Композитные материалы.-1

31

Рис. Делительный барабан и делительная втулка микрометра

В нашем примере (рис. ) на шкале стебля установлен размер 8,5 мм. Круговая шкала барабана поделена на 50 частей, которые соответствуют 0,01 мм. Если барабан повернется дальше на одно деление, то шпиндель продвинется продольно на 0,01 мм. В приведенном примере нониус барабана стоит на делении 27/100 = 0,27 мм, совпадающим с горизонтальным указательным штрихом шкалы стебля. Общий размер замеряемого изделия, таким образом, будет равен: 8,5 мм + 0,27 мм = 8,77 мм.

6. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА

Усадку (MS) в процентах вычисляют по формуле

MS L0 L1 100 ,

L0

где L0 – размер пресс-формы, мм; L0 =124 мм

L1 – размер образца, мм, определенный с помощью микрометра.

Определяем усадку для всех образцов. Результат измерения является случайной величиной, которая задается множеством возможных значений.

Находим среднее значение усадки.

где хi = MSi – текущее значение усадки: n – объем выборки.

Находим среднее квадратическое отклонение усадки.

32

Квалитеты точности, допуски на размеры деталей назначаются по величине колебания усадки ∆S, определяемой на стандартных образцах по ГОСТ 18616-80.

∆S = 6ζмs,

где ζмs – среднее квадратическое отклонение усадки.

Квалитеты точности для размеров деталей из полимерных композитных материалов

Квалитет точности при значениях колебаний усадки ∆S, %

При обработке данных чаще всего используют статистические методы, в основе которых лежат представления и методы теории вероятностей. Задачи математической статистики состоят в том, чтобы на основе полученных экспериментальных данных, которые в целом изменяются непредсказуемым образом получить надежные выводы относительно основных параметров модели.

В результате измерения получен набор данных (случайных величин) объемом n. Каждое измерение обозначим

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими им вероятностями. Простейшей формой такого закона является выборка в виде вариационного или статистического ряда.

Вариационным или ранжированным рядом выборки x1,x2,x3,…,xn называется способ ее записи, при котором элементы располагаются в порядке возрастания, т.е. в виде последовательности

Элементы выборки xi называются вариантами.

Разность между минимальным и максимальным элементами выборки называют размахом выборки

33

Пусть в выборке объема n элемент xi встречается ni раз. Число ni называется частотой элемента xi, а сумма всех частот равна объему выборки

Относительной частотой варианты называется отношение соответствующей ей частоты к объему выборки:

Wi = ni/n

Оформим ранжированный ряд в виде статистического.

Статистическим рядом называется последовательность пар {xi, ni}, записанная в виде таблицы, где первая строка содержит элементы xi, а вторая их частоты ni:

Оформим в виде таблицы также ряд с относительными частотами:

Графическое представление вариационного ряда позволяет представить в наглядной форме закономерности изучаемой величины. Графически вариационные ряды можно представить в виде полигона и гистограммы. Полигоном частот называют ломанную, отрезки, которой соединяют точки (x1;

n1), (x2; n2), ..., (xi; ni), ..., (xk; nk).

Для построения полигона частот по оси абсцисс откладывают варианты xi, а по оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (xi; ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки, которой соединяют точки (x1; w1), (x2; w2), ..., (xi; wi), ..., (xk; wk).

Для построения полигона относительных частот по оси абсцисс откладывают варианты xi, а по оси ординат– соответствующие им относительные частоты wi. Точки (xi; wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

Порядок построения гистограммы Найти число интервалов, на которое разбивается выборка значений случайной

величины по формуле k = 1+3,322lg(n). Значение k округляется до ближайшего целого числа.

34

Определить длину интервала h=(xmax-xmin)/k и округлить для удобства вычислений.

Определить середину области изменения выборки xcp = (xmax+xmin)/2; xcp - центр исходного интервала. Справа и слева от xcp откладывать по h/2. Конечное число интервалов должно перекрыть всю область от xmin до xmax.

Подсчитать частоту попадания случайной величины в каждый i интервал. Значение x попавшее на границу между интервалами i-1, i, отнести к интервалу с номером i, т. е. к первому интервалу.

Определить относительную частоту или вероятность попадания случайной величины в i интервал по формуле Pi=ni/n

Полученные данные оформить в таблицу:

Пример.

Пусть имеется выборка из 100 наблюдений случайной величины

0 7 19 12 21 34 23 40 31 29 27 41 45 42 56 54 51 49 59 58 47 48 51 55 44 60 61 62

67 68 79 77 64 69 70 77 75 78 77 66 63 64 62 79 62 69 81 89 87 99 96 95 84 83 96

95 90 92 84 81 87 81 88 99 83 92 96 94 86 99 101 102 103 104 120 119 110 110 117

118 108 109 104 103 107 111 115 113 112 111 117 118 121 132 139 125 138 141

160 150

xmin=0, xmax = 160 , требуется построить гистограмму и соответствующую теоретическую кривую. Для построения гистограммы определим число интервалов по формуле

k = 1+3,322*lg(100) ~ 7,644 ~ 8

Рассчитаем шаг

h=(160-0)/8=20

Подсчитаем количество значений, попавших в интервалы.

n1 = 4; n2 = 7; n3 = 15; n4=20 ; n5 = 24; n6 = 22; n7 = 7; n8 = 3

Определим плотность частоты и статистическую вероятность. Для удобства расчеты оформим в виде таблицы:

36

8.СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1.Титульный лист отчета.

2.Наименование и цель работы.

3.Основные определения и формулы.

4.Данные измерения усадочных характеристик гомополимера и композитов на его основе.

5.Результаты статистической обработки усадочных характеристик (раздел 6).

9.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.С какой целью определяются усадочные характеристики полимерных материалов?

2.Усадка в аморфных полукристаллических пластмассах?

3.Какие факторы влияют на образование размера пластмассового изделия?

4.Виды усадки.

5.Что такое колебание усадки.

6.От чего зависит усадка.

7.Как составляется вариационный ряд?

8.Что называется называются вариантами?

9.Как составляется статистический ряд?

10.В чем заключается статистическая обработка результатов испытаний.

10. ЛИТЕРАТУРА

1.Крыжановский В.К., Бурлов В.В., Паниматченко А.Д., Крыжановская Ю.В. Технические свойства полимерных материалов: справочник.- СПб.: Профессия,

2005.- 280 с.

2.Брагинский В.А. Точное литье изделий из пластмасс. - Л.: Химия, 1977. –

112с.

3.Допуски и посадки. Справочник. В 2-х ч./ В.Д. Мягков, М.А. Палей, А.Б. Романов, В.А, Брагинский.- 6-е изд., перераб. и доп. - Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983. Ч. 2. 448 с.

37

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ПОЛИМЕРНЫХ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ИЗГИБЕ

ВЕДЕНИЕ

Деформацию изгиба испытывают большинство элементов, а также детали передаточных и исполнительных механизмов (валы, оси и т.д.).

Любые виды деформаций твердых тел так или иначе сводятся к двум основным - это растяжение (сжатие) и сдвиг. При изгибе в общем случае реализуются эти два вида деформаций. Однако, при расчетах на прочность балок (брусья, работающие на изгиб) за редким исключением оказывается возможным не учитывать результат действия сдвиговых деформаций. В этом случае деформацию изгиба можно рассматривать как один из способов одноосного (линейного) деформирования частей бруса. Такой способ можно определить как неоднородное линейное деформирование, когда в точках мысленно выделенной линии (волокна) бруса действуют вдоль нее различные по величине элементарные силы растяжения (сжатия).

Существенным отличием деформации изгиба от деформации однородного линейного растяжения (сжатия) прямого бруса является искривление его оси, или наличие прогибов оси относительно недеформированного ее положения.

Большие прогибы отдельных частей конструкции могут приводить, вследствие разных причин, к резкому падению их прочности и поэтому считаются недопустимыми.

На практике величины прогибов при расчетах на жесткость ограничиваются допускаемыми значениями, которые определяются с использованием экспериментальных данных по изгибу брусьев заданного материала.

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Экспериментальное определение перемещений, модуля упругости и упругой области поведения полимерных композиционных материалов при изгибе.

2. ТЕОРИЯ ИЗГИБА

Изгибом называется такой вид деформации, когда под действием внешних сил в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты.

Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальные силы отсутствуют, изгиб называется чистым. Если в поперечных сечениях стержня наряду с изгибающими моментами действуют и поперечные силы, изгиб называется поперечным. Возможны случаи, когда в поперечных сечениях бруса одновременно возникают несколько силовых факторов. Такие случаи называют сложным

сопротивлением.

38

На рис. 1 показана схема деформации при чистом изгибе.

Рис. 1. Схема деформации при чистом изгибе

Напряжения и деформации в изогнутой балке распределены таким образом, что внешние волокна растянуты, а внутренние – сжаты, причем и напряжения σ, и деформации ε растут пропорционально расстоянию от нейтральной линии, где σ = 0. Внешние слои балки несут большую часть нагрузки, внутренние – значительно меньшую. Поэтому целесообразно так сформировать сечения балки, чтобы большая часть материала была удалена от центра сечения. Тавровые, двутавровые и трубчатые сечения балок являются примерами оптимальных сечений.

Если материал балки хуже сопротивляется растяжению, нежели сжатию, то центр тяжести сечения должен располагаться ближе к растянутым волокнам, чтобы величина максимальных растягивающих напряжений была меньше максимальных сжимающих напряжений, оптимальный тавровый профиль сечения балки (рис. 2).

Рис. 2. Распределение напряжений в тавровом профиле балки

Теория изгиба балки была создана Я. Бернулли и Л.Эйлером на рубеже

17–18 вв.

Расчетная схема консольной балки, нагруженной силой F, показана на рис. 3. После приложения нагрузки балка изгибается и ее ось становится

39

криволинейной. Получившаяся кривая называется упругой линией. Задача – найти ее уравнение у = f(x).

Из дифференциальной геометрии известно выражение для кривизны в прямоугольных декартовых координатах. Решение этой задачи основано на том, что в каждой точке упругой линии ее кривизна пропорциональна изгибающему моменту внешних сил, который зависит от координаты x и обозначается Mz(x). Так как при малых прогибах кривизна кривой практически равна ее второй производной, можно записать дифференциальное уравнение:

Это уравнение называется дифференциальным уравнением изогнутой оси. Сомножитель EJz называется изгибной жесткостью, он определяет способность балки сопротивляться изгибу и равен произведению модуля упругости материала балки E на осевой момент инерции сечения балки Jz.

где b – ширина сечения, а h – высота (рис. 3,а).

Рис. 3. Перемещения и углы поворота сечений консольной балки.

При изгибе деформация в поперечном сечении стержня (рис. 3) определяется перемещением у центра масс сечения в направлении, перпендикулярном первоначальному положению оси стержня, называемым прогибом и углом поворота θ сечения по отношению к своему первоначальному положению. Для нахождения деформаций во всех поперечных сечениях по длине стержня необходимо получить зависимости

у = y(x) и θ = θ(x).

Определим прогиб и угол поворота свободного конца консоли стержня (рис 3) длиной ℓ, нагруженного на конце сосредоточенной силой F. Жесткость стержня постоянна по длине и равна EzI.

40

Начало координат примем в точке В жесткого закрепления стержня. Ось

унаправим вверх, ось х – вправо.

Впроизвольном поперечном сечении, отстоящем на расстоянии х от

начала координат, изгибающий момент равен Мz = –F (ℓ – x). Дифференциальное уравнение изогнутой оси примет вид

Интегрируя это уравнение, получим EI(dy/dx) = –F [ℓx – (x2/2)] + С. Интегрируя далее, получим уравнение прогибов

EIy = –F [(ℓx2/2) – (x3/6)] + Cx + D.

Приняв во внимание, что в месте закрепления при х =0 прогиб у и угол поворота сечения θ = dy/dx равны нулю, найдем, что постоянные интегрирования С =0 и D = 0.

Тогда на свободном конце стержня при х = ℓ, прогиб

и угол поворота торцового сечения

2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Эксперименты по определению максимального прогиба балки проводятся на

установке, изображенной на рисунке 2. На вертикальной стойке штатива 1

одним концом жестко закрепляется образец 2 исследуемого материала в виде

бруса длиной 200 - 300 мм прямоугольного сечения шириной B и высотой h. На

конце кронштейна 3 закреплен измерительный прибор 4, фиксирующий прогиб

конца консоли во время его нагружения грузами 5.

Нагружение консоли во время испытаний проводится последовательно

несколькими грузами, начиная с наименьшего, при котором становится возможным определение прогиба по прибору 4. Нагружение должно

производится осторожно, чтобы избежать больших упругих колебаний образца.

Снятие показаний измерительного прибора прогиба консоли должно

производиться после затухания колебаний. Максимальный груз для образцов из

разного материала указывается преподавателем.

Полученные данные заносятся в таблицу с графами - сила F, н; прогиб y, мм.