Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Анализ временных характеристик дискретных и цифровых устройств

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Таким образом, по известной переходной характеристике дискретной или цифровой системы достаточно просто определяется импульсная характеристика.

Операторный метод. Операторный метод определения выходной реакции дискретной системы основан на теории Z - преобразования дискретных функций, как оригиналов, в непрерывные функции комплексного аргумента z , называемых изображениями, и наоборот.

Оригиналу входного воздействия 10 , согласно теории Z -

преобразования, соответствует изображение в плоскости комплексной переменной z вида

ek 10 Ez 1.

Изображение выходной реакции дискретной системы будет иметь вид

Vz	T 2 (z 1)	T 2 z	T 2	.
	(z 1)2	(z 1)2	(z 1)2

Втаблицах обратного Z - преобразования соответствующее выражение отсутствует, поэтому разобьем его на два слагаемых.

Всоответствии с таблицами обратного Z - преобразования, первому слагаемому соответствует преобразование

F	T 2	z	f	k T 2 .

1,z	(z	1)2	1,k

Для определения обратного Z - преобразования второго слагаемого воспользуемся следующим приемом. В соответствии с теоремой о начальном значении функции

	v0	lim vk		lim Vz ,
		k 0		z
находим
f2,0	lim F2,z		lim			T 2	0 .
f2,0	lim F2,z		lim		(z	1)2	0 .
	z		z		(z	1)2

Далее, используя теорему Z - преобразования об упреждении функции на один такт

v1 z Vz z v0 ,

находим

T 2 z f2,1 (z 1)2 .

Теперь, используя таблицы обратного Z - преобразования, находим оригинал выходной реакции

f2,k	1	k T 2 ,
при k 0 или
f2,k	(k	1) T 2 ,

		42
при k 1, где k	t	; T - период входной последовательности.
при k 1, где k	T	; T - период входной последовательности.
	T

В итоге, суммируя оригиналы первого и второго слагаемых изображения, получаем оригинал выходной реакции, соответствующий импульсной характеристике, исследуемой дискретной системы

k 1

2,k

(k 1) T 2

k T 2

(2 k 1) T 2

k 1

1,k

при k

0 или

2,k

k T 2 (k 1) T 2 (2 k 1) T 2 ,

1,k

при k

Отметим, что из предыдущих выражений при

k 0 и k

1 имеем

T 2 .

Построение разностного уравнения дискретной системы.

Построение разностного уравнения дискретной системы осуществляется по системной функции путем замены изображений воздействия и реакции

оригиналами, а комплексной переменной zn дробно-рационального выражения - оператором сдвига En

T 2 (z 1)

T 2 (E 1)

(z 1)2

z2 2 z 1

2 E 1

Преобразуя выражение, получаем неоднородное разностное уравнение

второго порядка

vk 2

2 vk 1

11 10

или

vk 2

2 vk 1

11 10 .

Отметим, что переход от системной функции к разностному уравнению осуществляется в предположении нулевых начальных значений, а истинные начальные значения учитываются позже при решении уравнения.

Определение начальных условий. Для однозначного определения решения разностного уравнения необходимы дополнительные независимые условия, в качестве которых удобно воспользоваться начальными условиями. Так как исходное разностное уравнение второго порядка и импульсная характеристика определена при k 1, необходимо определить v0 , v1 и v2 .

Начальные условия могут быть определены по изображению выходной переменной, в соответствии с теоремой теории Z - преобразования о начальном значении функции оригинала

v	lim v		lim V		lim	T 2 (z	1)	0 .
						(z 1)2
0	k 0	k	z	z	z
В соответствии с		теоремой			упреждения,		значение функции vk 1

определится выражением

v	z V	z v	T 2	z	(z 1)	.

k 1	z	0	(z		1)2

Применяя повторно теорему о начальном значении функции, получаем

v	lim v	lim (z V		z v )	lim	T 2 z (z 1)	T 2 .
						(z 1)2
1	k 0 k 1	z	z	0	z

Применяя еще раз теорему упреждения на один такт к последнему результату

z V

z v

T 2

k 2

(z 1)2

T 2 (z3

2 z2

z) T 2 (3 z2

1)2

(z 1)2

и теорему о начальном значении функции, получим

lim v

lim (z V

v )

lim

T 2

(3 z2 z)

3 T 2 .

(z 1)2

k 0 k 2

С другой стороны, для определения начальных условий можно

воспользоваться

исходным

разностным

уравнением,

полагая

соответствующим значение индекса k , и, учитывая, что входное воздействие и реакция системы в отрицательные моменты времени отсутствуют. Так, при

k	2 , k	1 и k			0, последовательно получаем
	v 2 v			1		v	2	T 2	(1	1	1	2	) 2 0 0 T 2 (0 0) 0	;
	0			1			2			1		2
	v 2 v v						1	T 2	(1 1		1	) 2 0 0 T 2 (1 0) T 2 ;
	1			0			1		0		1
	v 2 v v T 2 (1 1 ) 2 T 2 0 T 2 (0 1) 3 T 2 .
	2		1			0			1	0
	Таким		образом,				получаем,			что		начальные значения равны v0 0 ,
v	T 2 и v		3 T 2 .
1	2

Решение разностных уравнений. Приступаем к определению импульсной характеристики дискретной системы путем решения разностного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Согласно методу Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка с кратным корнем

	v	2	2	v	v T 2 (1		1 )	f	k
	k	2		k 1	k	1	0		k
следует искать в виде
vk	c1,k v1,k			c2,k v2,k		c1,k 1k	c2,k k 1k ,
где 1, 1- корни	характеристического					уравнения;			y1,k 1k , y2,k k 1k -

фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения; c1,k , c2,k - варьируемые постоянные – неизвестные пока функции.

Заметим, что если разностное уравнение имеет l - тый корень d кратности m , то ему соответствует фрагмент линейно независимого набора фундаментальных решений вида

c	d k	c	1,k	k d k	c	m 1,k	k m 1 d k .
l,k		l			l
Варьируемые постоянные находятся из определяющей системы
уравнений Лагранжа
		c1,k 1k 1			c2,k (k 1) 1k 1			0 ;
c1,k 1k 2			c2,k (k 2) 1k 2			T 2 (11		10) fk .

Напомним, что определяющая система уравнений Лагранжа образуется при подстановке предполагаемого общего решения в исходное разностное уравнение и наложении ограничения на сдвиг функций c1,k и c2,k . Первое

уравнение системы есть как раз данное ограничение, а второе уравнение есть результат подстановки предполагаемого решения в исходное разностное уравнение с учетом наложенного ограничения. Определитель системы уравнений есть определитель Касорати, построенный на основе

фундаментальной системы решений и их сдвигов.

Выразим разности

варьируемых постоянных

c1,k и

c2,k из

определяющей системы уравнений, используя правило Крамера

1) 1k

1k 1 1k 2 (k 2 k 1) 12 k 3

2) 1k

1) 1k 1

c1,k

(k 2) 1k 2

T 2 (11 10 ) (k 1) 1k 1

T 2 (11

10 ) (k 1) 1k 1 ;

1k 2

T 2 (11

10 ) 1k 1

k 1

c2,k

(11

10 ) 1

Для определения

варьируемых

постоянных

c1,k

и c2,k

применим

обратный разностный оператор в виде суммы функциональной последовательности, используя для раскрытия формулы сумм факториального многочлена либо арифметической прогрессии. Учитывая тот факт, что входное воздействие в данном случае существует только при k 0, получаем значения сумм равные первым слагаемым, определяемым вторыми компонентами сумм

c1,k

T 2 n (1n

1n 1) 1n

n 1

T 2

n (1

)

c ;

n 1

2 (1n

1n 1) 1n

T 2

1n 1) T 2

c2,k

(1n

c2 ,

n 1

где c1, c2 - новые постоянные суммирования.

Подставляя найденные значения c1,k

и c2,k в предполагаемое общее

решение разностного уравнения, получаем его в виде

T 2 1k

c1 1k

k (T 2

c2 ) 1k

T 2

k T 2

;

T 2

c .

Для определения постоянных суммирования c1

воспользуемся,

найденными

ранее, начальными

условиями v

T 2

3 T 2 ,

так как

решение разностного уравнения в виде импульсной характеристики определено при k 1. Так, приравнивая общее решение, при k 1 и k 2 , начальным условиям, находим

v T 2	T 2	(1 1) c 1 c			;
1			1	2
v 3 T 2	T	2 (2 1) c 2 c
2			1		2
или
	c	c	T 2 ;
	1	2
c	2	c	2 T 2 .
1		2

Решим полученную систему относительно неизвестных постоянных c1 и c2 методом Крамера

1	1	1	;
1	2	1	;
1	2

	T 2	1				1	T 2
	2 T 2	2		2 T 2 2 T 2		1	2 T	2	2 T 2 T 2
c					0 ; c					T 2 .


1			1		2			1
			1					1

Подставляя найденные значения постоянных суммирования в общее решение, получаем частное решение исходного неоднородного разностного уравнения

g	k	v T 2		(k 1) 0 T 2			(2 k 1) T 2 ,
	k	k
при k 1 или
		g	k 1	v	1	(2 k	1) T 2 ,
			k 1	k	1

при k 0.

Полученное решение описывает импульсную характеристику, исследуемой дискретной системы, и, как видим, совпадает с выражениями, найденными операторным методом.

Решение в форме Коши (метод Коши). Рассматриваемый нами вариант метода Коши предполагает предварительное преобразование исходного неоднородного разностного уравнения

v	2 v	v	T 2 (1	1 )	f	k
k 2	k 1	k	1	0		k

в эквивалентную систему двух разностных уравнений первого порядка.

Так как в данном случае корни характеристического уравнения кратны, то при вычислении функции от матрицы модальная матрица собственных векторов окажется вырожденной, что не позволит довести решение до конца. В связи с этим можно рекомендовать аналитический прием для кратных и нулевых корней характеристического уравнения. Временно обозначаем, корни характеристического уравнения различными, например, d1, d2 ,

доводим решение до конца, а затем осуществляем предельный переход, в данном случае d2 d1 1.

Введем различные корни, модифицировав системную функцию дискретной системы

	V (z)	V	T 2 (z 1)		T 2 (z 1)
S(z) Sz		z							.
S(z) Sz	E(z)	Ez	(z d1) (z d2)		z2 (d d	2	) z d d	2	.
				1		2	1	2

Построение модифицированного разностного уравнения дискретной системы, как и прежде, осуществим по системной функции путем замены изображений воздействия и реакции оригиналами, а комплексной

переменной zn дробно-рационального выражения - оператором сдвига En

T 2 (z 1)

T 2 (E 1)

(d d

) z d d

(d d

) E d d

Преобразуя выражение, получаем неоднородное разностное уравнение

второго порядка

(d d

) v

d d

T 2

(1 1 )

k 2

k 1

2 k

1 0

или

(d d

) v

d d

v T 2 (1 1 ) .

k 2

k 1

2 k

1 0

Далее,

вводя

новые

переменные x1,k

vk ;

x2,k x1,k 1 vk 1;

x3,k v2,k 1

2 , получаем эквивалентную систему разностных уравнений

первого порядка

x1,k 1

x1,k

x2,k 1

d1 d2

x2,k

T 2 (1 1 )

или

X k

A X k

Fk .

Согласно методу Коши, частное решение неоднородной системы разностных уравнений первого порядка следует искать в виде

					Ak X			k
			X	k	Ak X		0	Ak n F	1	,
				k			0	n	1
								n 1
где X0	x1,0 x2,0	t	v0		v1	t - вектор начальных условий; Ak - степенная
где X0	x1,0 x2,0		v0		v1	t - вектор начальных условий; Ak - степенная

функция от матрицы коэффициентов системы.

Как известно, любая аналитическая функция от матрицы, имеющей различные и отличные от нуля собственные значения, на основании ее модального представления

A H H 1,

может быть определена в виде

F ( A) H F ( ) H 1,

где - диагональная матрица собственных значений; H - модальная матрица собственных векторов; F ( ) k диагональная матрица указанной функции

от каждого собственного значения.

Собственные значения матрицы коэффициентов системы определяются из характеристического уравнения

det([ A	])			1	2	(d1	d2 )	d1 d2 0 .

		d1	d2	d1 d2

Как видим, данное уравнение полностью совпадает с характеристическими уравнениями, определяемыми либо знаменателем модифицированной системной функции, либо левой (однородной) частью модифицированного разностного уравнения. Таким образом, собственные значения матрицы коэффициентов системы или корни характеристического уравнения представляются в виде

1	0	d1	0	.
0		0	d2	.
0	2	0	d2
Собственные вектора, как столбцы			модальной		матрицы H , по
известным собственным значениям матрицы			A, определяются из решения
однородных систем уравнений
A	i	hi 0 ,
где i - диагональная матрица, составленная из i .
Доказывается, что модальная		матрица	H может		быть определена

алгебраическими дополнениями элементов одной из строк, например первой,

матрицы [ A		i ]
H	11(	1)	11( 2 )	d1 d2 d1	d1 d2	d2	d2	d1	.
H	12 ( 1)		12 ( 2 )	d1 d2	d1 d2		d1 d2	d1 d2	.
	12 ( 1)		12 ( 2 )	d1 d2	d1 d2		d1 d2	d1 d2
Определитель модальной матрицы равен					H	d1 d2	(d1 d2 ) . Используя
определитель, выразим матрицу обратную модальной

1/ d

H 1

2 .

d1 d2 (d1

d2 )

d1 d2

(d1

d2 )

1/ d1

В результате, получаем выражение степенной функции от матрицы

коэффициентов

d k

1/ d

Ak H

k H

d1 d2

0 d2k

d1 d2

1/ d1

d2 d1k d1

d2k

d1k

d2k

d1 d2 (d1k

d2k ) d1 d1k

d2 d2k

Заметим, что структура матрицы Ak n аналогична и отличается лишь показателем степени.

Теперь все подготовлено для представления решения в форме Коши. Предварительно отметим, что в нашем случае вектор начальных условий X 0

и вектор правой части эквивалентной системы разностных уравнений Fk имеют вид

X0	x1,0	v0	0	; Fk	0	0	.
X0	x2,0	v1	T 2	; Fk	fk	T 2 (1	.
	x2,0	v1	T 2		fk	T 2 (1	1 )
						1	0

Кроме того, отметим, что нас интересует лишь первая компонента вектора

решений x1,k

vk .

В связи с отмеченными обстоятельствами, используя общее выражение

для решения системы разностных уравнений первого порядка

Ak X

n F

n 1

и, учитывая структуры векторов

X 0 и

Fk ,

можно записать выходное

напряжение дискретной системы.

Предварительный анализ структуры векторов X 0

и Fk показывает, что

в результирующее выражение войдут элементы a12

матриц

Ak и Ak n ,

d k

d k n

d k

соответственно

равные

целью

сокращения

аналитических выкладок целесообразно на данном этапе воспользоваться предельным переходом модифицированных значений корней характеристического уравнения к истинным значениям.

При d1 d2 1 числители и знаменатели выражений элемента a12

одновременно стремятся к нулю, поэтому воспользуемся определением предельного перехода по Лопиталю, взяв отдельно производные от числителей и знаменателей выражений по d1 и d2 .

и Ak n

Выполнив предельный переход

значения элементов a12 матриц Ak

подставив эти значения, в формулу выходной реакции

v k T 2	k
v k T 2	(k n) T 2 (1
k	n
	n 1

и, положив d1 d2 1, получим равными k и k n . Теперь, Коши, получаем выражение для

1n 1)

k T 2 k T 2	k		) T 2	k
k T 2 k T 2	(1	1	) T 2	n (1	1	) .
	n	n 1		n	n 1
	n 1			n 1

Используя для раскрытия сумм формулу арифметической прогрессии в первом случае и формулу суммирования факториального многочлена во втором случае, а также, учитывая тот факт, что входное воздействие в данном случае существует только при k 0, получаем значения сумм равные первым слагаемым, определяемым вторыми компонентами сумм

	g	v k T 2			k T 2		T 2	(2 k 1) T 2 ,
		k k
при k	1 или
		g	k 1	v	1	(2	k	1)	T 2 ,
			k 1	k	1
при k	0.
	Полученные	выражения		совпадают				с	результатами, операторного

метода и метода Лагранжа и описывают импульсную характеристику, исследуемой дискретной системы.

Пример E. Пусть задана системная функция дискретной системы второго порядка

S (z) Sz	V (z)	Vz	z b	,
	E(z)	Ez	(z 1) (z d )

где Ez - изображение входного воздействия; Vz - изображение выходной

реакции и требуется определить частотную, переходную и импульсную характеристики системы.

Частотная характеристика дискретной системы определяется по

системной функции путем замены z			e j	T
S( )	V ( )	e j T b			e	j T b		,
	E( )	(e j T 1) (e j T			e 2 j T	(1 d ) e j T
			d )				d

где T - период дискретизации по времени.

Амплитудно-частотная характеристика системы соответствует модулю комплексной частотной характеристики

S( ) Abs(S( )) .

Фазочастотная характеристика системы соответствует аргументу комплексной частотной характеристики

( ) Arg(S( )) 180 / .

Изображение выходной реакции запишется


Vz	Ez		(z	b)	.
	(z	1) (z		d )

Знаменатель системной (передаточной) функции, приравненный нулю,
определяет характеристическое уравнение
(z 1) (z d ) z2			(1 d ) z d 0 ,
корни которого, соответственно, равны d1				1; d2		d .
Переходная характеристика		дискретной				системы. Приступаем к

определению переходной характеристики дискретной системы различными методами.

Как известно, переходная характеристика представляет собой реакцию дискретной системы, находящейся в исходном состоянии покоя, на входную последовательность 1k (единичных - импульсов при k 0 и периодом T ).

Под исходным состоянием покоя следует понимать полное установление реакции на предыдущие воздействия и отсутствие сторонних источников.

Оригиналу входного воздействия 1k , согласно теории Z -

преобразования, соответствует изображение в плоскости комплексной переменной z вида

z ek 1k Ez z 1 .

Изображение выходной реакции дискретной системы будет иметь вид

z (z b)

Vz (z 1)2 (z d ) .

Из таблиц обратного Z - преобразования находим оригинал выходной реакции, то есть переходную характеристику, исследуемой дискретной системы

V	z (z	b)	v A A t B e		t A A t B d k


z	(z 1)2	(z d )	k	0	0
	(z 1)2	(z d )

или

d b

k (1 b) (d b) d k

(1 b) k (d b) (1 d k )

(1 d )2

(1 d )

(1 d )2

(1 d )

(1 d )2

где B

;

1 b

;

ln(d )

; k

; e t d k ; T -

d )2

d )

период входной последовательности.

Отметим, что при k 0 имеем v0 h0

0 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023305.29 Кб8Алгоритмы решения нестандартных задач.-1.pdf
#
05.02.2023488.32 Кб12Алгоритмы решения нестандартных задач.-2.pdf
#
05.02.2023488 Кб12Алгоритмы решения нестандартных задач..pdf
#
05.02.2023201.42 Кб6Амплитудная электрооптическая модуляция лазерного излучения..pdf
#
05.02.20233 Mб6Анализ временных характеристик аналоговых устройств..pdf
#
05.02.20233.33 Mб7Анализ временных характеристик дискретных и цифровых устройств..pdf
#
05.02.2023456.1 Кб10Анализ данных.-1.pdf
#
05.02.2023950.4 Кб12Анализ данных.-2.pdf
#
05.02.20231.01 Mб11Анализ данных..pdf
#
05.02.2023862.94 Кб1Анализ денежных потоков..pdf
#
05.02.2023194.39 Кб1Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия.-1.pdf