Прикладные математические методы в радиотехнике. Часть 1. Аналоговые системы

Теперь, используя связь переменных, получаем решение неоднородной нормальной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

нормальной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами при условии, что известна фундаментальная матрица

x0

Полученные соотношения носят название формул Коши и позволяют найти решения неоднородных нормальных систем уравнений, как с переменными коэффициентами

Y ' A(x) Y F (x) ,

так и с постоянными коэффициентами

Y ' A Y F (x) ,

при условии, что известны фундаментальные системы решений соответствующих однородных уравнений.

Отметим, что применительно к системам уравнений с переменными коэффициентами, методы интегрирования, основанные на вариации произвольных постоянных и на представлении решения в форме Коши, не конструктивны в том смысле, что не дают явного вида фундаментальной системы решений однородной системы.

Нормальные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В случае нормальных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, по аналогии со скалярным уравнением первого порядка, решение нормальной однородной

системы Y ' A Y , следует искать в виде

где eA x - экспонента от матрицы коэффициентов A; C - вектор постоянных, определяемый из начальных условий.

Так, взяв производную от предполагаемого решения

Y '(x) (eA x C)' A e A x C ,

убеждаемся, что оно удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению.

Общее решение неоднородной нормальной системы дифференциальных уравнений

Y ' A Y F (x) ,

в соответствии с идеей Лагранжа, ищется в том же виде, что и однородной системы, только вектор постоянных заменяется вектором неизвестных функций – варьируемых постоянных C(x) независимой переменной x

Y (x) (x) e A x C(x) .

Для нахождения варьируемых постоянных используется, в частности, как и в случае скалярного дифференциального уравнения n - го порядка, определяющая система уравнений Лагранжа.

Как видим, в случае нормальных систем дифференциальных уравнений решение записывается в векторно-матричной форме через функцию экспоненты от матричного аргумента.

Подробнее, на методах интегрирования нормальных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, остановимся после рассмотрения аналитических функций от матричного аргумента и сопутствующих вопросов линейной алгебры.

3.5 Переход от дифференциального уравнения n-го порядка к системе n дифференциальных уравнений первого порядка

Выше мы уже рассматривали переход от системы n дифференциальных уравнений mi - го порядка к N m1 m2 mn

уравнениям первого порядка путем замены переменных.

Вернемся к этому вопросу еще раз и рассмотрим подробнее переход от дифференциального уравнения n - го порядка к системе n дифференциальных уравнений первого порядка.

Линейное дифференциальное уравнение n - го порядка с переменными коэффициентами имеет вид

где D( y) - линейный дифференциальный оператор от неизвестной функции

114

1. Линейно независимому набору фундаментальных решений нормальной однородной системы уравнений соответствует линейно независимый набор решений однородного исходного уравнения. Набор

решений, C - вектор столбец постоянных.

3. Определители Вронского для однородного исходного уравнения и соответствующей нормальной однородной системы уравнений совпадают между собой

так как линейно независимый набор векторных функций решений системы, в соответствии с заменой переменных, содержит в качестве компонент векторов скалярную функцию решения исходного уравнения, и ее производные до n 1- го порядка.

4. Решения неоднородного исходного уравнения и соответствующей неоднородной нормальной системы также запишутся одинаково

Y (x) (x) C (x) ,

как сумма общего решения однородного и частного решения неоднородного уравнений или системы уравнений.

Для исходного уравнения решение представляется скалярной функцией независимой переменной в виде линейной суперпозиции фундаментальных решений однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Решение соответствующей неоднородной нормальной системы уравнений представляется векторной функцией независимой переменной в

115

виде суперпозиции фундаментальных решений однородной системы уравнений и частного решения неоднородной системы. Компоненты векторных функций представляют собой соответствующую скалярную функцию исходного уравнения и ее производные до n 1- го порядка.

5.Для определения частного решения исходного неоднородного уравнения и соответствующей нормальной неоднородной системы уравнений первого порядка может быть использован метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

6.Решения, как неоднородного исходного уравнения, так и соответствующей нормальной неоднородной системы уравнений первого порядка представимы формулой Коши

x

x0

3.6 Собственные вектора и собственные значения матриц. Понятие аналитической функции от матричного аргумента

Прежде чем перейти к нормальным системам дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами уместно кратко остановится на проблеме собственных значений и векторов квадратных матриц.

Пусть задана невырожденная линейная система алгебраических уравнений

A X Y .

Как видим, матрица A преобразует вектор X в новый вектор Y . Результат преобразования естественно зависит как от матрицы A, так и от вектора X . В связи с этим интересно поставить задачу, существуют ли такие вектора hi ,

результатами матричного преобразования которых, будут вектора i hi

A hi i hi ,

где i - некий скалярный коэффициент, возможно комплексный. Оказывается, что для матрицы A размерности (n n) существует

максимум n таких векторов hi . Число таких векторов зависит от свойств матрицы A. Такие вектора hi называются собственными векторами матрицы A, а скалярные коэффициенты

значениями матрицы A. Среди собственных значений матрицы могут быть и одинаковые, которым соответствует один либо несколько собственных векторов. В этом случае говорят, матрица A имеет кратные собственные значения.

В том случае, когда собственные значения матрицы различны, можно собственные вектора и собственные значения сгруппировать в матрицы и записать

A H H ,

диагональная матрица собственных значений. Собственные вектора hi матрицы A образуют собственный базис. Собственные значения i

матрицы A, в некоторых физических задачах, соответствуют модам

(частотам) собственных колебаний физической системы. Собственные вектора hi соответствуют типам мод (распределению амплитуд)

колебаний физических систем. В связи с этим, матрица собственных векторов H , носит название модальной матрицы, и представляет собственное или модальное пространство.

Остановимся подробнее на некоторых полезных соотношениях. Заметим, что диагональная матрица с одинаковыми элементами перестановочна с любой матрицей, то есть

H H .

Перепишем предыдущее соотношение в виде

H 1 A H ,

из которого следует, что преобразование подобия на основе невырожденной матрицы собственных векторов, приводит невырожденную матрицу A, с различными собственными значениями, к диагональному виду. Иначе, невырожденная матрица A с различными собственными значениями при переходе к собственному базису имеет канонический диагональный вид.

получаем каноническое разложение исходной матрицы, которое означает, что собственные вектора и собственные значения полностью определяют исходную матрицу.

Алгоритмы определения собственных векторов и значений.

Преобразуя матричное соотношение, определяющее собственные вектора и собственные значения к виду

перейдем к обоснованию аналитических алгоритмов определения собственных значений и векторов.

Матрица A называется характеристической матрицей. Из

Уравнение, приравнивающее нулю определитель характеристической матрицы, носит название характеристического уравнения матрицы и

позволяет определить ее собственные значения. На самом деле, раскрывая определитель, принимая за неизвестное, получим в общем случае степенной полином относительно

где ai - коэффициенты полинома, определяемые через элементы матрицы коэффициентов A.

алгоритмах нахождения корней полинома останавливаться не будем.

С помощью характеристического уравнения можно определить собственные значения любой матрицы, имеющей как кратные, так и нулевые собственные значения. Отметим, что если известны все собственные значения, то нормированный характеристический многочлен

если, например, i - тый корень имеет кратность m .

Если собственные значения матрицы известны и среди них нет равных нулю, то собственные векторы определяются из решения однородного матричного уравнения

собственные вектора, а значит и матрицу собственных векторов H .

Заметим, что собственные вектора определяются с точностью до постоянного множителя.

Для того чтобы однородная система уравнений имела нетривиальные решения необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы, в данном случае характеристической матрицы A , был равен нулю. Именно из

этого условия мы исходили при определении характеристического многочлена.

118

Случай, когда все собственные значения различны и отличны от нуля, соответствует рангу характеристической матрицы r n 1.

Однородная линейная система алгебраических уравнений, соответствующая i - му собственному значению может быть записана в виде

пропорциональны столбцам матрицы, присоединенной к характеристической

119

где i - соответствующее собственное значение матрицы A. Размер клетки

Жордана равен кратности соответствующего собственного значения. Приведение исходной матрицы коэффициентов A с помощью невырожденного преобразования к диагональному либо квазидиагональному виду называется приведением к канонической форме.

Заметим, что каноническая форма Жордана определяется с точностью до перестановок клеток.

Необходимо также отметить, что при наличии кратных собственных значений модальная матрица может быть вырождена, то есть в некоторых случаях не удается найти независимый набор собственных векторов, соответствующий кратным собственным значениям. Существование независимого набора собственных векторов для кратных собственных значений определяется дефектом матрицы коэффициентов A i ,

который определяется как разность между порядком матрицы и ее рангом d n r .

Для получения невырожденной преобразующей матрицы H недостающие вектора можно дополнить векторами, присоединенными к собственным векторам, используя соотношения

Подробно на построении невырожденной преобразующей матрицы при кратных собственных значениях останавливаться не будем.

Аналитическая функция матричного аргумента. Перейдем к определению аналитической функции от матрицы. Если матрица A не вырожденна и все ее собственные значения различны, то она приводится с

Если матрица A не вырожденна, но среди ее собственных значений есть кратные, то она приводится с помощью невырожденного преобразования к жордановой форме J и аналитическая функция F от матрицы определяется соотношением

F ( A) H F (J ) H 1 ,

где F (J ) F ( Ai ) - функциональная матрица клеток Жордана.

120

3.7 Нормальная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

В векторно-матричной форме нормальная неоднородная система дифференциальных уравнений запишется в виде

Y '(x) A Y (x) F (x) ,

а соответствующая ей однородная система имеет вид

Y '(x) A Y (x) ,

где Y (x) Y - вектор неизвестных функций; Y '(x) Y ' - вектор производных; A- квадратная матрица постоянных коэффициентов системы; F (x) - вектор

заданных функций или вектор-функция.

Заметим, что все свойства и теоремы, полученные для систем с переменными коэффициентами, автоматически распространяются на системы с постоянными коэффициентами, как на частный случай нормальных систем. Кроме этого, для систем с постоянными коэффициентами могут быть доказаны более сильные теоремы, касающиеся их свойств и решений.

Однородная нормальная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Прежде всего, остановимся подробнее на однородной нормальной системе уравнений с постоянными коэффициентами. Как уже отмечалось, в частном случае, когда собственные значения матрицы A коэффициентов системы отличны от нуля и различны она с помощью соответствующего невырожденного преобразования подобия приводится к диагональному виду

H 1 A H i ,

где H - невырожденное преобразование.

В общем случае, с помощью невырожденного преобразования подобия

когда на диагонали стоят блоки или клетки Жордана вида