Математика (семестр 2, часть 2).-1

x 1

if x ( 1,0)

Задача 3. Найти ряд Фурье для f (x)

1

if x (0,1)

0

1

x2

0

1

1

3

a0 3

a0 (x 1)dx 1dx =

x

x

0

=

1 1

,

.

1

0

2

1

2

2

2 4

0

1

an (x 1) cosn xdx cosn xdx . Первый интеграл вычисляется

1

0

0

0

1

an x cosn xdx cosn xdx cosn xdx =

1

1

0

0

1

x cosn xdx cosn xdx . Тогда интеграле по частям остаѐтся не

1

1

скобка, а только x .

u x ,

u 1,

v cosn x ,

v

1

sin n x . Тогда

n

0

1

x

0

1

0

1

1

x cosn xdx cosn xdx =

sin n x

sin n xdx

sin n x

n

n

n

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0 0

1

=

sin(n )

sin n xdx

= 0

cosn x

0 =

n

n

n

n

2

2

1

1

1 ( 1)n

cos0 cos(n )

=

1 cos(n )

=

.

n2 2

n2 2

n 2

2

0

1

0

1

bn (x 1) sin n xdx sin n xdx = x sin n xdx sin n xdx

1

0

1

1

В первом u x ,

u 1,

v sin n x ,

v

1

cosn x . Тогда

n

x

0

1

0

1

1

cosn x

cosn xdx

cosn x

=

n

n

n

1

1

1

cosn

0

cosn cosn

( 1)n

( 1)n 1

1

0 0

sin n x

=

=

n

n

2 2

n

n

n

1

( 1)n 1

1 ( 1)n

3

Ответ. Ряд Фурье:

sin n x

cos n x .

4

n

n2 2

n 1

1

0

2

1

2

10 = 6.

a0

a

0

1dx

5dx =

Тогда

3 . Кстати, это и есть

2 2

2

2

0

средняя высота графика этой функции.

1

0

n x

2

n x

1

2

n x

0

2

n x

2

a

cos

dx

5 cos

dx =

sin

5

sin

2

2

2

2

n

2

n

2 n

1

2

2

0

2

2

0

(sin 0 sin( n )) 5

(sin n

sin 0)

0 так как синус

2 n

n

1

0

n x

2

n x

1

2

n x

0

2

n x

2

b

sin

dx

5sin

dx

=

cos

5

n

cos

2

2

2

2

2

2

n

n

1

2

0

2

0

=

(cos0 cosn ) 5(cosn cos0)

притом здесь мы уже сразу

n

учли чѐтность косинуса, что cos(n ) cosn .

Итак,

1

1 ( 1)n 5( 1)n 5 = 1 ( 1)n 5( 1)n

5

=

n

n

4 4( 1)n

=

4

1 ( 1)n

.

n

n

1 ( 1)

n

n x

Ответ. Ряд Фурье:

3 4

sin

.

2

n 1

n

Задача 5.

Разложить в тригонометрический ряд Фурье f (x) x

x

на

интервале (-1,1).

выражение ведѐт себя на разных частях интервала:

2x

x 0

.

f (x)

0

x

0

Поэтому здесь на левой части интеграл считать не надо, он равен 0.

Остаѐтся только на (0,1).

1

1

a0

1

1

a0

2xdx x 2

1,

.

an

2x cosn xdx интегрируем по

0

2

2

0

0

частям:

u 2x ,

u 2 ,

v cosn x

,

v

1

sin n x .

n

Тогда a

2x

sin n x

1

2

1 sin n xdx = 0

2

cosn x

1

=

n

n

n

n2 2

0

0

0

2(cosn cos0)

=

2((1)n 1)

.

n2 2

n

2 2

1

bn

2x sin n xdx тоже по частям,

0

u 2x , u 2 ,

v sin n x ,

v

1

cosn x .

n

Тогда b

2x

cosn x

1

2

1

cosn xdx =

n

n

n

0

1

0

2( 1)n 1

2

cosn

2

sin n x

2( 1)n

2(sin n sin 0)

=

n

=

.

n

n

2

2

0

n2 2

n

1

2(( 1)n

1)

2( 1)n 1

Ответ.

cos n x

sin n x .

2

n

2

2

n

n 1

445 ПРАКТИКА № 15