8316

Продолжение ПРИЛОЖЕНИЯ Б

ВАРИАНТ 19

1.Вероятность выхода из строя К-го блока ЭВМ за время Т равна q1=0,1; q2=0,2 и q3=0,3, соответственно. Определить вероятность выхода из строя за указанный промежуток времени хотя бы одного из трех блоков этой машины, если работа всех блоков независима.

2.Известно, что в партии из 600 электрических лампочек 200 лампочек изготовлены на заводе N1, 250 - на заводе N2 и 150 – на заводе N3. Известно также вероятности 0,97; 0,91; 0,93 того, что лампочка окажется стандартного качества при изготовлении ее соответственно заводами N1, N2, N3. Наудачу выбранная из данной партии лампочка оказалась стандартной. Определить вероятность того, что она изготовлена на заводе N2.

3.Устройство состоит из восьми независимо работающих элементов. Вероятности отказов каждого элемента за время Т одинаковы и равны 0.2. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы три элемента из восьми.

ВАРИАНТ 20

1.Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.

2.По самолету производятся три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5; при втором – 0,6; при третьем – 0,8. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий. При одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,3, при двух попаданиях - с вероятностью 0,6. Известно, что в результате трех выстрелов самолет был сбит. Определить вероятность того, что это произошло в результате двух попаданий.

3.Прибор выйдет из строя, если перегорит не менее пяти ламп из семи. Определить вероятность выхода прибора из строя, если известно, что вероятность перегорания каждой лампы равна 0,3. (Выход из строя ламп - события независимые)

41

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Варианты задания «Дискретные случайные величины»

Типовое задание к задаче 1. Дан ряд распределения дискретной случайной величины Х. (таблица распределения указана в каждом варианте).

а) Построить многоугольник распределения случайной величины Х, записать функцию распределения и построить ее график. Убедиться в выполнении свойств функции распределения.

б) Найти числовые характеристики положения (математическое ожидание, моду, медиану) и рассеивания (дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации) случайной величины Х. Отметить характеристики положения на многоугольнике распределения.

в) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=kX+b, используя свойства этих числовых характеристик. Проверить результат, построив таблицу распределения случайной величины Y.

г) Проверить результат предыдущего пункта с помощью производящей функции (дополнительный пункт задания, по желанию).

Задачи 2, 3. Описать закон распределения случайной величины с помощью таблицы, общей формулы или функции распределения. Если к данной задаче применим известный закон распределения (биномиальный, геометрический, Пуассона), обосновать выбор этого распределения.

величина Y=2X-1.

2. Путем длительных наблюдений установлено, что в данной местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Что вероятнее: из восьми наудачу взятых дней сентября будет два дождливых или три дождливых дня ? Записать закон распределения с.в. Х - количества дождливых дней.

3. Система состоит из 10000 элементов, каждый из которых в течение заданного времени может независимо от других отказать с вероятностью 0.00005 . Сколько нужно взять запасных элементов, чтобы вышедшие из строя элементы заменить новыми с вероятностью, не меньшей 0,95 ?

42

Продолжение ПРИЛОЖЕНИЯ В

2. Из двух орудий поочередно ведется стрельба по цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна 0,5, вторым – 0,7 . Начинает стрельбу первое орудие. Составить закон распределения с.в. Х - числа израсходованных первым орудием снарядов.

3. По цели выпущено 1000 снарядов, причем вероятность попадания равна 0,01 . Какова вероятность того, что хотя бы восемь снарядов попадут в цель?

2. Вероятность получения отметки цели на экране обзорного радиолокатора равна 1/6. Цель считается обнаруженной, если получены 3 отметки. Какова вероятность, что цель будет обнаружена за 5 оборотов антенны. Записать распределение с.в. Х - числа отметок при n оборотах антенны.

3. Предназначенное для изготовления сладких булочек тесто после добавления в него изюма тщательно перемешивается. Сколько изюма в среднем должны содержать булочки, если потребовать, чтобы вероятность

2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий в мишень при двух выстрелах. Найти функцию распределения и построить ее график.

3. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Составить закон распределения с.в. Х - числа патронов, выданных стрелку. Чему равна мода с.в. Х? Построить график ф.р.

43

Продолжение ПРИЛОЖЕНИЯ В

обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент вызовет коммутатор равна 0,02 . Какое из двух событий вероятнее: в течение одной минуты позвонит три абонента или в течение одной минуты позвонит четыре абонента?

3. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,1 . Найти вероятность того, что среди 20 деталей окажется ровно четыре бракованных.

2. Проводятся три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина X - число появления события А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины Х и функцию распределения F(x). Найти M[X] и D[X].

3. Найти среднее число опечаток на странице рукописи, если вероятность

2.В ячейку памяти ЭВМ записывается восьмиразрядное двоичное число. Значения 0 и 1 в каждом разряде появляются с одинаковой вероятностью. Случайная величина Х - количество единиц в записи двоичного числа . Записать закон распределения, найти наивероятнейшее число единиц.

3.Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий более, чем одно не выдержит испытания. Чему равно математическое ожидание числа изделий, не выдержавших испытания?

44

2.На полке 10 книг, причем три из них в переплете. Библиотекарь взял наудачу 2 книги. Построить ряд распределения и функцию распределения с.в. X числа отобранных книг в переплете.

3.Система состоит из 1000 элементов. Вероятность выхода из строя одного элемента в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность выхода из строя в течение одной минуты ровно пяти элементов. Каково математическое ожидание и дисперсия числа элементов, которые могут выйти из строя в течение одной минуты?

при испытании не зависит от отказов остальных приборов и равна 0,2. Испытано 9 приборов. Случайная величина Х - количество отказавших за время испытания приборов. Найти наиболее вероятное число отказавших приборов.

3.Система состоит из 1000 элементов. Вероятность выхода из строя одного элемента в течение минуты равна 0,004. Найти вероятность выхода из строя в течение одной минуты не более пяти элементов.

2. Среди семян ржи сорняков 0,4%. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

3.Монету бросают 12 раз. Найти ряд, ф.р. и м.о. разности числа выпадений герба и числа выпадений решетки.

45

Продолжение ПРИЛОЖЕНИЯ В

прошла проверку качества, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 7 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 3 до 5 деталей.

3. Снайпер стреляет по замаскированному противнику до первого попадания. Вероятность промаха при отдельном выстреле равна 0,3. Описать закон распределения, найти математическое ожидание количества промахов.

2. Каждое изделие одной партии независимо от других может оказаться дефектным с вероятностью 0,2. Из партии берется выборка, состоящая из 15 изделий, которые и проверяются на годность. Если число дефектных изделий в выборке не более двух, то партия принимается, в противном случае подвергается сплошному контролю. Какова вероятность того, что партия будет принята?

3.Монету бросают, пока не выпадет решетка. Описать закон распределения,

2.Двое поочередно бросают монету до первого выпадения герба. Составить закон распределения с.в. Х - числа бросаний монеты вторым игроком. Чему равны М(Х) и Д(Х) ?

3.Система состоит из 1000 элементов. Вероятность выхода из строя одного элемента в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность выхода из строя в течение одной минуты ровно пяти элементов. Каково математическое ожидание числа элементов, которые могут выйти из строя в течение 3 минут?

46

2. Составить закон распределения с.в. Х, если она принимает три значения: -2, 0, 1, причем Р(Х= -2) = 0,3 и M[X]= -0,3. Найти функцию распределения с.в.

Х и D[X].

3. Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000

2.Самолетная радиолокационная аппаратура состоит из 10000 элементов. Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Вероятность того, что данный элемент в течение полета выйдет из строя, равна 0.0002 . Найти функцию распределения числа вышедших из строя элементов.

3.Пусть s - число появлений случайного события А в серии из 8 независимых испытаний, в каждом из которых Р(А)=0,3; X- величина, принимающая значение 0 или 1 в зависимости от того, оказалось ли s четным или нечетным. Найти ряд , ф.р. и м.о. величины Х.

2.Эксплуатационные расходы, связанные с осуществлением некоторого авиарейса, составляют 10000 рублей. Число пассажиров, улетающих этим рейсом, является случайной величиной, имеющей биномиальное распределение с параметрами n=20 и р=0,9. Стоимость одного билета равна 700 руб. Найти математическое ожидание и дисперсию прибыли от рейса. Чему равна вероятность того, что рейс будет рентабельным?

3.Вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,7.

Испытания проводятся до первого появления события А. Найти ряд , ф.р. и м.о. числа испытаний, которые необходимо провести.

47

Продолжение ПРИЛОЖЕНИЯ В

веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет в пяти веретенах.

3. По мишени, вероятность попадания в которую равна 0,6, ведется стрельба в неизменных условиях до получения двух попаданий. Описать закон распределения количества выстрелов.

2.Из двух орудий поочередно ведется стрельба по цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна 0,3, вторым – 0,7 . Начинает стрельбу первое орудие. Составить закон распределения с.в. Х – числа израсходованных вторым орудием снарядов.

3.По мишени, вероятность попадания в которую равна 0,4, ведется стрельба в неизменных условиях до получения двух попаданий. Описать закон распределения количества выстрелов.

2.Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01 . Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных. Описать закон распределения случайной величины Х – количества бракованных из 200 деталей.

3.Снайпер стреляет по замаскированному противнику до первого попадания. Вероятность промаха при отдельном выстреле равна 0,3. Найти ряд

,ф.р. и м.о. числа промахов.

48

2.Из двух орудий поочередно ведется стрельба по цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна 0,3, вторым – 0,7 . Начинает стрельбу первое орудие. Составить закон распределения случайной величины Х – количества израсходованных первым орудием снарядов.

3.Монету бросают, пока не выпадет решетка. Найти ряд , ф.р. и м.о. случайной величины X - количестваа выпадений герба.

49

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

Варианты задания «Непрерывные случайные величины»

Задача 1. Дана функция распределения F(x) случайной величины Х.

1.1. Найдите плотность распределения f (x) случайной величины Х.

Убедитесь, что плотность распределения удовлетворяет своим характеристическим свойствам.

1.2.Постройте графики функции распределения и плотности распределения (два рисунка).

1.3.Найдите числовые характеристики с.в. Х: математическое ожидание; моду; медиану; квантиль, соответствующую вероятности 0,25; среднее квадратичное отклонение; асимметрию и эксцесс. Поясните смысл найденных характеристик.

Задача 2. Дана плотность распределения f (x) случайной величины Х.

2.1.Используя характеристические свойства плотности распределения, найдите константу а; постройте график (запишите аналитическое выражение) плотности распределения.

2.2.Найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Убедитесь, что функция распределения. удовлетворяет своим характеристическим свойствам.

2.3. Пользуясь функцией распределения, найдите вероятность того, что с.в. Х примет значения из промежутка 0,5;0,5 .

Задача 3. Дана с.в. Х, распределенная по нормальному закону N(a, )

3.1.Запишите функцию плотности распределения с.в.Х и постройте ее график. Укажите на графике координаты вершины и точек перегиба.

3.2.Пользуясь таблицами функции Лапласа, найдите вероятности попадания с.в. Х в данные интервалы (а),(б)

3.3. Для случайной величины Y X (в) запишите плотность

распределения, используя теорему о линейном преобразовании. Проверьте параметры полученного распределения по свойствам числовых характеристик.

50