предел

lim

cos2 ∙ sin7

→0

ctg9 ∙ sin25

Решение. Рассмотрим к чему стремятся числитель и знаменатель дроби при → 0

lim

cos2 ∙ sin7

= [

] =

ctg9 ∙ sin25

∞ ∙ 0

→0

= lim

cos2 ∙ sin9 ∙ sin7

→0

cos9 ∙ sin25

cos2

sin9

sin7

(5 )2

9 ∙ 7

= lim

∙

cos2

sin25

(5 )2

→0

применим первый

1 ∙ 9 ∙ 7

63 2

= |

замечательный

| =

1 ∙ 25

предел

63 2

Ответ:

Бесконечно малые и бесконечно большие функции при → .

Важное значение при изучении пределов функции одной переменной имеют бесконечно малые и бесконечно большие функции при → .

Определение. Функции ( ) называется бесконечно малой

функцией при → , если
		lim ( ) = 0	<=>
	→
> 0 = ( ) > 0		0 < ȁ − ȁ < => ȁ ( )ȁ <
Пример. Определить какие из следующих функций
( ) = ,	( ) = ( + 3)3, ( ) = (2 − )
являются бесконечно малыми при → 0 , при → 2, при → −3.
Решение. Рассмотрим к чему стремятся все функции ( ), ( ), ( ) при → 0 ,
при → 2, при → −3.
lim = 0
→0
lim( + 3)3 = 27	=> ( ) = является бесконечно малой функцией при →
→0
lim (2 − ) = 2
→0
0, функции ( ), ( ) не являются бесконечно малыми функциями при → 0,
lim = 2
→2
lim( + 3)3 = 53	=> ( ) = (2 − ) является бесконечно малой функцией при
→2
lim (2 − ) = 0
→2
→ 2, функции ( ), ( ) не являются бесконечно малыми функциями при → 2,
lim = − 3
→−3
lim ( + 3)3 = 0	=> ( ) = ( + 3)3		является бесконечно малая функция при →
→−3

lim (2 − ) = 5

→−3

−3, функции ( ), ( ) не являются бесконечно малыми функциями при → −3.

Ответ: бесконечно малыми являются функции

( ) = при → 0, ( ) = ( + 3)3 при → −3,( ) = (2 − ) при → 2.

Свойства эквивалентных бесконечно малых функций

Для эквивалентных бесконечно малых функций справедливы три свойства:

1.рефлексивность: ( ) ~ ( )

2.симметричность: если ( ) ~ ( ) => ( )~ ( )

3.транзитивность: если ( )~ ( ) и ( ) ~ ( ) => ( )~ ( )

Таблица эквивалентностей бесконечно малых функций при → 0

sin ~

<=>

lim

sin

= 1

→0

tg ~

<=>

lim

sin

= 1

∙ cos

→0

arcsin ~

< =>

lim

arcsin

= |arcsin = | =

lim

= 1

→0

= sin

→0 sin

arctg ~

<=>

lim

arctg

= |arctg = | =

lim

= 1

→0

= tg

→0 tg

− ( )

− cos( )~

<=> lim

1 − cos( )

= lim

2sin

(2)

= | = sin (

)| = lim

= 1

→0

→ 0

→0 sin

∙

−

		− 1		− 1 =
− 1 ~	∙ ln <=> lim		= \|		ln(1 + )\| =
		∙ ln		=
	→0
					ln

lim	∙ ln		= 1

	ln(1 + )	∙ ln
→0	ln(1 + )	∙ ln

7.				−	~
		− 1 ~			=

8.			( + )			~

	ln(1 + )~ <=>	lim ln(1 + ) =				lim ln(1 + )	= ln = 1
						1
		→0				→0

( + ) − ~

(1 + ) − 1~ ≤> lim

(1 + ) − 1

= (1 + ) − 1

= |

ln(1 + ) = ln(1 + )

| =

→0

= lim

∙

ln(1 + )

lim

∙

ln(1 + )

= 1

→0

ln(1 + )

→0 ln(1 + )

Пример. Вычислить предел

lim

arctg4(7 ) ∙ ( − 3)3

sin2(5 ) ∙ ( 9 − 1)2

→0

Решение. Рассмотрим к чему стремятся числитель и знаменатель дроби при → 0

lim

arctg4(7 )

∙ ( − 3)3

= [

] =

→0 sin2(5 ) ∙ ( 9 − 1)2

(7 )4 ∙ ( − 3)3

74 ∙ (−3)3

−74

= lim

(5 )2 ∙

(9 )2

(5 )2 ∙ (9 )2

52 ∙ 92

→0

Ответ: −

Пример. Вычислить предел

lim

( ∙ sin

) .

→∞

Решение. Рассмотрим к чему стремится выражение в скобке при → ∞

sin

lim ( ∙ sin

) = [∞ ∙ 0] = lim

= [

] = lim

= 1.

→∞

→∞ 1

Ответ: 1.

Пример. Вычислить предел

lim (

−

sin

→0

Решение. Рассмотрим к чему стремится выражение в скобке при → 0

cos

lim (

−

) = [∞ − ∞] = | tg

sin

| =

sin

→0

вычтем дроби

1 − cos

заменим

= lim

= [

] = |на эквивалентные| = lim

sin

→0

б/м функции

→0 2

= |сократим | = lim

= 0 .

дробь

→0

Ответ: 0.

Производная функции Пусть функция = ( ) определена в окрестности точки . Придадим приращение

∆ , тогда функция= ( ) получит приращение

∆ = ( + ∆ ) − ( ).

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента ∆ и рассмотрим

∆

предел при ∆ → 0.

Определение. Производной функции = ( ) в точке называется предел отношений приращения функции к приращению аргумента, когда приращение


аргумента стремится к нулю, и обозначается ′( )
		′( ) = lim		∆
		′( ) = lim		∆
		∆ →0		∆
		или ′( ) = lim	( + ∆ ) − ( )
		или ′( ) = lim
		∆ →0			∆
Определение. Если функция = ( ) имеет производную						′( ) в точке , т.е.
lim	∆	, то эта функция называется дифференцируемой в точке.
lim		, то эта функция называется дифференцируемой в точке.
∆ →0	∆
Определение. Функция = ( ) дифференцируема на отрезке							[ , ], если она
дифференцируема в каждой внутренней точке отрезка [ , ].
Пример. Найти производную функции = 2.

Решение. Найдем приращение функции

∆ = ( + ∆ ) − ( ) = ( + ∆ )2 − 2 =

=2 + 2∆ ∙ + (∆ )2 − 2 = 2∆ ∙ + (∆ )2

ирассмотрим предел отношений приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

′( )

∆

2∆ ∙ + (∆ )2

= lim

∆

∆ →0

= lim (2 + ∆ ) = 2 .

∆ →0

Ответ: ( 2)′ = 2 .

Таблица производных основных

элементарных функций

(c)′ = 0

(ch( ))′

= sh( )

(xn )′ = n ∙ xn−1

(th( ))′ =

ch2( )

(sin )′ = cos

(cth( ))′

−1

sh2( )

(cos )′ = −sin

(log )′ =

log

(tgx)

′

(ln )

′

= cos2x

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1 семестр

#
09.02.20231.16 Mб1Funkcii_dvuh_i_treh__peremennyh_dlja_tipovogo__vveden_ostatochnyj_chlen_dlja_sajta1.pdf
#
09.02.2023570.08 Кб1L3_Igonina_Beskonechno_malye_funkcii_gotova.pdf
#
23.06.20232.29 Mб1matan1.doc
#
09.02.2023594.53 Кб6билет математический анализ 1 курс 1 семестр теория _1.pdf
#
09.02.20233.58 Mб2на шпоры.docx
#
23.06.20232.21 Mб2Ответы на теоретические вопросы.docx
#
23.06.20232.21 Mб2ответы. Матан.docx