Нечеткая логика и нейронные cети
..pdf61
Пусть имеется четкое отображение пространства в пространство
. |
|
|
Пусть будет |
заданным нечетким множеством, определенным в |
|
пространстве |
, т.е. |
. Если нечеткое множество имеет вид (3.3), т.е. |
и отображение является взаимно однозначным, то принцип расширения заключается в том, что генерируемое этим отображением и определенное в пространстве нечеткое множество имеет вид
.
Пусть
и . В соответствии с принципом расширения получаем
.
Основные арифметические операции на нечетких числах определяются следующим образом:
а) суммирование двух нечетких чисел и обозначается
,
62
Функция принадлежности суммы задается в виде
|
, |
|
(1.24) |
б) вычитание двух нечетких чисел |
и |
обозначается |
|
, |
(3.104) |
|
|
Функция принадлежности разности задается в виде |
|||
|
, |
|
(1.25) |
в) умножение двух нечетких чисел |
и |
обозначается |
,
Функция принадлежности произведения задается в виде
|
, |
(1.26) |
г) деление двух нечетких чисел |
и |
обозначается |
,
Функция принадлежности частного задается в виде
63
. (1.27)
В первую очередь нужны нечеткие числа, имеющие непрерывные функции принадлежности.
Сложим и перемножим два нечетких числа, имеющих вид
,
.
В соответствии с формулой (1.24) получаем
(1.28)
На основании выражения (1.26) получаем
(1.29)
64
Сложили и перемножили два нечетких числа, получив в качестве суммы нечеткое множество (1.28), а в качестве произведения - нечеткое множество
(1.29).
Эти нечеткие множества являются нормальными и выпуклыми и представляют нечеткие числа.
Иногда результатом арифметических операций над нечеткими числами оказывается четкое число, потому что нечеткое числом не отвечает условию выпуклости. Если нечеткие числа и имеют непрерывные функции принадлежности, то результатом арифметических операций суммирования,
вычитания, умножения и деления всегда будут нечеткие числа (теорема Дюбуа
иПрейда [9])..
Унарные операций на нечетких числах.
1. Операция изменения знака. В результате операции получаем нечеткое число, противоположное нечеткому числу . Это число обозначается - , а его функция принадлежности равна
.
Нечеткие числа и симметричны относительно оси .
2. Операция обращения. В результате операции , , получаем нечеткое число, обратное нечеткому числу . Это число обозначается , а его функция принадлежности равна
.
|
65 |
Нечеткое число положительно или |
отрицательно. Если таковым не |
является, то нечеткое множество |
не выпукло и, следовательно, |
не может считаться нечетким числом. |
|
3. Операция масштабирования. В результате операции , , получаем нечеткое число, масштабированное относительно нечеткого числа . Это число обозначается , а его функция принадлежности равна
.
4. Операция экспонирования. В результате операции , , получаем степень нечеткого числа . Это число обозначается , а его функция принадлежности равна
поэтому - положительное нечеткое число.
5. Операция абсолютного значения. Абсолютное значение нечеткого числа обозначается и определяется как
- положительное нечеткое число.
Если
66
,
то нечеткое число имеет вид
,
тогда как нечеткое число записывается в виде
.
При этом ,
а также .
Арифметические операции над нечеткими числами требуют проведения достаточно сложных вычислений. Поэтому Дюбуа и Прейд [9] предложили форму представления нечетких чисел при помощи трех параметров, что значительно упрощает нечеткую арифметику.
(L-R)- аппроксимация нечетких чисел
Нечеткие числа (L-R) -типа [5] - это нечеткие числа, задаваемые по определенным правилам с целью снижения объема вычислений. Для нечетких чисел
(L-R)-типа левые ветви функций принадлежности операндов А и В аппроксимируются одной монотонно возрастающей функцией L, зависящей от двух параметров,
подбираемых для каждого операнда в отдельности L(aL, а ) и L(bL, b ). Аналогично для правых ветвей и монотонно убывающей функции R имеем R(a,aR), R(b ,bR).
Полученные аппроксимации называются L-R нечеткими числами и
67
обозначаются (aL,a,aR), (bL,b*,bR). К классу (L-R) функций относятся функции,
графики которых имеют следующий вид (рис. 4.2):
Рис. 1.4.4.. Зависимости для (L-R) функций
В качестве примеров функций L и R можно привести
, ,
, ,
, ,
Результат сложения и вычитания L-R нечетких чисел есть также L-R нечеткое число. Результат умножения и деления L-R нечетких чисел будет L-R нечетким числом лишь приблизительно. L-R аппроксимация полезна тем, что сами функции L
и R в промежуточных вычислениях не участвуют, а используются лишь при получении окончательного результата.
68
При решении практических задач нашли простейшие случаи нечетких чисел и нечетких интервалов, получившие свое название по виду их функций принадлежности.
Эти нечеткие числа и интервалы можно рассматривать как частный случай нечетких чисел и интервалов (L-R)-типа, если в качестве соответствующих функций R- типа использовать их предельные случаи, а именно - линейные функции (треугольные (рис. 1.4.4) или трапецеидальные). При этом треугольные нечеткие числа однозначно задаются тройкой (aL,a ,aR), а трапецеидальные четверкой -(aL,аl,а2,аR),
координаты верхнего основания трапеции, т.е. отпадает необходимость вычисления промежуточных значений результатов арифметических операций.
Для треугольной функции принадлежности нечеткое число х~ х* представляется следующим соотношением:
Пусть L и R - функции, выполняющие отображение
и удовлетворяющие условиям:
1)L (-x) = L (x) R (-x) =R (x)
2)L (0) = 1 , R (0) =1
3)L и R - функции, невозрастающие на интервале .
Нечеткое число будет нечетким числом типа L-R тогда, когда его функция принадлежности имеет вид
(1.30)
69
где - действительное число, называемое средним значением нечеткого числа , - положительное действительное число ( левосторонний разброс), - положительное действительное число, (правосторонний разброс).
При увеличении разбросов и число становится |
«более» нечетким. |
Нечеткое число типа L – R можно сокращенно записать в |
виде |
A = (mA, αA, βA)LR
Нечеткое число «примерно 9» можно определить как
A = (9,3,3) LR
Функция принадлежности этого числа .
Арифметические операции над нечеткими числами типа L-R сводятся к операции над тремя параметрами.
Нечеткое число, противоположное нечеткому числу, равно -A = (-mA, αA, βA)LR
Сумма нечетких чисел
и
имеет вид
A+B = (mA+ mB, αA + αB , βA+ βB)LR
70
Другие арифметические операции (например, умножение и деление) над нечеткими числами типа L-R более сложны, а их результат имеет приближенный характер.
Функция принадлежности нечеткого числа типа L-R принимает значение
1 только в точке . Если |
во всех точках на интервале |
, |
где и , то возникает понятие плоского нечеткого числа.
Рис. 1.4.5. Плоское нечеткое число
Это определение плоского нечеткого числа используют для моделирования нечетких интервалов. Плоским нечетким числом типа L-R называется нечеткое число с функцией принадлежности
(1.31)
Плоское нечеткое число можно отождествить с нечетким интервалом вида
A = (m1, m2,αA, βA)LR |
(3.138) |