Теоретические основы электротехники. Часть 2. Переходные и статические режимы в линейных и нелинейных цепях. Электромагнитное поле

u n B1 p1n B2 p2n 1 0,5 0,5n 0,5; 0,75; 0,875 1.

Если корни знаменателя комплексно-сопряженные, то и коэффициенты разложения (аналоги постоянных интегрирования Bi ) — комплексно-сопряженные:

5.4. Дискретная свертка

Применение интеграла свертки (интеграла Дюамеля) для анализа цепей с сигналами непрерывного времени, подробно рассмотренное в разделе 1, позволяет определять реакцию цепи при воздействии сигналов, изменяющихся во времени. Важно и то, что это соотношение связывает характеристики цепей во временной области с системными функциями в частотной области:

начальных условиях; u2 t — выходное напряжение четырехполюсника.

171

Аналогичные формулы существуют и для цепей и сигналов дискретного времени:

Формула (5.10) может быть применена непосредственно для расчета числовой последовательности дискретного сигнала, или после применения к ней z-преобразования на ее основе могут быть получены системные функции в z-области.

Поскольку импульсная характеристика h n k является результатом воздействия функции n k , ее умножение на 1 n k не изменит выражения. Изменив порядок суммиро-

значениях аргумента обращается в нуль, и выражение в скобках оказывается равным

окончательно мы вновь получим аналогию с преобразовани-

ями Лапласа и Фурье:

U 2 z U1 z H z .

172

Пример 5.3. Определить реакцию цифровой цепи (рис. 5.6, а), реализующую алгоритм Эйлера «вперед», на входной сигнал, представляющий собой дискретную единичную ступенчатую функцию 1 n (рис. 5.6, б).

Рис. 5.6

Решение. Обратите внимание на то, что этот же алгоритм, только для трех переменных, реализует другая схема (см. рис. 5.3). Отличие данного решения состоит лишь в замене накопителя блоком задержки на единицу. Задержка сигнала на один такт, как и в преобразовании Лапласа, равносильна умножению на экспоненту. Если взять функцию единичного отсчета, задержанную на k тактов (шагов), то

z n k z n z k .

n 0

Тогда системная функция приведенной цепи может быть определена из уравнения равновесия цепи

U 2 z U1 z a z 1U 2 z .

1

— это изображение экспоненты, т. е. h n an . По существу h n — это реакция приведенной цепи на единичный отсчет

n (рис. 5.7).

173

h [n] = an

1

–1 –2 0 1 2 3 4 5 6 n

Рис. 5.7

Такой же результат можно получить, непосредственно прослеживая прохождение единичного импульсного сигнала

Реакцию цепи на единичную ступенчатую функцию 1 n

можно рассчитать либо по формуле свертки, либо, как было показано выше, с помощью z-преобразования.

Определим u2 n u1 k h n k обоими методами.

k 0

Ограничим расчет по уравнению свертки тремя шагами, что позволит определить частичную сумму геометрической прогрессии. Для n 3

3

u2 3 u1 k h 3 k u1 0 h 3 u1 1 h 2 u1 2 h 1

k 0

u1 3 h 0 1 a3 1 a 2 1 a 1 1 1 a 4 . 1 a

Частичная сумма геометрической прогрессии при n 0

u2 n 1 an 1 .

1 a

174

Получим выражение для u2 n , применяя z- преобразование:

u2[n] 1/(1 – a)

1

–1 –2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

Рис. 5.8

Приведенный анализ показывает единство подходов к анализу цепей, значительно различающихся в физическом смысле.

175

5.5.Соответствие между комплексной частотой p

впреобразовании Лапласа и параметром z дискретного z-преобразования

Пусть имеем некоторый аналоговый сигнал u t и его

176

6.ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

6.1.Основные понятия электромагнитной теории

Электротехнические и электронные устройства представляют собой системы заряженных тел и контуров с токами, взаимодействующие друг с другом. Явления, происходящие в таких системах, определяются как процессами в заряженных телах и проводящих контурах с токами, так и физическими процессами в окружающей среде, в которой распространяется электромагнитное поле.

Электромагнитное поле — это вид материи, определяемый во всех точках двумя векторными величинами, характеризующими соответственно электрическое и магнитное поле, и оказывающий силовое воздействие на заряженные части-

цы [8, 10].

Частные виды электромагнитного поля. Электро-

статическое поле создается неподвижными заряженными телами и проявляется в виде механической силы, действующей на неподвижный электрический заряд.

Электрическое поле постоянного тока (стационарное

электрическое поле) образуется внутри и вне проводников при прохождении по ним постоянного тока. При этом внутри однородного проводника отсутствует объемная плотность заряда, и линии вектора плотности тока замкнуты. Поле — потенциально.

Магнитное поле постоянного потока проявляется сило-

вым воздействием на движущиеся в нем заряженные тела и на неподвижные контуры с постоянным током. Поле имеет вихревой характер.

Основные характеристики электромагнитного поля.

Напряженность электрического поля — физическая харак-

теристика электрического поля, определяющая силовое воздействие поля на электрический заряд. Напряженность электрического поля E является векторной величиной, численно

177

равной отношению силы F, с которой электрическое поле действует на заряд Q, внесенный в рассматриваемую точку поля, к значению этого заряда, когда внесенный заряд стремится к нулю:

В этом случае за положительное направление вектора

— это линия, в каждой точке которой вектор E касателен к ней.

При описании электрического поля в материальных средах, например в диэлектриках, требуется ввести в рассмотрение второе векторное поле D, названное полем электрического смещения (или электрической индукции). Вектор D в вакууме связан с вектором E соотношением

( 0 8,854 10 12 Ф/м ). Размерность электрического смещения — Кл/м2.

Необходимо отметить, что при электрическом взаимодействии изменяется кинетическая энергия движущейся заряженной частицы вещества.

Магнитная индукция — это физическая характеристика магнитного поля, определяющая силовое воздействие поля на движущийся заряд. Кинетическая энергия заряженных тел остается при этом постоянной. Численно магнитная индукция равна отношению максимальной силы, действующей на заряд, к произведению заряда и скорости его движения:

178

При рассмотрении явлений, происходящих в магнетиках, вводится векторное поле H, называемое напряженностью магнитного поля. В вакууме векторы B и H связаны соотношением

В с/м 2 , а величина H — размерность А/м.

Направление магнитной индукции можно определить по правилу буравчика, если буравчик вращать в направлении от вектора силы F к вектору скорости v положительного заряда Q.

Виды плотности тока. Для характеристики интенсивности и направления движения носителей заряда в каждой точке области вводится понятие плотности тока проводи-

мости

где N — количество носителей, содержащихся в 1 м3 вещества, e — заряд носителя, v скорость носителей в данной

точке пространства. Размерность плотности тока проводимости — А/м2.

Если в свободном пространстве электрическое поле E действует на заряды со среднеобъемной плотностью , движущиеся со скоростью v, то можно говорить о плотности тока переноса jпер v .

Токи проводимости и переноса могут возникать как в постоянных, так и в переменных электрических полях. Ток смещения присутствует только в переменных полях.

Такие факты как протекание переменного электрического тока в цепи, содержащей конденсатор, между обкладками которого не существует носителей заряда, говорят о существовании тока иной природы, нежели ток проводимости. Максвелл ввел понятие тока смещения в вакууме — измене-

179

ние во времени вектора напряженности электрического поля

в вакууме, плотность которого равна 0 E . Ток смещения в

t

вакууме не возникает в результате движения электрических зарядов, но возбуждает магнитное поле по тем же законам, что и все виды токов.

Ток смещения в диэлектрике состоит из тока смещения в вакууме и тока поляризации, возникающего в результате движения связанных зарядов диэлектрика.

Плотность тока смещения в диэлектрике

где — диэлектрическая восприимчивость, характеризую-

щая свойство диэлектрика поляризоваться.

Плотность полного электрического поля j определяется суммой его составляющих: j jпр jпер jсм . Очевидно, что полный электрический ток представляет собой два разнородных явления — движение электрических зарядов и изменение электрического поля во времени. Токи смещения преобладают в диэлектриках, токи проводимости — в проводниках, а в полупроводниках нужно учитывать все – составляющие полного тока.

Уравнения Максвелла. Процессы в электромагнитных полях описывают уравнениями Максвелла [14]. Эти уравнения могут быть записаны в интегральной и дифференциальной форме (табл. 6.1). Интегральная форма устанавливает связь между величинами в разных точках поля или на разных отрезках, поверхностях. Дифференциальная форма описывает соотношение между величинами вблизи одной и той же точки поля в определенный момент времени.

Однако эта система уравнений позволяет определить изменения электромагнитного поля во времени и связь его со свойствами среды, но не позволяет определить те преобразования энергии, в которых эти изменения поля проявляются.

180