Прикладная механика

1.1. Статически определимые системы

Эпюры продольных сил, напряжений и деформаций

Продольное усилие Ν определяется методом мысленных сечений. Величина продольного усилия в каком-нибудь поперечном сечении стержня равна алгебраической сумме всех внешних продольных сил действующих на стержень по одну сторону от рассматриваемого сечения. Общая формула, по которой можно определить величину продольного усилия в произвольном поперечном сечении стержня имеет вид:

Если вектор продольного усилия Ν направлять в сторону от рассматриваемого сечения, то условие равновесия отсеченной части стержня, т.е. формула (1), будет давать величину и требуемый знак усилия.

При растяжении продольная сила направлена от сечения и считается положительной. При сжатии она направлена к сечению и считается отрицательной.

В стержне при его центральном растяжении (сжатии) в поперечных сечениях возникают нормальные напряжения, которые определяются по формуле:

где N – продольное усилие в сечении, А – площадь поперечного сечения.

Продольная относительная деформация определяется из закона Гука

где Е – модуль упругости первого рода.

Абсолютное удлинение l стержня длиной l постоянного сечения определяется по формуле:

Величина ЕА называется жесткостью сечения стержня при растяжении сжатии.

4

Эпюры продольных сил Ν, напряжений σ и деформаций представляют собой графики зависимости этих величин по всей длине стержня. Построить их можно, используя метод сечений. Рассмотрим его на примерах.

Пример 1: Для стержня, изображенного на рис. 1, а, построить эпюру продольных сил, если

Р1 3Р; Р2 Р; Р3 6Р; Р4 4Р; Р5 2Р.

Решение: Разделим стержень на участки, границами которых являются точки приложения сил. Проводя мысленно поперечные сечения 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, внутри каждого участка стержня, отбрасывая правую часть стержня и рассматривая его левую часть по формуле (1) имеем следующие значения продольных усилий:

Для контроля определим N 4 , рассматривая правую часть стержня:

N4 P Р5 2P .

5

По найденным значениям Ν на рис. 1, в построена эпюра продольных сил. Из эпюры следует, что на участках I, II и IY стержень растянут, а на участке III сжат.

Пример 2. Ступенчатый стальной стержень нагружен осевыми силами Р1=300 кН, Р2=240 кН, Р3=100 кН. Площади поперечных сечений А1=20 см2, А2=10 см2 (рис. 2, а), Е=2·105 МПа. Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений. Собственным весом стержня пренебречь.

Решение: Определим реакцию RA в заделке. Проектируя силы на продольную ось стержня, получим:

RA Р1 Р2 Р3 =300-240+100=160 кН.

Используя метод сечений, найдем усилия в сечениях:

По этим данным на рис. 2, в построена эпюра напряжений σ, изображающая изменение напряжений в поперечных сечениях по длине стержня.

6

Рис.2

Для определения перемещений следует предварительно найти удлинения участков стержня. Участок АВ:

7

Перемещение сечения В равно удлинению участка АВ

В l1 0,8 мм (вниз).

Перемещение сечения С равно сумме удлинений участков АВ и ВС

С l1 l2 0,8 1,05 0,25 мм (вверх).

Перемещение сечения D

D l1 l2 l3 0,8 1,05 0,7 0,95 мм(вверх).

Перемещение сечения Е

E l1 l2 l3 l4 0,8 1,05 0,7 1,2 0,25 мм

(вниз).

По этим данным на рис. 2, г построена эпюра перемещений.

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

Для обеспечения прочности стержня при растяжении или сжатии необходимо ограничить максимальные напряжения этого стержня некоторым значением, называемым допускаемым напряжением . Его величина выбирается с учетом

коэффициента запаса прочности на основе устанавливаемого заранее для данного материала опасного значения напряжения. Для материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, вводят два разных допускаемых напряжений р и

max A

Пользуясь им, можно решать следующие задачи:

1. По заданным нагрузкам, размерам сечения и величине допускаемого напряжения проверять прочность стержня.

2.По заданным размерам сечений и известной величине допускаемого напряжения определять размеры поперечного сечения:

8

3. По заданным размерам сечения и известной величине

допускаемого напряжения определять величину допускаемой

продольной силы:

Решение. Для определения продольной силы воспользуемся методом сечений. Проведем произвольное сечение 1-1 на участке І стержня и рассмотрим равновесие свободной отсеченной части (рис. 3, б). Действие отброшенной части заменим неизвестной силой Ν1, считая ее положительной. Из уравнения равновесия этой отсеченной части в форме равенства нулю суммы проекций всех сил на ось z: N1 F1 0 следует

N1 F1 20 кН.

Аналогично для сечения 2-2 на участке ІІ стержня получим N2 F2 F1 0 , откуда

N2 F1 F2 40 кН.

9

На участке I стержень испытывает растягивающее усилие Ν1=20 кН (см. рис. 3, г), поэтому нормальное напряжение в сечениях на этом участке 1 N1 A 40 МПа.

Ри с.

3

Н

а

учас

тке

II,

исп

ыты

ваю

щем

сжат ие,

Ν2 = - 40

кН. Соот ветс тву

ющее напряжение 2 N2 A 80 МПа.

Так как допускаемые напряжения на растяжение и сжатие

поэтому условие прочности в целом не соблюдено.

Пример 4. Поршень цилиндра паровой машины (см. рис.4) имеет диаметр 40 см, а шток поршня – диаметр 5,6 см. Давление пара равно 10 ат (1ат = 9,81·104 Н/м2). Найти наибольшее напряжение в штоке и соответствующее изменение его длины во время одного хода машины. Длина штока равна 75 см, материал штока - сталь.

10