Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в Mathcad.-1

21

1.7. Варианты заданий лабораторной работы №1

Задание 1. Построить графики Пф и их сечений (для двухфакторных ПФ). Задание 2. Рассчитать характеристики ПФ и построить их графики. Задание 3. Дать экономическую интерпретацию

Задание 4. По заданным значениям параметров a, b рассчитать однофакторную ПФ y для пяти значений аргумента x и сформировать два массива: x и y. Рассматриваем полученные массивы как входные данные.

Используя эти массивы данных вычислить параметры a, b модели y = a xb

тремя способами:

а) методом наименьших квадратов, предварительно линеаризовав ПФ; б) с помощью линейной регрессии; в) с помощью нелинейной регрессии.

Задание 5. По заданным значениям параметров a, α, β рассчитать

двухфакторную ПФ Y для пяти значений ресурсов K и L и сформировать три массива: K , L и Y . Рассматриваем полученные массивы как входные данные. Используя эти массивы данных вычислить параметры a, α, β модели

Y = a Kα Lβ двумя способами:

а) методом наименьших квадратов, предварительно линеаризовав ПФ; б) с помощью линейной многомерной регрессии.

23

предложение xmax = (5,10)T , вектор цен p = (10, 20)T . При каком доходе

M потребителя доступное множество благ будет: а) пустым; б) полным.

Рис. 2.1а. Результаты решения примера 2.1. Пустое доступное множество благ ( M =110д.е.)

24

Рис. 2.1б. Результаты решения примера 2.1. Полное доступное множество благ

( M = 250д.е.)

2.2. Функция полезности и ее свойства

Рассмотрим вопрос о выборе набора благ. Каждое благо должно удовлетворять ту или иную потребность. Способность удовлетворять ту или иную потребность называют полезностью блага.

Функция u(x) = u(x1,..., xn ), определенная на неотрицательном ортанте Rn

(или некотором G Rn ), называется функцией полезности, соответствующей отношению предпочтения ≥, если u(x) ≥ u(y), тогда и только тогда, когда x ≥ y ,

причем если u(x) = u(y), то x y и обратно, если x y, то u(x) = u(y).

Функция полезности u(x), по существу, представляет систему предпочтений потребителя. Основное ее свойство в том, потребитель предпочитает выбирать x, а не y , если u(x) > u(y), она упорядочивает наборы по предпочтению их

друг другу. Отсюда следует, что потребитель при выборе набора благ стремится максимизировать свою функцию полезности.

В таблице 2.1 приведены четыре типа функции полезности.

Рассмотрим некоторые общие свойства функции полезности.

1) Функция полезности и дважды дифференцируема и строго выпукла.

25

2) Функция полезности не насыщена. Свойство ненасыщаемости состоит в

верхность равноценных (одинаковой полезности) наборов благ (множество безразличия), и наоборот, каждому множеству безразличия соответствует

некоторая поверхность, определяемая уравнением u(x) = c. Эти поверхности

называют поверхностями безразличия. В случае двух благ, т.е. в R2 их называют кривыми безразличия.

Пример 2.2. Построить графики функций полезности, приведенных в таблице 2.1 при n = 2

26

2

Рис. 2.2а. Функции полезности u(x) = ∑aj ln xj и u(x) = a x1α1 x2α2

j=1

Пример 2.3. Построить кривые безразличия для функции полезности и а)u(x1,x2 ) = α1 xβ1 + α2 xβ2 ;

б)u(x1,x2 ,x3 ) = α1 xβ1 + α2 xβ2 + α3 xβ3 .

Рис. 2.3а. Кривые безразличия для функции полезности u(x1,x2 ) = α1 xβ1 + α2 xβ2

30

•предельные полезности,

•коэффициент предельной эквивалентной замены благ n21,

•матрицу Гессе H и провести исследование матрицы на отрицательную определённость.

Рис.2.4. Результаты решения примера 2.4

2.4.Оптимальный выбор благ потребителем

2.4.1.Модель задачи оптимального выбора

Математическая модель выбора благ потребителем имеет следующий вид:

Ограничение (2.7) означает, что спрос на j -е благо ограничен величиной xminj , предложение – xmaxj .

Для n = 2 получаем задачу