Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7005

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Задача 14. Вычислить ctgxdx .

Решение. ctgxdx =	cosx	dx =	d (sin x)	=	dt	= ln	t	C =

	sin x		sin x		t

ln sin x C .

Ответ. ln sin x C .

Для сведения, покажем, как выглядит график функции y ln sin x . Зелѐным цветом изображѐн график sin x , синим ln sin x . Вертикальные асимптоты x k .

Задача 15.

Вычислить интеграл

cos x

dx .

1 sin 2 x

Решение.

cos x

dx =

d (sin x)

= arctg(t) C

1 sin

arctg(sin x) C .

Ответ. arctg(sin x) C .

Домашнее задание.

1.Вычислить интеграл cosx esin x dx . Ответ. esin x C .

2.Вычислить интеграл 3x2ex3 dx . Ответ. e x3 C .

	Вычислить интеграл	x 2 dx			1	arctg(x3 ) C .
3.			.	Ответ.
		x6 1			3
4.	Вычислить интеграл tgxdx .			Ответ.	ln		cosx	C .

ПРАКТИКА № 2

Задача 1. Вычислить xe x2 dx .

Решение. xe x2 dx =

ex2 2xdx =

ex 2 d (x2 ) =

et dt =

et C =

ex2

C .

Ответ.

ex2

C .

Задача 2. Вычислить x cos(x2 )dx .

Решение. x cos(x2 )dx

cos(x2 )(2xdx)

cos(x2 )d (x2 ) =

costdt =

sin t C

sin(x2 ) C .

Ответ.

sin(x2 ) C .

Задача 3. Вычислить

dx .

1 x8

Решение.

dx =

4x3

dx =

d (x4 )

1 x8

1 (x4 )2

1 t 2

arcsin(t) C =

arcsin(x4 ) C .

Ответ.

arcsin(x4 ) C .

Задача 4. Вычислить

dx .

x5 1

Решение. Если сразу подвести под знак дифференциала то, что есть в числителе, то будет d (x10 ) , но тогда в знаменателе получится

выражение x 1 . чтобы не происходило такого усложнения и не

появились вложенные квадратные корни, надо подводить не весь числитель, а отделить тот множитель, который нам удобнее, чтобы

потом всѐ выражалось через x5 .

dx =

x5 x 4

dx =

(5x4 dx)

x5 d (x5 )

x5 1

и теперь, после замены t x5

, получится

dt .

t 1

Далее, сделаем преобразование, котрое позволит оставить только однотипные корни:


1		t	dt =		1		t 1 1				dt =		1	t	1	dt		1		1	dt =
			dt =								dt =					dt					dt =
5		t 1			5				t 1				5		t 1		5			t 1
1				1		1						1	t 1 12 dt				1		t 1 12 dt
1	t 1dt			1		1				dt =		1					1
	t 1dt									dt =
5				5				t 1				5					5

далее уже с помощью обычных действий со степенными функциями:

	1		1				t 1 32					1		1				t 1 12 C =									2	t 1 32	2	t 1 12 C .
5		3										5			1									15					5
		2													2
После обратной замены получаем ответ, при этом также заодно
обратно меняем дробные степени на корни.
								2								3			2
Ответ.								2		x5		1							2		x5 1 C .
Ответ.										x5		1									x5 1 C .
		15													5
Задача 5.									Вычислить													cos 3x				dx .
																				4
																				4
																						sin 3x
Решение.											cos 3x						dx =					sin 3x 14 cos3xdx =
										4
										4
											sin 3x
=				1	sin 3x 14							(3cos3xdx) =												1	sin 3x 14 d (sin 3x) =						1	t 14 dt	=
		3																						3					3
	1			1		t 34 C =							4		t 34 C						=		4	sin 3x 34 C .
		3				t 34 C =									t 34 C						=			sin 3x 34 C .
3		3										9									9
		4

Ответ. 94 4sin 3x 3 C .

Задача 6. Вычислить

2x 4

dx .

4x 8

Решение. Заметим, что в числителе производная того выражения,

которое есть в знаменателе. Тогда

2x 4

d (x 2 4x 8)

4x 8

= ln

C = ln

x2 4x 8

C .

t x2

4x 8 для

Здесь

фактически мы

применили

замену

упрощения выражения. Кстати, выделение полного квадрата в знаменателе это здесь был бы тупиковый путь, ведь в числителе не

константа а многочлен, то есть не удалось бы свести к виду t 2 a 2 .

Ответ. ln x2 4x 8 C .

x 1

Задача 7. Вычислить x2 4x 8 dx .

Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, в числителе уже произвольный многочлен, не соответствующий производной от знаменателя. Тем не менее, можно путѐм арифметических операций получить там дифференциал знаменателя:

Домножим и поделим на 2, чтобы исправился коэффициент при x :

x 1		1	2x 2
	dx =			dx
x2 4x 8		2	x2 4x 8

Теперь осталось прибавить и отнять 2, и будет получено 2x 4 :


1			2x 2			1			(2x 4) 2
				dx =							dx =
2		x2 4x 8				2			x2 4x 8
	1		2x 4			1		2
=					dx							dx .
	2		x2 4x 8				2			x2 4x 8

В первом слагаемом делается ровно то же самое, что в прошлой задаче, а во втором - выделить полный квадрат, и в итоге сводится к арктангенсу:

	1		d (x2 4x 8)										dx				1					dx =
2				x		2			4x 8				dx		(x 2)			2		2	2	dx =
2				x					4x 8						(x 2)					2
1					2		4x 8						1		x 2					C .
1					2								1		x 2
		ln		x										arctg
		ln		x										arctg
2													2				2			x 2
2													2				2
								1			2	4x 8				1							C .
								1			2					1
Ответ.									ln	x							arctg
Ответ.									ln	x							arctg
								2								2	x			2
								2								2				2
Задача 8. Вычислить																			dx .


																1 x 2
																1 x 2

Решение. Несмотря на то, что интеграл похож на

1 x2 dx , но, тем

не менее, в числителе есть переменная x , поэтому это не табличный интеграл, и ответ здесь вовсе не арксинус. Заметим, что в числителе 1- я степень, а под корнем в знаменателе 2-я. Домножим и поделим так, чтобы в числителе оказалось то выражение, которое под корнем в знаменателе.

d (1 x 2 )

1 x 2

1 x2

1 x 2

после замены переменной, это можно переписать так:

2 t

а значит,

t C и после обратной замены:

Ответ.

1 x2 C .

Задача 9. Вычислить

9x 2

18 x 5

Решение.

9x 2

18 x 5

( 9x2

18x 9) 4

9(x2 2x 1)

22 32 (x 1)2

2 (3x 3)2

Для того, чтобы применить формулу,

dx arcsin

a 2 x 2

нужно обозначить t 3x 3. Но сначала сделаем так, чтобы и в числителе оказался не просто dx а d(3x 3) :

3dx

d (3x 3)

22 (3x 3)2

C .

Теперь интеграл имеет вид

, и равен

arcsin

22 t 2

После обратной замены получаем ответ.

3x 3

C .

Ответ.

arcsin

Задачи по теме «Интегрирование по частям»

Вспомнить формулу uv dx uv vu dx .

Задача 10.

Вычислить xe3x dx .

Решение. Пусть u x , так надо, чтобы понизилась степень на следующем шаге. Составим таблицу:

u x	v		1	e3x
			1

	3
u 1	v e3x
Тогда xe3x dx =						1		xe3x	1	e3x dx	=	1	xe3x	1	e3x C .
Тогда xe3x dx =								xe3x		e3x dx	=		xe3x		e3x C .
					3				3			3		9
Ответ.	1	xe3x			1		e3x C .
Ответ.	3	xe3x			9		e3x C .
	3				9

Домашние задачи.
1.				x3				dx				Ответ.				1		arctg(x4 ) C . Указание. См. задачу № 3.
1.	1		x				8	dx				Ответ.				4		arctg(x4 ) C . Указание. См. задачу № 3.
	1		x													4
		x 1														1				2				1			x
2.									dx				Ответ.					ln( x			9)				arctg				C .
2.			2		9				dx				Ответ.					ln( x			9)				arctg				C .
		x			9											2								3			3
Указание. См. задачу № 7.
3.									dx						. Ответ.						1	ln	3x 3			C . Указание. См. задачу № 9.
									dx												1

				9x2 18x 9																	3
				9x2 18x 9																	3
ПРАКТИКА № 3
Задача 1. Вычислить интеграл x cos5xdx .
Решение.
u x						v				1	sin 5x
										1

									5
u 1						v cos5x
x cos5xdx =													1	x sin 5x					1	sin 5xdx =							1	x sin 5x		1	cos5x C .
												5					5										5			25

Задача 2. Вычислить интеграл x2 e x dx .

Решение. Так как степенная функция 2-й степени, то эта задача

решается в 2 шага. На первом шаге, обозначаем u

x 2 , v e x .

x 2

e x

Тогда

x2 e x dx = x2ex 2 xex dx .

На 2-м шаге, обозначим u

x , v

ex .

e x

В скобке происходит вычисление как бы для нового примера, выполним это вложенное действие:

x2ex 2 xex dx = x2ex 2 xex ex dx = x 2 e x 2 xe x e x C .

Итак, ответ: x2e x 2xex 2e x C .

Задача 3. Вычислить интеграл arcsin xdx

Решение. Пусть u arcsinx , второго множителя нет, но мы формально можем считать, что он есть, только равен 1. Итак, v 1. Построим таблицу:

u arcsinx

v x

v 1

1 x2

Тогда arcsin xdx =

x arcsin x

dx =

1 x2

1 2x

d (1 x 2 )

x arcsinx

dx = x arcsinx

1 x2

1 x 2

x arcsinx

t C .

Ответ: x arcsinx

1 x2 C .

Задача 4.

Вычислить интеграл arctgxdx

Производная арктангенса это рациональная дробь. И это мы используем, обозначая еѐ u при интегрировании по частям:

u arctgx			v x
u	1		v 1

	x2 1
	x2 1
Тогда:		arctgxdx =		xarctgx		x	dx .
Тогда:		arctgxdx =		xarctgx		2	dx .
					x	1

Второе слагаемое далее уже решается подведением под знак dx.

xarctgx

dx =

xarctgx

2xdx

xarctgx

d (x 2 1)

= xarctgx

x 2 1

xarctgx

ln( x2

1) C . Знак модуля даже не нужен, т.к.

x2 1 0 .

Задача 5. Вычислить интеграл xarctgxdx .

Решение. На этом примере вы увидите, что иногда полезно отступить от того, что мы, как правило, степенную функцию обозначали через u. Дело в том, что если так сделать, то при переходе от dv к v возникает целая новая задача, связанная с поиском интеграла от арктангенса. Напротив, если u arctgx , то его производная состоит только из

степенных, то есть происходит значительное упрощение. Конечно же здесь придѐтся смириться с тем что v x усложняется, растѐт его

степень, т.е. перейдѐт в v x 2 , но зато арктангенс упрощается очень

сильно. Итак, построим таблицу:

u arctgx									v			x 2
									v			2
												2
u					1				v x

				x2 1
				x2 1
xarctgxdx =											x 2	arctgx							1			x 2				dx	=	x 2		arctgx		1		x 2 1 1			dx	=
xarctgxdx =											2	arctgx							2		2					dx	=	2		arctgx		2			2	1	dx	=
											2								2	x				1				2				2		x		1
	x2							1									1						x 2						1		x arctgx		C =
			arctgx							1								dx		=					arctgx
2			arctgx					2		1			x			2		dx		=			2		arctgx				2
2								2					x				1						2						2
		x2				1									x
=							arctgx										C .
=							arctgx										C .
						2								2
		2				2								2

Задача 6. Вычислить интеграл e x cos xdx

Решение.

Пусть I ex cosxdx .

. На первом шаге, обозначаем u e x , v cosx .

e x

sin x

u e x

cosx

ex sin xdx .

ex cosxdx . = ex sin x

На 2-м шаге, в том интеграле, который получился, обозначим

аналогичным образом: u

e x , v

sin x .

e x

cosx

e x

sin x

sin xdx =

Получается

I ex sin x ex

ex sin x ex cosx ex cosxdx

= e x sin x e x cos x I .

Из равенства I e x sin x e x cos x I можно выразить I :

2I e x sin x e x cos x ,

e x

(sin x cos x) .

Примечание. Интегралы вида e x cos xdx и ex sin xdx называются

«циклические интегралы», потому что они решаются таким способом: через 2 цикла вычисления получается сведение к исходному интегралу.

Ответ.	e x cos xdx =	e x	(sin x cos x) .

	2
Задача 7. Вычислить eax cosbx dx .
Решение.	На первом шаге,

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023625.95 Кб06899.pdf
#
13.02.202149.22 Кб2690.pdf
#
05.02.2023505.3 Кб06905.pdf
#
05.02.2023475.83 Кб06990.pdf
#
13.02.2021815.65 Кб06OMkzBKrZ3.pdf
#
05.02.20232.15 Mб07005.pdf
#
05.02.2023618.28 Кб07014.pdf
#
05.02.2023225.21 Кб07046.pdf
#
05.02.20231.01 Mб37067.pdf
#
05.02.2023266.87 Кб07089.pdf
#
05.02.2023288.25 Кб07090.pdf