Прикладная математическая статистика.-6

1

n

1

n

2

1

n

1

n

2

•

sy2 =

∑ yi2 −

∑ yi

; sx2j =

∑ xij2

−

∑ xij

; j = 1,..., 5 ;

n i=1

n i=1

n i=1

n i=1

1

n

1

n

1

n

1

n

•

y

=

∑ yi ;,

x j

=

∑ xij ;

y x

j

=

∑ yi

xij

y x

j

=

∑ yi xij . Здесь xij – i -е

n i=1

n i=1

n i=1

n i=1

=

1 − (1 − R

2

)

n − 1

R y / x1

, x2

,..., xk

,

n − k −1

1

Ry2

7) Вычислить статистику Фишера F =

2

/ x

,...,x

1

5

;

1

(1 − Ry2

,..., x )

/ x

n − 6

1

5

•

величины dk2 (i, j) = (Rk , x

− Rk ,x

j

)2

; i ≠ j, i, j = 1,..., 5;

k = 1,...,10 ;

i

n

коэффициенты ранговой корреляции Спирмана ρxi / y j

= 1 −

6∑ dk2 (i, j)

•

k =1

;

n(n2 − 1)

•

t -статистики tij = ρxi / y j

n − 2

1 − ρ2x / y

j

i

если значение коэффициента корреляции

τ

> τα = uα

2(2n + 5)

.

9n(n − 1)

4.1.2.1.3 Коэффициент конкордации (множественный коэффициент

ранговой корреляции)

6)Проранжировать столбцы исходной таблицы { x ji }

(наблюдения) их

рангами {rji } не упорядочивая табличные данные.

10

2

10

2

9)сумму рангов по всей совокупности ранг R

= ∑ R j

и R

= ∑ Rj ;

j =1

j =1

2

2

−

R

12

R

n

10)вычислить коэффициент конкордации W =

, m = 5, n = 10 .

m2 (n3 − n)

11)

Проверить значимость связи между

признаками.

Если

W > Wα , где

W =

1

χ2 (n −1) , то с вероятностью

α корреляция между признаками

α

m(n − 1)

α

признается значимой. Если среди последовательностей рангов есть

совпадения, то коэффициент конкордации следует вычислять по формуле

2

2

R

12

R

−

n

W =

,

m

m2 (n2 −1) − m∑Tj

j =1

где T

j

= t 3 − t

j

, t

j

– количество совпавших рангов в

j -й последовательности.

j

Номер

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

варианта

0

0,5

1,0

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

σ

0,2

0,2

0,2

0,5

0,5

0,5

1

1

1

1,5

a0

1

2

3

4

5

1

-2

3

-4

5

a1

2

3

4

5

6

-2

3

-4

5

-6

a2

3

4

5

6

7

3

-4

5

-6

7

a3

4

5

6

7

8

-4

5

-6

7

-8

a4

5

6

7

8

9

5

-6

7

-8

9

a5

6

7

8

9

10

-6

7

-8

9

-10

Номер

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

варианта

n

20

30

40

35

25

100

90

80

70

50

p

0,4

0,5

0,7

0,4

0,8

0,3

0,6

0,7

0,1

0,5

y = f ( x ) + ε = β0 + β1 f1( x) + β2 f2 ( x) + …+ βk fk ( x) + ε ,

(1)

где ε

- случайная величина с математическим ожиданием равным нулю и дисперсией

σ 2 .

Полагая, x j = f j ( x), j =

перейдем к модели множественной линейной

1, k

регрессии:

y = f ( x ) + ε = β0 + β1 x1 + β2 x2 +…+ βk xk + ε .

(2)

Пусть для оценки неизвестных параметров β j , j =

уравнения регрессии (2)

0, k

взята выборка объемом n из значений величин (Y , X 1 , X 2 ,…, X k ) . Тогда

Y = XB + ε ,

где

Y = ( y1 , y 2 ..., y n )T - вектор значений переменной y ;

B = (β0 ,β1,…,βk )T - вектор параметров модели;

ε = (ε1 ,…, ε n )T

– вектор ошибок, где ε i Ν(0,σ 2 ) и независимы;

X - матрица исходных данных переменных X j

размерами n × (k + 1) . Первый столбец

матрицы X

содержит единицы (значения

фиктивной переменной x0 ),

остальные

столбцы значения переменных x1, x2 ,..., xk :

1

x1

x1

1

k

1

x 2

x 2

X =

1

k

.

n

n

1

x1

xk

Для нахождения оценки

B *

вектора параметров

B = (β

0

,β ,…,β

k

)T

используем

1

метод

наименьших

квадратов, согласно

которому в

качестве оценок

β*

,β* ,…,β*

0

1

k

берутся такие, которые минимизируют сумму квадратов Q отклонений значений уi

от

f ( xi ) :

n

n

Q = ∑ (yi − f ( xi ))2 =∑ε i2

=ε T ε = (Y − XB)T (Y − XB).

(3)

i =1

i=1

Оценка B * метода наименьших квадратов имеет вид:

B* = (X T X )−1 X T Y .

(4)

5.1.2. Оценка погрешности регрессии

Качество регрессионной модели можно оценить,

используя оценку s2

дисперсии

предсказания σ 2 :

1

n

1

n

1

s2 =

∑( yi

− yˆi )2 =

∑e2 =

eT e ,

где

n − k

− 1

n − k

− 1

n

i=1

i=1

− k − 1

y

= β

* + β * x

i

+ …β * x

k

. Качество

модели

также можно

оценить с

использованием

i

0 1

k

n

∑ ( yˆi −

)2

y

оценки коэффициента детерминации: R2 =

i =1

.

n

∑ ( yi −

)2

y

i =1

Чем ближе значения

R2 к 1, тем большую долю дисперсии величины Y объясняет

модель регрессии.

Оценка

дисперсии коэффициента

β

находится по формуле:

s2

= s2

( X T X )−1

,

j

j

jj

где ( X T X )

−1

соответствующий диагональный элемент матрицы ( X T X )−1 .

jj

Доверительные интервал

для σ 2

находится

с

использованием

статистики

χ2

= (n − k −1)s2 / σ2 , которая при нормальном распределении ε

i

имеет распределение

хи-квадрат с n − k −1 степенью свободы.

Для

проверки значимости

коэффициентов уравнения регрессии используем

статистику

t j

=

β*j

, которая при

истинности

гипотезы H0 : β j

= 0 , имеет

s2

( X T X )−1

jj

распределение Стьюдента с

n − k −1 степенью свободы.

Если для заданного уровня

значимости

α значение | t j |

больше критического tкрит = t1−α / 2 ,

то

нулевая

гипотеза

α ≥ 0,050), статистически значимые (0,050 > α ≥ 0,010),

сильно значимые (0,010 > α ≥

0,001), высоко значимые (0,001 > α ).

Для нахождения доверительных интервалов для коэффициентов β j используют

статистики

tɶ

=

β*j

− β j

,

имеющие

распределение

Стьюдента

с

n − k −1

j

s2 ( X T X )

−1

jj

степенью свободы. Для уровня значимости α

доверительный

интервал

рассчитывается по формуле β*

± t

α

s2 ( X T

X )−1

,

где t

α

–

квантиль распределение

j

jj

Стьюдента с n − k −1 степенью свободы.

Доверительный интервал для условного среднего y = M (Y | X = x)

в многомерной

ɶ