Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

4.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла

4 1

Делая обратную замену t 3 x2																					8 , имеем
								3 3												24 3
		x5									x2 8 8											x2 8 5
		x5									x2 8 8											x2 8 5					2		2
				dx																				483 x				8			C.
	3											16								5
	3	8 x2										16								5
1.231. Вычислить														dx							.

													3	3
												x			2				x
Имеем m				3	, n				1	,			p			1	. Так как						m 1		p 2 — целое, топри-
Имеем m					, n					,			p				. Так как								p 2 — целое, топри-
			2					3					2										n
			2 3																										2
меняем замену							x	t				2	, или,					что то же самое,								3							Возводя
							x					2														3	x					.
			3																										2
			3			x																							2
						x																							t	1
обе части последнего соотношения в куб,																								получаем					x 8 t2					1 3	,

dx 48t t2 1 4 dt. Подставляя значения x и dx в исходный интеграл,

c учётом того, что 2 3										t2			3			2t2 t2										1 1				, имеем
c учётом того, что 2 3								x		t2			3		x	2t2 t2										1 1				, имеем
		dx																							48t															dt
									t																								t						1 2

	x3 2 3 x																											9 2										1
											2			4						2											2t	2			2
											2			4						2												2			2
												1 16 2							t				1														1

							48						2											3			t3
												t		1 dt															t C .
							32					t		1 dt										2					t C .
							32																	2			3


																	2		3
Делая обратную замену t																	2		3		x			, окончательно получаем

																		3 x
																		3 x
																										3
					dx													2 3											3 2 3
					dx									1				2 3				x							3 2 3							x
																																						C .


				3		2	3			x				2					3	x									2			3		x
			x			2				x										x														x

Задачи для самостоятельного решения

1.232.				dx					. 1.233.								dx			.
								4											3
								4											3
	3 x2 23 x 5												x		2 34 x
	4
		16 x2										3
																					4 x2
1.234.						dx.		1.235.						x				dx.		1.236.	4 x2
																						dx .
			x							3 3							1 5				x2
			x							3 3				x2			1 5				x2
								3
			x4					3			5 x3
1.237.							.	1.238.								dx.
											x2

					3
			8 x2

4 2	1. Неопределенныйинтеграл

1.2.7. Интегрирование выражений

R x, ax2 + bx + c . Подстановки Эйлера

Для нахождения интегралов R x, ax2 bx c dx , где R есть раци-

ональная функция своих аргументов, разработано много методов. Напри-

мер, с помощью выделения полного квадрата в выражении ax2 bx c

данные интегралы заменой x		b		t сводятся к одному из рассмотрен-

	2		a
	2		a

ных в п. 1.2.5 интегралов —	R1		t, t2 A2 dx, R1 t, A2 t2 dx или

R1 t, A2 t2 dx , где R1 — другая, отличная от R, рациональная функ-

ция. Для вычисления указанных интегралов применяются также подстановки Эйлера:

1)	если a 0, то полагают

		ax2 bx c t		ax2 bx c t
		ax2 bx c t	ax или	ax2 bx c t	ax ;
2)	если c 0, то полагают

ax2 bx c xt c или ax2 bx c xt c ;

3) если x1, x2 — действительные корни квадратного трехчлена ax2

bx c, то полагают ax2 bx c t x x1 .

1.239. Вычислить x x2 2x 9 .

Так как a 1 0, то полагаем x2 2x 9 t x. Возводя обе части этого соотношения в квадрат, получаем x2 2x 9 t2 2xt x2. Из по-

следнего, после приведения подобных, имеем

или

2x 1

. Тогда dx

2t 1 t t2 9

t2 2t 9

dt. Подставляя x и dx

2 1 t

1 t

2 1 t

t2 9

в исходный интеграл, с учетом того, что

9 t

x t

2 1 t

4 t

2t 9 1 t

2t 9

получаем

2 1 t

t2 2t 9

x x

2x 9

2 1 t

2x 9 x

arctg

C .

1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла

4 3

1.240. Вычислить

x 4 4x x

Так как c 4 0, то полагаем

4 4x x2

tx 2. Возводя обе части

этого соотношения в квадрат, получаем 4 4x x2

x2t2 4xt 4. Из по-

следнего, после приведения подобных, имеем

1 4x 1 t

или

4 1 t

. Тогда dx

4 t2

1 8 t2 t

4 t2

2t 1

dt.

t2 1

Подставляя x и dx в исходный интеграл, с учетом того, что

4(1

t2 2t 1

получаем

4 4x x2 tx 2 t

x 4 4x x

4 t2 2t 1 t2 1 2

1 dt

t 1

8 t

1 t

4 4x x2

C .

1.241. Вычислить

3x x2

dx .

x 3x x

Так как

3x x2 2 x2 3x 2 x 1 x 2 ,

то делаем замену

3x x2

t x

1 . Возводя обе части этого соотношения в квадрат,

получаем 3x x2 2 (x 1)(x 2) t2(x 1)2. Сократив на x 1,

имеем

t2(x 1) 2 x или

1 x t2

2 . Тогда

t2 2

, dx

2t t2 1 2t t2 2

dt.

t2 1

Подставляя x и dx в исходный интеграл,

с учетом того,

что

t2 2

3x x

2 t x 1 t

, x

3x x

1 t

t2 t 2

t2 t 2 t2 1 2 2t

x 3x x2 2

получаем

t2 1

2 t2 1 3 t

x 3x x2

t2 t 2

2 t2 1 dt. Раскладывая на простые дроби, имеем

4 4	1. Неопределенныйинтеграл

		t2 t 2	M1t N1	M2t N2
	t2 2 t2 1
	t2 2 t2 1		t2 2	t2 1
		M1t N1 t2 1 M2t N2 t2 2

		t2 2 t2 1
		t2 2 t2 1
M1 M2 t3 N1 N2 t2 M1 2M2 t N1 2N2 .
		t2 2 t2 1

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем систему уравнений

M1 M2 0,

N1 N2 1,

M1 2M2 1,

N1 2N2 2

для нахождения M1, M2, N1, N2. Решая эту систему, имеем M1 1,

M2 1, N1 0, N2 1.

Таким образом,

t2 t 2

t 1

t2 2 t2

t2 2

t2 1

t 2

2tdt

2dt

ln t

Поэтому

t2 2 t2 1

t2 2

t2 1

ln t

1 2arctg t C ln

t2 1

2arctg t

C . Делая обратную замену

t2 2

3x x2 2

2 x

, окончательно получаем

dx ln x

x 1

x 3x x

2arctg

2 x

C .

x 1

1.242.

1.244.

1.246.

Задачи для самостоятельного решения

1.243.

xdx

x2 4x 25

x2 4x 5

x2dx

1.245.

4 2x x2 dx .

9 6x x

3x x2 dx

1.247.

4x 3 x2 dx .

1.248.		dx
				.

		2
		x	6x 16
	x 2

1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла

4 5

1.2.8.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

Для интегрирования рациональных функций вида R (sinx, cosx) при-

меняют подстановку t tg x , которая называется универсальной триго- 2

нометрической подстановкой. Тогдаx 2 arctg t, dx				2dt	, sin x	2t	,
				2		2
				1 t		1 t
cos x	1	t2	. К сожалению, универсальная тригонометрическая под-

	1	2
		t

становка часто приводит к большим вычислениям. Поэтому по возможно-

сти пользуются следующими подстановками. Если							R( sin x,cos x)
R(sin x,cos x) , то делают замену cos x t и тогда							sin xdx dt. При
R(sin x, cos x) R(sin x,cos x) полагают sin x t,						при этом cos xdx dt,
а в случае R( sin x, cos x) R(sin x,cos x)					делают замену tg x t, при
которой x arctg t, dx	dt	, sin x		t	, cos x	1		, или ctg x t.

	1 t2		1 t2			1 t2

Проиллюстрируем сказанное примерами.

1.249. Вычислить cos2 4x sin3 4x dx.

Так как при смене знака у функции sin 4x подынтегральная функция меняет знак, то делаем замену cos 4x t. Тогда 4sin 4xdx dt, поэтому

1 t

cos5 4x

cos3 4x

cos

4x sin

4x dx

C .

1.250. Вычислить cos3 5x dx . sin6 5x

Так как при сменезнака у функции cos 5x подынтегральная функция меняет знак, то, делая замену sin 5x t, получаем

									2		dt
3						1 t					dt
3		5x			1								1	dt		1	dt		1	1
	cos	5x	dx		1								1	dt		1	dt		1	1			C
	6		dx	5				t	6					6			4		5	15t	3		C
	sin	5x		5				t			5			t	5		t		25t	15t
											1				1			C .

								25 sin5 5x
								25 sin5 5x						15 sin3 5x
1.251. Вычислить							1					dx .
1.251. Вычислить							4					dx .
							cos			3x
Так как при смене знака у функций cos 3x и sin 3x подынтегральная
функция не меняет знак, то делаем замену tg 3x t. Тогда																						x		1	arctg t,
функция не меняет знак, то делаем замену tg 3x t. Тогда																						x			arctg t,
																						3

4 6	1. Неопределенныйинтеграл

			dt				1													1
dx			3 1 t2 , cos3x						.		Подставляя,						получаем					dx
																					cos4 3x
								1 t2													cos4 3x
	1		1 t2 2 dt	1			2			1		1		3		1		1		3
						1	t dt				t		t		C		tg 3x		tg 3x C .
	3		1 t2		3	1	t dt			3	t	9	t		C	3	tg 3x	9	tg 3x C .
		1.252. Вычислить					cos3 7x sin6 7xdx .

Так как при смене знака у функции cos 7x подынтегральная функ-

ция меняет знак, то делаем замену sin 7x t. Тогда cos3 7x sin6 7xdx

1 t

sin7 7x

sin9 7x

C .

1.253. Вычислить

sin3 3x

dx .

cos

Так как при смене знака у функции sin 3x подынтегральная функция

меняет знак, то делаем замену cos 3x t,																получаем				sin3 3x
																								dx
																			2 cos			2		dx
																			2 cos				3x
	1		1 t2 dt				1			3 t2 2					1			t		1
					2									dt			arctg				t C
	3		2 t				3				2 t	2
												2			2
															2			2 3
	1		arctg	sin		3x		1	sin 3x C .
			arctg				3		sin 3x C .
		2			2		3
	1.254. Вычислить									1			dx .


										sin6 5x

Так как при смене знака у функций cos 5x и sin 5x подынтегральная функция не меняет знак, то делаем замену ctg 5x t. Подставляя, полу-


					1						1		1 t2 3 dt				1			2		2	1					1		2
чаем									dx									1 t			dt					dt			2t		dt
чаем						sin6 5x			dx		5			1 t2			5	1 t			dt				5	dt		5	2t		dt
		1	t	4	dt			t		2t3		t5		C	1	ctg 5x			2 ctg3 5x					ctg5 5x			C .
	5		t		dt		5			15		25		C	5	ctg 5x			15				25				C .

1.255. Вычислить 2 cos x dx . 2 cos x

Так как подынтегральная функция не подпадает ни под один из част-

ных случаев, то делаем замену tg x t . Тогда

1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла

4 7

2 dt

2 cos x 2

1 t2

3 t2

2 cos x 2

1 t2

3t2 1

1 t2

t2 3

Подставляя,

получаем

3t2 1 t2 1 dt 2

dt 2

3t2 1

2arctg t C

arctg

3 tg

1 t

1 3t

2arctg tg

arctg

3 tg

Задачи для самостоятельного решения

1.256.	cos3 9x					dx . 1.257. cos			8	3x sin	3	3x dx.
1.256.	25 sin			2	9x	dx . 1.257. cos				3x sin		3x dx.
	25 sin				9x
	2	7x						dx
1.258.	sin	7x	dx.			1.259.		dx					.
1.258.	6		dx.			1.259.							.
	cos	7x					3	sin x 2 cos x

4 8

2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, и его свойства

Определение имеется в подразд. 2.1 пособия [5]. Рассмотрим одну из задач, приводящих к понятию интеграла.

Пусть имеется стержень длиной l и переменной плотностью f(x), сосредоточенной на отрезке [0, l ]. Разобьем отрезок [0, l ] на части точками 0 x0 x1 ... xn l. Заменим массу стержня между точками xi, xi+1

величиной f i xi , где xi, xi 1 — некоторая фиксированная точка.

n 1

Тогда n f i xi — приблизительная масса стержня. Переходя в этой

i 0

сумме к пределу по всевозможным разбиениям, получаем, что f(x)dx —

масса стержня.

К понятию интеграла приводят также задачи вычисления площадей плоских фигур, объемов тел, работы по перемещению материальной точки под действием переменной силы и другие.

Отметим некоторые свойства определенного интеграла при условии существования всех используемых ниже интегралов.

1.f(x)dx f(x)dx .

b c b

2. f(x)dx f(x)dx f(x)dx .

a	a	c
b	b	b

3. (f(x) g(x))dx f(x)dx g(x)dx .

a a a

4.kf(x)dx k f(x)dx .

Остальные свойства можно найти в [5] и других книгах.

2.2. Вычисление определенного интеграла

4 9

2.2. Вычисление определенного интеграла

Предварительно рекомендуется изучить подразд. 2.2, 2.3, 2.4 посо-

бия [5].

Пусть F(x) — одна из первообразных функции f(x). Тогда для вычисления определенного интеграла имеет место формула Ньютона-Лейб-

ница f(x)dx F(b) F(a) .

Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что для вычисления определенных интегралов мы можем применять весь набор приемов и методов нахождения неопределенных интегралов.

В частности, справедливы формулы интегрирования по частям

b b

UdV UV ba VdU

a a

и замены переменной

b
f(x)dx f (t) (t) dt ,
a
где U U(x), V V(x) — дифференцируемые функции;		: , a, b —

биективное (взаимно однозначное) дифференцируемое отображение, такое,

что a, b,															а f(x)		интегрируема на отрезке a, b .
				e3		ln x							e3									1		2				e3		ln2 e3 ln2 e													9 1
				e3		ln x							e3									1		2				e3		ln2 e3 ln2 e													9 1
		2.1.							dx						ln xd (ln x)								ln			x																					4.
		2.1.					x		dx						ln xd (ln x)							2	ln			x		e					2								2						4.
				e			x						e									2						e					2								2
			4					5										1		4			5						sin 4x					sin6 4x								4
																																										4

	2.2.						sin			4x cos 4xdx												sin				4xd
	2.2.						sin			4x cos 4xdx								4				sin				4xd										24
	1		6										2			1				6					6						9											6
			6																	6																						6

				6							6							6					3
			sin		sin												(0)																.
	24		sin		sin											24	(0)						2								512		.
	24												3			24							2								512

														6
		2.3. Вычислить													x cos 3xdx .
															0
		Полагаем U x,													dV cos 3x dx. Тогда dU dx,																					V			1	sin3x , и, при-
		Полагаем U x,													dV cos 3x dx. Тогда dU dx,																					V				sin3x , и, при-
																																					3
																																												6
меняя формулу интегрирования по частям,																																	получаем											x cos 3xdx
																																									0
	1						6		1			6						1									6				1				6				1
		x sin 3x					0						sin 3xdx								x sin 3x						0					cos 3x			0											.
	3	x sin 3x								3									3												9							18							9
	3									3									3												9							18							9
												0

5 0	2. Определенный интеграл

2.4. Вычислить x3e2x2 1dx .

Полагаем U x2,	dV xe2x2 1dx . Тогда dU 2xdx, V 1 e2x2 1 , и пос-
						4
ле применения формулы интегрирования по частям имеем
1			1		1	1
x3e2x2 1dx 1 x2e2x2		1				xe2x2 1dx

0	4		0	2		0

			1			x2e2x2 1									1					1	e2x2 1									1						1		e3			1		e3						1	e			1	e3				1		e .
															1															1

																				8
			4												0					8										0			4						8									8				8					8
														9		xdx
2.5. Вычислить																xdx								.
2.5. Вычислить																								.
														4 1							x
Положим x t2. Тогда 2, 3, dx 2tdt, и поэтому исходный ин-
теграл равен
	2t3dt 2 t																	3		1 1 dt 2 (t 1) t																											2	t			1 1 dt
3													3																									3
																				1 t																												1 t
	2			1 t									2							1 t																		2										1 t
	2												2																									2
					3				2																	3		dt										t3						t2															3
					3				2																	3		dt										t3						t2															3

2										t														2			1 t												3					2		t ln (1 t)
2								t		t			1 dt											2								2														t ln (1 t)
					2																					2																																	2
					2																					2																																	2
							27					9												8				4																								29									4
	2															3																	2					(ln 4						ln 3)											2ln								.
	2															3																	2					(ln 4						ln 3)								3			2ln								.
							3 2																	3 2																												3									3
														22						dx
2.6. Вычислить																				dx									.
2.6. Вычислить																													.
														1		4						x 3
Положим x 3 t2. Тогда 2, 5, dx 2tdt, и поэтому
	22								dx											5		tdt									5			t 4 4														5				5			dt
									dx							2						tdt							2					t 4 4								dt 2 dt 8													dt
																2													2													dt 2 dt 8
	1					4 x 3														2 t 4											2						t 4											2					2 t 4
	2t							5 8 ln(t 4)															5			2(5 2) 8(ln 9 ln 6) 6 8 ln1,5.
	2t							5 8 ln(t 4)															5			2(5 2) 8(ln 9 ln 6) 6 8 ln1,5.
								2															2
								2															2
									Задачи для самостоятельного решения
2																									e 3																							1				5
2																									e 3			2 3 ln x																				1				5
2.7. x3 4 x2 dx .																		2.8.										2 3 ln x												dx .						2.9.							x				dx .
2.7. x3 4 x2 dx .																		2.8.														x								dx .						2.9.							4x			6	dx .
0																								1								x																0 1					4x
1							5																					2																												2
2.10.							x				dx .									2.11.											e3 sin5x cos5xdx .																				2.12. e2 x											dx		.
2.10.										12	dx .									2.11.											e3 sin5x cos5xdx .																				2.12. e2 x											2		.
0		4 9x																										0																												1							x
2 16																															2 4																						2
2 16															dx																2 4				3				xdx														2
2.13.						sin 3							x		dx				.					2.14.															xdx						.				2.15.						(2x 3)sin7xdx .
2.13.						sin 3							x						.					2.14.														9 25x						4	.				2.15.						(2x 3)sin7xdx .
2			36														x														0							9 25x														0
			36																												0																					0

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20232.61 Mб2Практико-ориентированная деятельность в пакете Apache OpenOffice..pdf
#
05.02.2023817.55 Кб3Практико-ориентированная деятельность в пакете MathCAD..pdf
#
05.02.20231.49 Mб5Практико-ориентированная деятельность в среде Lazarus..pdf
#
05.02.2023425.7 Кб2Практикум непроцедурного программирования..pdf
#
05.02.20231.03 Mб2Практикум по бухгалтерскому учету..pdf
#
05.02.20234.09 Mб7Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям..pdf
#
05.02.2023127.89 Кб2Практикум по квантовой и нелинейной оптике.-1.pdf
#
05.02.2023139.03 Кб3Практикум по квантовой и нелинейной оптике.-2.pdf
#
05.02.2023176.84 Кб2Практикум по квантовой и нелинейной оптике.-3.pdf
#
05.02.2023173 Кб3Практикум по квантовой и нелинейной оптике..pdf
#
05.02.20233.1 Mб111Практикум по логистике..pdf