880

Вступление. Сообщение темы и обоснование ее актуальности через вышеуказанные задачи.

Основная часть:

I.Сообщение в виде доклада-презентации ответственными двумя студентами за

проведение занятия 1, в котором излагается суть обсуждаемых положений:

1) Формулы полной вероятности и Байеса на примере задач типа:

Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0.6, вторым – 0.8. Найти вероятность того, что в мишени будет две пробоины.

Решение. Введем в рассмотрение события, вероятности которых известны: А = {поражение мишени первым стрелком}, В – {поражение мишени вторым стрелком}.

Интересующее нас событие выразим через эти события. Для того, чтобы имело место событие С={две пробоины в мишени}, надо, чтобы произошли вместе события А и В, т.е. С=АВ.

Естественно считать события А и В независимыми, поэтому Р(С)=Р(А) Р(В)=0.6 0.8.

2)Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Биномиальное распределение;

3)Предельные теоремы в схеме Бернулли.

II. Выяснение позиций участников с зафиксированными точками зрения на решение

вышеизложенных задач.

Итог II-го этапа: формирование целевых групп по общности позиций каждой из групп.

III.Организация коммуникации между группами: 1) выяснение позиции-варианта решения выявленных групп и защита занятой позиции; 2) формирование нового

набора вариантов решений на основании общего обсуждения; 3) выбор одного решения голосованием;

IV. Повторная защита позиций-вариантов групп после проведения расчетов с целью оценки отклонения от «истинного» решения (попарное оценивание).

Выводы: реализован самостоятельный поиск учащимися путей и вариантов решения поставленной учебной задачи (выбор одного из предложенных вариантов или нахождение собственного варианта и обоснование решения на базе коллективной интерактивной работы).

Итог занятия №И1: Оценивание уровней З-Пр, У-Пр, В-Пр освоения компетенций ОК-1, ПК-32 по результатам работы на занятиях (активность, инициативность, грамотность, обоснованность защищаемой позиции) и своевременности сдачи отчета по решению практических задач И1.1-И1.9.

ВАРИАНТЫ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ К РАЗДЕЛУ 1

1)Партия содержит 8 изделий первого сорта и 32 изделия второго сорта. Наудачу взято 5 изделий. Найти вероятность того, что среди них ровно 4 изделия одного сорта.

2)Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероят-ность попадания для первого охотника равна 0.2, а для второго – 0.6. Произошло только одно попадание. Найти вероятность того, что промахнулся первый охотник.

3)Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных?

4)Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Веро-ятность повреждения в пути для каждого изделия равна 0.0002. Найти вероятность того, что будет повреждено не более трех изделий.

5)В урне 20 шаров, из них 3 черных. Наудачу взято 5 шаров. Найти вероятность того, что среди взятых шаров не более одного черного.

6)На сборку поступают детали с трех станков. Известно, что первый станок дает 0.3% брака, второй – 0.2%, третий – 0.4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого станка поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.

7)Что вероятнее, выиграть у равносильного противника две партии из четырех или четыре из восьми? Ничейные исходы не учитываются.

8)Вероятность появления некоторого события при одном испытании равна 0.4. Найти вероятность того, что при 1000 испытаний относительная частота этого события отклонится от вероятности не более чем на 0.05.

9)Изделия определенного вида изготавливаются на трех поточных линиях. Первая линия производит 20% изделий, вторая – 30%, третья – 50%. Каждая линия характеризуется соответственно следующими по-казателями выхода годных изделий: 95%, 98% и 97%. Найти вероятность того, что взятое наугад и оказавшееся бракованным изделие изготовлено на первой линии.

10)Сделано 14 выстрелов по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.2. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.

11)Сколько нужно провести опытов с бросанием монеты, чтобы с вероятностью 0.92 можно было ожидать, что относительная частота выпадения «орла» отклонится от вероятности 0.5 менее чем на 0.01 ?

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ К РАЗДЕЛУ 1

I вариант

1)Подброшены две монеты. Какова вероятность того, что только на одной монете выпадет «орёл»?

2)Десять человек случайным образом рассаживаются за круглым сто-лом. Какова вероятность того, что два определенных лица окажутся сидящими рядом?

3)Имеется две партии изделий. Каждая партия состоит из пяти изделий первого сорта и трех – второго сорта. Из каждой партии наугад берут по два изделия. Найти вероятность того, что состав партий останется одинаковым.

4)В ящик, содержащий три одинаковых детали, брошена одна стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находившихся в ящике.

5)Производится четыре независимых выстрела по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.5. Для разрушения цели достаточно хотя бы одного попадания. Найти вероятность того, что цель будет разрушена.

6)Вероятность получения положительного результата в каждом из опытов равна 0.9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0.98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

II вариант

1)Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков не превосходит семи.

2)В партии 20 изделий, из них 7 нестандартных. Наудачу взято 5 изде-лий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий 2 нестандартных.

3)В партии десять изделий, из которых три нестандартных. Наудачу взято пять изделий. Найти вероятность того, что среди них хотя бы одно нестандартное.

4)Вероятность того, что изделие некоторого предприятия удовлетворяет стандарту, равна 0.95. Упрощенная схема проверки качества дает положительный результат с вероятностью 0.98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, и с вероятностью 0.05 для изделий, не удовлетворяющих стандарту. Найти вероятность того, что изделие, признанное стандартным, действительно стандартное.

5)Производится восемь независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0.1. Найти вероятность того, что событие А появится в этих испытаниях хотя бы один раз.

IIIвариант

1)Наудачу выбирается целое число от 1 до 30 включительно. Какова вероятность того, что оно является делителем числа 30?

2)Из десяти лотерейных билетов выигрышными являются два. Опреде-лить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов нахо-дятся оба выигрышных.

3)Стрелок стреляет три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0.8. при втором – 0.7, при третьем – 0.6. Какова вероятность того, что будет только одно попадание?

4)Имеется шесть одинаковых урн. В пяти урнах находится по 2 белых и 2 черных шара, а в одной – 5 белых и 1 черный шар. Из взятой наугад урны извлечен шар, оказавшийся белым. Найти вероятность того, что шар взят из урны, содержавшей 5 белых шаров.

5)Производится четыре независимых выстрела по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.5. Для разрушения цели достаточно хотя бы одного попадания. Найти вероятность того, что цель будет разрушена

6)Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0.8. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью 0.9 можно было ожидать, что событие А появится не менее чем 75 раз?

IV вариант

1)Экзаменационные работы зашифрованы целыми числами от 1 до 90 включительно. Какова вероятность того, что номер наугад взятой рабо-ты кратен 10 или 11?

2)Найти вероятность того, что все четыре туза в хорошо перетасован-ной колоде из 36– и карт окажутся вместе.

3)Три стрелка одновременно стреляют в одну мишень. Найти вероят-ность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина, если вероятно-сти попадания в мишень для каждого из стрелков соответственно равны 0.9, 0.8 и 0.7.

4)Изделия определенного вида изготавливаются на трех поточных линиях. Первая линия производит 20% изделий, вторая – 30%, третья – 50%. Каждая линия характеризуется соответственно следующими по-казателями выхода годных изделий: 95%, 98% и 97%. Найти вероятность того, что взятое наугад и оказавшееся бракованным изделие изготовлено на первой линии.

5)Сделано 14 выстрелов по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.2. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.

6) Сколько нужно провести опытов с бросанием монеты, чтобы с вероятностью 0.92 можно было ожидать, что относительная частота выпадения «орла» отклонится от вероятности 0.5 менее чем на 0.01 ?

Контрольные вопросы к разделу 1

1.Доказать формулу суммы событий.

2.Вывести формулу для произведения событий.

3.Дать определение алгебры и сигма-алгебры событий.

4.Вероятность «хотя бы одного успеха» в вероятностных задачах.

5.Дать определение гипотез, привести примеры событий-гипотез и событий-не гипотез.

6.Доказать формулу полной вероятности.

7.Доказать формулу Байеса.

Раздел 2. Практические работы 6-10 (10 час)

Случайные величины. Распределение вероятностей Интерактивные занятие №2.1-2.2 (№И2)

по теме: «Непрерывные распределения: нормальное, показательное, равномерное. ЦПТ» (4 часа)

Цель работы: Изучение и закрепление материала: по второму разделу: Случайные величины. Распределение вероятностей

Дополнительная литература для подготовки к занятию:

1)http://www.alleng.ru/d/econ/econ292.htm Юдин С.В. Математика в экономике. Тула: РГТЭУ, 2009. — 228 с.

2)http://www.aup.ru/books/m155/2_12.htm Орлов А.И. Математика случая. Вероятность и статистика – основные факты. Учебное пособие. М.: МЗ-Пресс, 2004.

Форма текущего контроля освоения компетенций ОК-12, ОК-13, ПК-14, ПК-15 уровни З-Пр, У-Пр, В-Пр (см. табл.2): отчет по решению следующих практических текстовых задач:

Примеры типовых аудиторных заданий

Практическое занятие 6 (2 ч). Распределения случайных величин: дискретные с.в. 4. Числовые характеристики случайных величин.

Задача 2.1. Приобретено пять лотерейных билетов. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,05. X – число выигравших билетов. Требуется для дискретной случайной величины X: а) построить ряд распределения; б) вычислить М(Х), D(X) и (Х); в) найти вероятность Р(Х<М(Х)).

Задача 2.2. Даны значения независимых случайных величин x и y и их вероятности:

Найти распределения (значения и вероятности) случайной величины z =x+y. Вычислить среднее значение и дисперсию.

Задача 2.3. Случайная величина x равномерно распределена в интервале (a,b). Найти плотность вероятности и функцию распределения случайной величины h=x2 . а=-5, b=5.

Практическое занятие 7 (2 ч.). Распределения непрерывных случайных величин. Плотность распределения. Моменты случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, ковариация и их свойства.

Задача 2.4. Дана плотность распределения случайной величины X :

Найти: параметр ; определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, функцию распределения F(x) и вероятность Р( < Х < ). Исходные данные: a=1.0; b=2.8; =2.1; =2.5.

Задача 2.5. Случайная величина X – отклонение концентрации раствора от нормы – нормально распределенная, причём М(Х)=0. Найти (Х), если известно, что Р(– 0.01<X<0.01) =0.3.

Задача 2.6. Найти распределение величины Y aX b, если плотность вероятности СВ Х

Задача 2.7. Чему равен коэффициент корреляции величин аx+b и сh+d, где a, b, c, d - детерминированные константы, а x и h имеют коэффициент корреляции r?

Практическое занятие 8 (2 ч.). Биномиальное и геометрическое распределения. Теорема Пуассона, оценка отклонения биномиальных вероятностей от пуассоновских.

Задача 2.8. Найти числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану) для дискретных случайных величин с биномиальным, геометрическим и пуассоновским распределением.

Задача 2.9. Два стрелка А и В независимо друг от друга стреляют поочерёдно по некоторой цели, имея по 2 патрона, каждый — до первого попадания одним из стрелков или до полного израсходования патронов. Вероятность попадания при одном выстреле стрелком А равна 0.3, а стрелком В – 0.5. Стрельбу начинает В. X — общее число попаданий. Найти а) ряд распределения X; б) МХ, функцию распределения F(x), в ответ ввести F(3.5); в) х; г) Dx (округлить до 0,001); д) Р(1.5 < х < 3,5).

Задача 2.10. Вероятность производства бракованной детали равна 0.006. Какова вероятность наиболее вероятного числа бракованных деталей среди наудачу отобранных 1500 деталей?

Практические занятия 9-10 (4 ч.)

Интерактивное занятие №2.1-2.2 (№И2) по теме: «Непрерывные распределения:

нормальное, показательное, равномерное. ЦПТ» (4 часа)

Цель занятия: активное воспроизведение ранее полученных знаний по разделу 2 и освоение новой темы «Непрерывные распределения: нормальное, показательное, равномерное. ЦПТ».

Форма текущего контроля освоения компетенций ОК-12, ОК-13, ПК-14, ПК-15, отчет по решению указанных практических задач:

Задача И2.1. Брак деталей. (Начальный уровень) Деталь, взятая с конвейера, считается годной, если отклонение X её контролируемого размера от номинала не превышает 0.15мм. Величина X распределена нормально, причём (Х)=0.9мм. Найти вероятность того, что деталь не будет признана браком.

Задача И2.2. Контроль деталей. (Начальный уровень) Завод изготавливает бруски. Номинальный размер (длина) бруска d =10 мм. Фактический диаметр – случайная величина с мате-матическим ожиданием 12.5 мм и среднеквадратическим отклонением 0.26 мм. При контроле бракуются все бруски, диаметр которых отличается от номинала более, чем на 0.01 мм. Определить процент брака.

Задача И2.3. Числовые характеристики с.в. (Начальный уровень) Найти числовые характеристики (матожидание, дисперсию, моду, медиану) для нормального, показательного, равномерного законов.

Задача И2.4. Дальность полёта (Средний уровень) Средняя дальность полёта пули равна т. Предполагается, что даль-ность полёта X распределена по нормальному закону со средним квадратичным отклонением 50м. Найти, какой процент снарядов даёт перелёт от 150 м до 200 м.

Задача И2.5. Стрельба по цели (Средний уровень) Производится стрельба по цели, имеющей вид полосы шириной 65 м. Прицеливание производится по средней линии полосы. Среднеквадратическое отклонение точки попадания от середины полосы равно 18 м. Найти вероятность попадания в полосу при одном выстреле.

Задача И2.6. Закон Пуассона. (Средний уровень) В цехе n=100 станков. Количество отказов k за смену подчиняется закону Пуассона с параметром =0.34. Найти вероятность того, что количество отказов находится в интервале: 3≤k≤5.

Задача И2.7. Проценты. (Высокий уровень). Банкомат выдаёт стандартные суммы в 500, 100 и 50 долл., причём первые составляют 10%, а последние - 60% всех выдач. В среднем банкомат производит 100 выдач в сутки. Определить размер денежной суммы, которую необходимо заложить в банкомат утром, чтобы этой суммы с вероятностью 0,9 хватило для выдачи наличности вкладчикам до следующего утра.

Задача И2.8. Торговля. (Высокий уровень). Торговец газетами ходит по вагонам электропоездов. В каждом из вагонов он может продать газету с вероятностью 1/3. Случайная величина Х - число вагонов, в которые заходил торговец прежде, чем продал первые 100 газет. Найти распределение случайной величины Х.

Задача И2.9. Стоимость акции. (Высокий уровень). Почему стоимость акции лучше описывается логнормальным распределением, чем нормальным?

Подготовка занятия №И2. Выбор ведущего студента, ответственного за выбор и подачу необходимой информации, и обсуждение с ним алгоритма занятия.

Вступление. Сообщение темы и обоснование актуальности вероятностных распределений: нормального, показательного, равномерного в практических задачах (в экономике, в частности).

Основная часть:

I.Сообщение в виде доклада-презентации ответственным (студентом, двумя студентами) за проведение занятия И2, в котором излагается суть обсуждаемых положений:

1)Непрерывные распределения: нормальное, показательное, равномерное.

2)Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствие;

3)Центральная предельная теорема Ляпунова.

4)Перечень практических вероятностно-статистических задач с данными распределениями.

II.Выяснение позиций участников с зафиксированными точками зрения на решение

основной задачи И2.2, решаемой на занятии.

Итог II-го этапа: формирование целевых групп по общности позиций каждой из групп.

III.Организация коммуникации между группами: 1) выяснение позиции-варианта решения выявленных групп и защита занятой позиции; 2) формирование нового

набора вариантов решений на основании общего обсуждения; 3) выбор одного решения голосованием;

IV. Повторная защита позиций-вариантов групп после проведения расчетов с целью оценки отклонения от «истинного» решения.

Выводы: реализован самостоятельный поиск учащимися путей и вариантов решения поставленной учебной задачи (выбор одного из предложенных вариантов или нахождение собственного варианта и обоснование решения на базе коллективной интерактивной работы).

Итог занятия №И2: Оценивание уровней З-Пр, У-Пр, В-Пр освоения компетенций ОК12, ОК-13, ПК-14, ПК-15 по результатам работы на занятиях (активность, инициативность, грамотность, обоснованность защищаемой позиции) и своевременности сдачи отчета по решению реальной практической задачи.

ВАРИАНТЫ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ К РАЗДЕЛУ 2

1.Известно, что случайные величины X, Y независимы, причем DX=4, DY=3. Найти

D(3X), D(–2Y), D(X+Y), D(X–Y).

2.Известно, что EX=1, EY=2, EX2=2, EY2=8, EXY=1. Найти DX, DY, cov(X, Y), D(X+Y).

3.Два стрелка, для каждого из которых вероятность попадания в цель равна p, производят n залпов по два выстрела. Найти математическое ожидание и дисперсию числа парных попаданий X и общего числа попаданий Y.

4.В интервал времени [0, T] в случайный момент времени появляется сигнал

длительности . Приемник включается в случайный момент на время t. Найти вероятность обнаружения сигнала.

5.Монета упала на дощатый пол. Ширина доски 2H, радиус монеты r (2r<2H). Какова вероятность того, что монета попадет на щель?

6.Найти производящую функцию, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, имеющей геометрическое распределение.

7.Найти функцию распределения, производящую функцию, математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ К РАЗДЕЛУ 2

Вариант I

1. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0.5, для второго – 0.4. Х– число попаданий в мишень. Требуется для дискретной случайной величины X: а) построить ряд распределения; б) вычислить М(Х), D(X) и (Х); в) найти вероятность Р(Х<М(Х)).

2.Дана плотность распределения случайной величины X :

Найти: а) константу b; функцию распределения F(x), в ответ ввести F(l/3); F(l/2); в) МХ; г) DХ; д) Р(1/3 < Х < 1/2).

3. Весы для тяжелых предметов считаются годными, если отклонение X от контрольного веса на более чувствительных весах не превышает 18 г Величина X – нормально распределенная и М(Х)=0, D(X)=10 г. Сколько процентов пригодных весов изготавливает завод? Ответ округлить до целых.

Вариант II

1. Из коробки, содержащей 3 синих и 4 красных карандаша, наудачу вынимают 3 карандаша. X – число красных карандашей среди вынутых. Требуется для дискретной случайной величины X: а) построить ряд распределения; б) вычислить М(Х), D(X) и (Х); в) найти вероятность Р(Х<М(Х)).

2.Задана плотность распределения вероятностей

3. Найти: а) константу а; б) функцию распределения F(x), в ответ ввести значения F(– 1/2), F(1/2); в) М(Х); г) D(X); д) Р(–1/2 < X < 2).

Вариант III

1. Игральная кость бросается до появления шестерки, но не более семи раз. Х– число бросаний кости. Требуется для дискретной случайной величины X: а) построить ряд распределения; б) вычислить М(Х), D(X) и (Х); в) найти вероятность Р(Х<М(Х)).

2.Задана плотность распределения вероятностей

0, x 1

Найти: а) константы а; b б) функцию распределения F(x), в ответ ввести значения F(–1/2), F(1/2); в) М(Х); г) D(X); д) Р(–1/2 < X < 0.5).

Контрольные вопросы к разделу 2

1.Доказать свойства для математического ожидания и дисперсии СВ.

2.Вывести формулу дисперсии суммы и произведения СВ.

3.Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии типовых вероятностных распределений дискретных СВ (Пуассона, геометрического, биномиального).

4.Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии типовых вероятностных распределений непрерывных СВ (нормального, показательного, равномерного).

5.Сформулировать ЦПТ и дать «практическую» интерпретацию.

6.Предельные теоремы для биномиального распределения.

7.Дать определение коэффициента корреляции двух СВ.

Раздел 3. Практические работы 11-14 (8 час)

Основы теории случайных процессов Интерактивные занятие №3.1-3.2 (№И3) по теме: «Цепи Маркова и их

использование в моделировании социально-экономических процессов. Теория массового обслуживания: основные модели» (4 часа)

Цель работы. Знакомство с основами теории случайных процессов и моделирования систем массового обслуживания.

Дополнительная литература для подготовки к занятию:

Денисенко Т.И. Использование марковских цепей при решении различных прикладных задач // Фундаментальные исследования. – 2009. – № 1 – С. 27-28 www.rae.ru/fs/?section=content&op=show_article&article_id=7781400.

Примеры типовых аудиторных заданий.

Марковские цепи используются в теории массового обслуживания для расчета распределения вероятностей числа занятых приборов в системе, состоящей из n приборов с пауссоновским потоком требований и показательным законом времени обслуживания.

Практическое занятие 11 (2 ч.). Совокупности случайных величин. Совместное распределение. Независимость случайных величин.

Задача 3.1. Каждая из двух случайных величин x и h принимает лишь два значения a и -а. Вероятности всех сочетаний x и h даны в табл.3.1.

Ответить на вопросы: а) являются ли x и h независимыми? Если нет, то каков их коэффициент корреляции? б) Найти законы распределения x и h.

Задача 3.2. Вычислить и построить двухмерную функцию распределения F(x,y) независимых дискретных величин x и y, если случайная величина x принимает три возможных значения 0, 1 и 3 с вероятностями 1/2, 1/4 и 1/4, а y - два значения 0 и 1 с вероятностями 1/3 и 2/3.

Задача 3.3. Вычислить коэффициент корреляции случайных величин x и x + h, если x и h - совместно независимые нормальные (гауссовские) величины с нулевыми средними и дисперсиями Dx и Dh соответственно.

Практическое занятие 12 (2 ч.). Понятие случайного процесса. Пуассоновский процесс. Случайные потоки.

Задача 3.4. Доказать свойство, связывающее показательный закон и пуассоновский процесс: При показательном распределении интервала времени между требованиями Т, независимо от того, сколько он длился, оставшаяся его часть имеет тот же закон распределения.

Задача 3.5. На стоянку такси через единичные моменты времени прибывают машины (по одной в каждый момент). Если на стоянке нет ожидающих, то машина сразу уезжает. Обозначим через k число пассажиров, приходящих в момент k на стоянку, и будем считать, что 1, 2,... - независимые случайные величины. Пусть k длина очереди в момент времени k, 0 =0. Будет ли последовательность случайных величин 0 , n 0

марковской цепью?

Задача 3.6.. В начальный момент в урне n0 белых и m0 черных шаров. Через каждую единицу времени из урны (без возвращения) извлекается один шар. Пусть k – число белых, а k – число чёрных шаров в урне в момент времени k. Какие из указанных ниже последовательностей образуют цепь Маркова:

а) k , k 0 ;