Цифровая обработка сигналов

-0,75

Рис. 1.39. Импульсные характеристики УБЯ в режиме дифференцирования

1.7.Нелинейные эффекты в цифровых фильтрах

1.7.1.Эффекты квантования

Рассмотрим цифровой рекурсивный фильтр первого порядка

(рис. 1.40).

x(nT) y(nT)

u(nT – T)

Рис. 1.40. Цифровой рекурсивный фильтр с оператором квантования данных

На схеме E[·] – оператор взятия целой части числа; e[·] – оператор взятия дробной части числа (выделение остатка u(nT)). Добавление 0 или 0,5 определяет тип нелинейной операции – усечение либо округление отсчетов сигнала, соответственно от этого зависит остаток e[x] = x – E[x].

Приведем отсчеты выходных значений фильтров при подаче на их вход воздействий в виде однократного импульса с амплитудой десять единиц при K=0,9 (табл. 1.6). При этом использовались следующие реализации рекурсивного фильтра.

60

– 61 –

1.Дискретный фильтр (без операции квантования данных по амплитуде). Его РУ: y(nT) = x(nT) + Ky(nT – T), т.е. сглаживающий фильтр.

2.ЦФ с усечением данных (усечение – добавление нуля по схеме).

Анализируя отклики фильтра на однократное воздействие, можно сделать вывод, что наиболее точным методом рекурсивной обработки цифровых данных является выполнение арифметических операций с сохранением и использованием при обработке дробных частей результатов. Фильтр с усечением данных укорачивает импульсную характеристику, а при округлении данных в нем возникают паразитные колебания, связанные с предельными циклами, импульсная характеристика в данном случае существенно удлиняется. В фильтре с учетом дробных частей результатов вычислений вид выходного сигнала наиболее близок к отклику точного (дискретного) фильтра (рис. 1.41).

Рис. 1.41. Отклики цифрового рекурсивного фильтра с различными операциями квантования

62

При некоторых значениях коэффициентов обратной связи (ОС) из-за нелинейности операций квантования в ЦФ возникает неустойчивый режим, называемый предельным циклом. Проявляется предельный цикл в виде колебаний либо образованием «мертвой» зоны. Условием возникновения этого режима является расположение полюсов фильтра вблизи единичной окружности. В рассматриваемом примере предельный цикл возникает при 0,5 K 1 (K – коэф-

фициент ОС, здесь K = b1).

1.7.2.Ошибки квантования

вцифровых рекурсивных фильтрах

Рассмотрим ошибки вычислений из-за ограничения разрядности. Запишем разностное уравнение с учетом операций квантования:

где R[·] – оператор квантования для j-го компонента выходной последовательности (рис. 1.42).

На схеме С – разрядность арифметического устройства по выходу.

Рис. 1.42. Ограничение разрядности выходного результата

Для (j+1)-го компонента (такта) получим C < (A+B)+B и т.д., то есть происходит лавинообразное увеличение разрядности выходного результата. Видно, что из-за конечного значения С ошибка выходного сигнала со временем увеличивается.

При вероятностной оценке ошибки квантования операцию квантования линеаризируют, т.е. вводят сумматор и источник шума ej(n). При этом возникают шумы квантования с дисперсией

j-й цепи. Задавая разрядность С дробной части, мы теряем информацию j .

Рассмотрим, как ведут себя ошибки округления в цифровом рекурсивном фильтре первого порядка при различных формах реализации (прямой и канонической).

ej(n)

Рис. 1.43. Линеаризация цепи обратной связи

Системная функция такого фильтра в общем случае имеет вид

H(z) 1 a1z 1 . 1 b1z 1

Линеаризируя схему, ставим сумматоры.

1

Локальная системная функция: H1,2(z) 1 b1z 1 .

Локальная ИХ: h1,2(n) b1n. Интервал дискретизации Т опустим,

так как при цифровой реализации он не существен, особенно при обработке на ЭВМ (зачастую он даже неизвестен).

Дисперсия:

2kвых 2kвх hk2(n). n 0

Реализуем ЦРФ, используя прямую форму (рис. 1.44).

e1(n) e2(n)

Рис. 1.44. Прямая форма реализации ЦРФ

64

При вероятностной оценке ошибок мы имеем право с известной точностью заменить операцию ограничения разрядности результата введением дополнительных источников шума e1(n) и e2(n).

Ошибки e1(n) и e2(n) приложены к одной точке. Пусть

1 2 , тогда

(это следует из формулы суммы членов бесконечной геометрической прогрессии).

Отметим, что при синтезе ЦФ недостаточно спроектировать его структуру, необходимо также, чтобы ошибки округления входили с минимальными коэффициентами. В общем случае это нетривиальная задача.

При канонической форме реализации ЦРФ его структурная схема представлена на рис. 1.45.

b1 a1

Рис. 1.45. Каноническая форма реализации ЦРФ

Найдем дисперсию:

Есть три полюса: z1 = b1; z2 = 1/b1; z3 = 0, т.е.

65

с прямой формой реализации ЦФ.

Таким образом, при разнополярных коэффициентах а1 и b1 лучше каноническая форма реализации, а при однополярных – прямая.

1.7.3.Методы борьбы с нелинейными эффектами

врекурсивных цифровых фильтрах

Как было показано выше, численные методы, используемые при цифровых вычислениях, дают лишь приближенные результаты из-за конечной разрядности арифметических устройств. Особенно сильно сказывается влияние ошибок квантования результатов арифметических операций, которое проявляется при выполнении рекурсивных вычислений. Это обстоятельство существенно ограничивает область применения рекурсивных алгоритмов при их реализации

66

в цифровых фильтрах с пониженной разрядностью арифметических устройств. В общем виде разностное уравнение ЦРФ с учетом операций квантования записывается следующим образом:

где x(n) – входные данные; y(n) – выходные данные; ai и bj –

коэффициенты фильтрации (для нерекурсивной и рекурсивной частей фильтра соответственно); R[·] – оператор квантования; n – порядковый номер данных (период дискретизации Т в данном случае принят равным единице).

Квантование результатов арифметических операций при вычислениях приводит к возникновению предельных циклов и, как следствие, к снижению точности вычислений.

Известно несколько способов борьбы с предельными циклами при рекурсивных вычислениях.

1.Добавление случайных чисел (шума) к каждому из членов квантованной суммы – это приводит к срыву колебаний предельного цикла, но ошибка вычислений увеличивается.

2.Модификация алгоритмов вычислений или поиск оптимальной формы реализации ЦФ. При модификации алгоритма вычислений (в сторону его усложнения) иногда удается устранить предельные циклы (или уменьшить их влияние), но это возможно лишь для нескольких частных случаев рекурсивных фильтров, поэтому данный метод не универсален.

3.Подавление предельных циклов с одновременным увеличением точности фильтрации за счет использования остатков от выполнения арифметических операций при последующих вычислениях. Это наиболее универсальный и точный метод рекурсивных вычислений.

Разностное уравнение для линейных рекурсивных ЦФ произвольного порядка с учетом остатков от выполнения арифметических операций (умножения, например) имеет вид

где ui(n) и uj (n) – остатки от выполнения арифметических операций,

причем

67

ui(n) e aix(n i) ui(n 1) ; uj(n) e bj y(n j) uj (n 1) ; e[x] x R[x].

Здесь R[·] – оператор квантования (определение целой части); e[·] – операция нахождения остатка (дробной части числа).

Следует отметить, что учитывать остатки от выполнения арифметических операций можно не во всех «ветвях» алгоритма ЦФ, а лишь в «критических» (максимально ухудшающих точность обработки), начиная с рекурсивных «ветвей».

Выражение для вычисления, например, uj(n) будет таким:

Введение дополнительных цепей коррекции (для учета значений остатков) существенно не изменяет передаточную функцию, но приводит к декорреляции ошибок округления, что уменьшает их влияние на результат вычислений.

Таким образом, указанный метод обладает повышенной точностью вычислений по сравнению с другими методами. Дополнительным преимуществом использования метода остатков является то, что при выполнении арифметических операций их остаток, как правило, не приходится дополнительно вычислять, т.е. повышается быстродействие вычислений при заданной точности, поэтому возможна реализация прецизионных рекурсивных вычислений без существенного усложнения алгоритма, реализуемого в арифметическом устройстве ЦФ.

Рассмотрим математическую модель умножителя с сохранением остатка (рис. 1.46).

На рисунке uj(n) – сигнал коррекции (остаток);

z–1 uj(n)

Рис. 1.46. Математическая модель умножителя с сохранением остатка (произвольная j-я ветвь ОС)

–

z–1

Рис. 1.47. Преобразованная схема умножителя с сохранением остатка

Затем линеаризуем эту модель (рис. 1.48).

–

z–1

Рис. 1.48. Линеаризованная схема умножителя с сохранением остатка

Системная функция передачи по сигналу от а до b:

z 1

Системная функция передачи по шуму в точке b:

z 1 (цифровой дифференциатор).

69