Спецглавы математики. .Ч.2. Теория графов

92

λ(G) = 9 – 8 + 1 = 2, λ(G1) = 8 – 8 + 1 = 1, λ(G2) = 8 – 8 + 2 = 2.

Цикломатическое число графа всегда больше или равно нулю. Докажем это утверждение.

Пусть цикломатическое число графа > 0. Удалим из графа все цикловые ребра. Цикломатическое число такого графа равно нулю. Если после удаления в графе остались какие-либо ребра, то эти ребра являются перешейками. Удаление перешейка не изменяет цикломатического числа, т.к. при удалении перешейка уменьшается число ребер на единицу, m′= m - 1, и увеличивается число компонент связности, k′(G) = k(G) + 1.

Подставим эти значения в формулу 5.1:

λ(G′) = (m - 1) – n + (k(G) + 1) = m – n + k(G) = 0.

Следовательно, цикломатическое число графа всегда положительное число.

Пусть G(X,V) несвязный граф с k компонентами связности. Тогда цикломатическое число графа G(X,V) равно сумме цикломатических чисел всех компонент связности графа:

λ(G) = ∑k λ(Gi ),

i=1

где Gi - i-тая компонента связности.

Для графа G (рис. 5.16) λ(G) = 10 – 10 + 3 = 3.

Цикломатические числа компонент связности графа G (рис. 5.16):

λ(G1) = 5 – 4 + 1 = 2, λ(G2) = 1 – 2 + 1 = 0,

λ(G3) = 4 – 4 + 1 = 1, λ(G) = 2 + 0 + 1 = 3.

G

Рис. 5.16. Несвязный граф

Докажем это утверждение.

Число ребер графа G равно сумме ребер всех компонент связности:

i =1

93

Число вершин графа G равно сумме вершин всех компонент связности:

i =1

Каждая из компонент связности графа G есть связный подграф, т.е. k(Gi) = 1, i = 1,k . Тогда:

i =1

Найдем сумму цикломатических чисел всех компонент связности графа G:

Заменим суммы выражения (5.5) на левые части выражений (5.2) и

(5.3).

k

∑λ(Gi )= m − n + k = λ(G)

i=1

5.6.Остовные деревья

Остовным деревом связного графа G(X,V) будем называть любой суграф графа G(X,V) без циклов (рис. 5.17).

Рис. 5.17. Граф G и его остовные деревья T и T1

Чтобы получить остовное дерево графа, из графа G(X,V) нужно удалить ровно λ(G)ребер.

Докажем это утверждение. По определению в дереве на n вершинах n-1 ребро. Тогда из графа G(X,V) нужно удалить m – (n + 1) = m – n + 1.

Т.к. по определению граф G(X,V) связный, то это и есть цикломатическое число графа.

Очевидно, что граф может иметь несколько различных остовных деревьев (рис. 5.17).

94

Рассмотрим два способа построения остовных деревьев.

Построение остовного дерева графа с помощью алгоритма обхода «в глубину».

Построим остовное дерево графа G (рис. 5.18)

x2

x3

x1

x4

x5

Рис. 5.18. Неорграф G

Остовное дерево графа G (рис. 5.18) – граф-дерево T(X,V′), |X|=5, |V′|=4. Действительно, цикломатическое число графа G - λ(G) = 7 – 5 + 1 = 3, т.е. из графа G для получения остовного дерева необходимо удалить три ребра.

Начальная вершина обхода выбирается произвольно. Пусть это будет вершина x1. Поставим вершине x1 метку 0, всем остальным вершинам графа

метки, равные –1. Вершина x1 считается текущей, записывается в стек. Будем

записывать в массив TREE ребра, включаемые в остовное дерево T. В начале алгоритма TREE = (рис. 5.19-а).

Найдем вершину, которая ранее не проходилась и была бы смежной текущей. Т.е. метка вершины < 0. Таких вершин несколько. Это вершины x2, x3, x5. Выберем одну из них произвольно. Пусть это будет вершина x3. Ребро (x1, x3) записывается в массив TREE, вершина x3 становится текущей. Сама

вершина записывается в стек и ей ставится метка, равная 1 (рис. 5.19-б).

Для текущей вершины x3 опять найдем смежные, ранее не пройденные вершины. Это вершины x2, x4. Выберем из них, например, вершину x4. Ребро (x3, x4) записывается в массив TREE. Сама вершина записывается в стек и ей

ставится метка, равная 2 (рис. 5.19-в). Для текущей вершины x4 смежная и ранее не пройденная вершина x5. Ребро (x4, x5) записывается в массив TREE.

Сама вершина записывается в стек и ей ставится метка, равная 3 (рис. 5.19-г). У текущей вершины x5 нет смежных вершин с метками, равными –1, но

еще не пройдены все вершины графа G. Поэтому, начнем обратный обход, используя информацию, хранящуюся в стеке. Удалим вершину x5 из стека и перейдем к вершине x4 (рис. 5.19-д). У текущей вершины x4 есть смежная

вершина с меткой –1. Это вершина x2. Запишем вершину x2 в стек, поставим

ей метку 4. Ребро (x4, x2) запишем в массив TREE. Вершину x2 сделаем теку-

щей (рис. 5.19-е).

На этом построение остова графа заканчивается, т.к. были пройдены все вершины графа. Остовное дерево графа G представлено на рис. 5.19-ж.

96

MV[x]:= -1

ВСЕ_ЦИКЛ;

MV[a]:= 0

СТЕК – пустой; m_v:= 0;

a → СТЕК;

TREE = ;

Организуем цикл, пока не пройдены все вершины графа: ЦИКЛ_ПОКА (m_v ≤ n - 1)

…

ВСЕ_ЦИКЛ;

Запишем действия, выполняемые в этом цикле. Организуем цикл, пока найдется хотя бы одна вершина смежная с текущей вершиной a, метка которой равна -1:

ЦИКЛ_ПОКА (найдется хотя бы одна x X смежная с a) И (MV(x)=-1) Найти вершину x X, смежную с a, такую, что MV(x)=-1. Метке вершины присвоить значение m_v+1, само значение m_v увеличить на единицу. Вершину x записать в стек. Ребро (х, а) записать в TREE. Текущей вершине a

присвоить значение вершины x.

НАЙТИ x X, такую, что СОСЕД (х, а) И (MV(x)=-1)

MV(x):= m_v + 1; m_v:= m_v + 1; x → СТЕК;

a:= x;

TREE:= TREE (x, a)

ВСЕ_ЦИКЛ

Если не нашлось вершины с меткой равной –1 и смежной с текущей вершиной a, то выполнить обратный обход.

ЕСЛИ СТЕК не пустой ТО Удалить текущую вершину из стека.

a ← СТЕК;

Прочитать следующую вершину из стека в a. a ← СТЕК;

Сохранить ее в стеке. a → СТЕК;

ВСЕ_ЕСЛИ ВСЕ_ЦИКЛ

97

Запишем алгоритм полностью.

Алгоритм построения остовного дерева графа G(X, V) методом обхода

«в глубину»

ЦИКЛ (для всех x X)

MV[x]:= -1

ВСЕ_ЦИКЛ;

MV[a]:= 0;

СТЕК – пустой; m_v:= 0;

a → СТЕК;

TREE = ;

ЦИКЛ_ПОКА (m_v ≤ n - 1)

ЦИКЛ_ПОКА (найдется хотя бы одна x X смежная с a) И (MV[x]:= -1) НАЙТИ x X, такую, что СОСЕД (х, а) И (MV[x]:= -1)

MV(x):= m_v + 1; m_v:= m_v + 1; x → СТЕК;

a:= x;

TREE:= TREE (x, a);

ВСЕ_ЦИКЛ ЕСЛИ СТЕК не пустой ТО

a ← СТЕК; a ← СТЕК; a → СТЕК; ВСЕ_ЕСЛИ

ВСЕ_ЦИКЛ ВЫВОД TREE;

КОНЕЦ

Построение остовного дерева обходом графа «в ширину»

Разберем работу алгоритма на примере построения остовного дерева графа G (рис. 5.18).Начальную вершину обхода выберем произвольно. Пусть это будет вершина x1. Переменной k присвоим значение k = 0. Поставим вершине x1 метку k. Всем остальным вершинам присвоим метки –1. Вершину x1

включим во множество Uk = U0 = {x1} (рис. 5.20-а).

Найдем вершины, смежные вершинам из Uk, и ранее не проходимые.

Это вершины x3, x5, x2. В дерево TREE запишем ребра (x1, x3), (x1, x5), (x1, x2). Вершинам x3, x5, x2 поставим метки, равные k+1=1.

98

Вершины x3, x5, x2 запишем в Uk+1 = U1 = {x3, x5, x2}. Значение переменной k увеличим на единицу, k:=k+1 (рис. 5.20-б).

Найдем вершины, смежные вершинам из множества U1 и ранее не пройденные. Вершине x3 смежны вершины x1, x2, x4. Вершины x1 и x2 ранее

уже проходились (их метки не равны -1). Вершина x4 ранее не была пройдена

(ее метка равна -1). Поставим вершине x4 метку, равную k+1=2. Запишем

вершину x4 во множество Uk+1 = U2 = {x4}. Ребро (x3, x4) запишем в TREE. Вершине x2 смежны вершины x3, x1, x4. Метки этих вершин не равны –1. Вер-

шине x5 смежны вершины x1, x4. Метки этих вершин не равны –1.

Таким образом, множество Uk+1 = U2 = {x4} состоит из одного элемента (рис. 5.20-в). После этого алгоритм заканчивает свою работу, т.к. были отмечены все вершины. Построенное остовное дерево представлено на рис. 5.20-г.

U2 = {x4}

Рис. 5.20. Построение остовного дерева методом

обхода графа «в ширину»

Запишем алгоритм построения остовного дерева методом обхода графа «в ширину».

99

Отметим все вершины графа метками –1. Начальную вершину a отметим меткой 0. Переменной k присвоим значение 0, k:=0. Вершину a запишем во множество Uk. Множество ребер дерева – пустое множество.

ЦИКЛ (для всех x X)

MV[x]:=-1;

ВСЕ_ЦИКЛ

MV[a]:=0; k:=0; Uk:= {a};

TREE:= ;

Организуем цикл, пока найдется хотя бы одна вершина, смежная вершине из Uk, метка которой равна –1:

ЦИКЛ_ПОКА (найдется хотя бы одна вершина x X, такая что x смежна вершине из Uk и MV[x]:=-1)

Множество вершин следующего уровня – пустое множество:

Uk+1:= ;

Организуем просмотр всех вершин x Uk ЦИКЛ (для x Uk)

Среди всех вершин графа будем искать вершины, смежные с вершиной из Uk, метки которых равны –1.

ЦИКЛ (для y X)

ЕСЛИ СОСЕД (x, y) И MV[y]:=-1

Изменим метку найденной вершины y. Вершину y запишем в Uk+1. Ребро (x, y) запишем в дерево.

ТО MV[y]:= k +1;

y Uk+1;

(x, y) TREE;

ВСЕ_ЕСЛИ ВСЕ_ЦИКЛ ВСЕ_ЦИКЛ

Увеличим значение переменной k: k:=k+1;

ВСЕ_ЦИКЛ