Моделирование беспроводных систем связи

Математические модели, описанные выше, адекватно характеризуют

большинство физических каналов, с которыми сталкиваются на практике.

3МОДЕЛИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

Многие сигналы, порожденные цифровыми сообщениями, передаются

посредством какого-либо вида модуляции несущей. Необходимость использования модуляции при передаче сообщений обуславливается следующим образом. Передача электромагнитного поля через пространство выполняется с помощью антенн. Размер антенны зависит от длины волны и

текущей задачи. Для переносных телефонов размер антенны обычно равен

/ 4 , а длина волны c / f , где c - скорость света, 3*108 м/с. Рассмотрим передачу низкочастотного сигнала (скажем, имеющего частоту f 3000 Гц),

поступающего прямо в антенну без использования несущей. Теперь рассчитаем требуемую длину антенны для сигнала 3000 Гц

3*108/3000*4=2,5*104 м = 25 км. Таким образом, для передачи сигнала с частотой 3000 Гц без модулирования несущей требуется антенна размером 25

км. При этом если низкочастотная информация модулируется несущей более высокой частоты, например 900 МГц, размер антенны будет составлять порядка 8 см. Приведенные вычисления показывают, что модулирование несущей частоты это этап, необходимый для всех систем, использующих радиопередачу [6].

3.1 Представление полосовых сигналов

При передаче информации в радиотехнике используются полосовые радиосигналы [7]. Модулирующим сигналом sm (t) будем называть низкочастотный информационный сигнал (речь, цифровая информация и т.д.), который требуется передать на частоте 0 в , где в - верхняя частота спектра модулирующего сигнала. Полосовыми сигналами назовем сигналы,

чьи спектры сосредоточены в некоторой полосе F около несущей частоты 0 . 31

На рисунке 3.1 наглядно приведены спектры вещественного модулирующего

(красный) и полосового (синий) сигналов.

S

Рисунок 3.1 – Спектр модулирующего и полосового сигналов

Поскольку сигналы вещественные, то их спектры симметричны относительно нулевой частоты. Перенос модулирующего сигнала sm (t) на несущую частоту 0 называется модуляцией.

Рассмотрим способы модуляции, для этого рассмотрим несущее

(3.2)

а также мгновенной частоты сигнала, как производную от полной фазы:

Мгновенная частота несущего сигнала — постоянная величина равная

0 . Таким образом, при модуляции мы можем управлять всего двумя параметрами несущего колебания: амплитудой и полной фазой. При управлении только амплитудой получим амплитудную модуляцию и все ее производные, при управлении полной фазой получим угловую модуляцию

(фазовая и частотная). При управлении и амплитудой и полной фазой можно получить все известные виды модуляции.

32

изменение фазы несущего колебания в соответствии с модулирующим сигналом.

3.2 Комплексная огибающая. Векторное представление сигнала

Введем понятие комплексной огибающей и векторного представления сигнала. Для этого рассмотрим комплексный сигнал [8]:

реальная часть комплексного сигнала совпадает с полосовым радиосигналом.

По формуле Эйлера можно представить:

комплексной огибающей сигнала z t . Рассмотрим свойства этого сигнала.

Сигнал zm t является комплексным, с изменяющимися во времени амплитудой и фазой, причем изменение амплитуды сигнала zm t полностью

представляет собой «перенесенный на нулевую частоту комплексный сигнал

33

z t ». Комплексная огибающая сигнала существенно упрощает анализ

сигнала.

Любое комплексное число можно представить в виде точки на комплексной плоскости или вектора выходящего из 0 до этой точки, а

комплексный сигнал можно трактовать как комплексную функцию времени,

т.е. вектор который описывает на комплексной плоскости некоторую траекторию в течение времени, как это показано на рисунке 3.2, где

траектория соответствует красной линии.

Тогда комплексную экспоненту exp j 0 t на комплексной плоскости

можно представить вектором единичной амплитуды поворачивающегося за

окружность единичного радиуса, которую вычерчивает вектор с частотой f0 .

менять амплитуду в соответствии с a t и скорость вращения в соответствии с t . Так вот комплексная амплитуда позволяет нам остановить вращение вектора с частотой f0 и посмотреть, как меняется его амплитуда и фаза во время вращения.

Im z t

z t0

z t2

I t1

Re z t

Q t1

z t1

Рисунок 3.2 – Векторное представление комплексного сигнала

34

Теперь вернемся к рассмотрению комплексной огибающей. Сигнал zm t можно представить в виде реальной и мнимой частей:

квадратурная составляющая (или координата по оси ординат, как это показано на рисунке 3.2 на примере z t1 ).

3.3 Квадратурный модулятор

Если вернутся к выражению (3.7) и подставить в него zm t согласно выражению (3.8), то получим:

z t I t j Q t exp j 0 t ,

z t I t cos 0t Q t sin 0t j I t sin 0t Q t cos 0t . (3.9)

Таким образом, из выражения (3.9) выражение для полосового сигнала выглядит следующим образом:

Таким образом, если имеется модулирующий сигнал, из которого сформированы синфазная и квадратурная компоненты комплексной огибающей сигнала, то можно перенести ее на любую частоту при помощи схемы универсального квадратурного преобразователя, представленной на рисунке 3.3 [9].

35

Рисунок 3.4 – Последовательность биполярных импульсов Однако такой модулирующий сигнал является идеальным и обладает

спектром, с очень низкой скоростью затухания боковых лепестков. Спектр

BPSK сигнала на основе модулирующего сигнала b0 (t) показан на рисунке

3.5, обладает шириной главного лепестка F 2 Br (где Br – скорость передачи цифровой информации (бит/c)), уровнем максимального бокового лепестка -13 дБ, и скоростью затухания боковых лепестков как 1 / .

Рисунок 3.5 – Спектр BPSK сигнала

Если же мы ограничим полосу исходного модулирующего сигнала, это в свою очередь приведет к более компактному спектру BPSK, но в результате фронты импульсов расширятся, и получим следующую картину (рисунок

3.6).

37

Рисунок 3.6 – Межсимвольная интерференция при сглаживании фронта импульса

Сглаживание фронтов приводит к тому, что следующий и предыдущий импульсы начинают перекрываться во времени, и скачок переходит в непрерывную кривую. При сглаживании предыдущий импульс начинает влиять на следующий, а следующий на предыдущий и оба искажаются

(заштрихованная область на рисунке 3.6). Этот эффект называется межсимвольной интерференцией (МСИ, в англоязычной литературе intersymbol interference ISI), он ухудшает качество передачи информации, но позволяет более компактно представить сигнал в частотной области.

Для того чтобы произвести сглаживание фронтов импульсов необходимо ограничить полосу, другими словами произвести фильтрацию.

Тогда исходный модулирующий сигнал b0 (t) можно представить как выход формирующего фильтра с импульсной характеристикой h(t) . Фильтр h(t)

должен возбуждаться сигналом, соответствующим передаваемой информации, как это показано на рисунке 3.7.

Поясним следующим образом, сигнал bd (t) – набор дельта-импульсов,

отнесенных к центру информационного импульса, отстоящих на длительность информационного импульса T (верхний график, серым показана исходная информационная последовательность бит):

38

информационный бит равен 0. Тогда пропустив сигнал bd (t) через фильтр с импульсной характеристикой h(t) , получим модулирующий сигнал b0 (t) , как свертку bd (t) и h(t) :

Рисунок 3.7 – Формирующий фильтр, возбуждаемый импульсами информации

Подставив (3.11) в (3.12), поменяв местами интегрирование и суммирование и применив фильтрующее свойство дельта-функции получим:

39

Таким образом, b0 (t) полностью определяется импульсной характеристикой h(t) и передаваемой информацией. Это очень важно,

поскольку в случае с BPSK b0 (t) полностью определяет спектральные характеристики радиосигнала. Значит, вывод, который мы должны сделать следующий: меняя импульсную характеристику h(t) формирующего фильтра, мы можем сужать или расширять полосу BPSK сигнала.

3.4.1 Формирующий фильтр Найквиста для устранения МСИ

Сигнал bd (t) представляет собой последовательность дельта-

импульсов, соответствующих бит передаваемой информации и отстоящих друг от друга на интервал T 1 / Br .

Тогда их можно трактовать как дискретные отсчеты сигнала b0 (t) ,

взятые с частотой Br . При прохождении формирующего фильтра h(t) очень важно, чтобы b0 (t) в моменты t T / 2 k T (т. е. в узлах дискретизации)

было равно dk , как это показано на рисунке 3.8.

Рисунок 3.8 – Исключение МСИ при декодировании Тогда при демодуляции и декодировании можно исключить влияние

МСИ, если производить оценку передаваемого бита точно в моменты

40