Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Введение в математику

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

2n −1

xn =

2n −1

M =

x X = x M ограничен. сверху

x X = x M ограничен. снизу

xn M = ограниченная снизу

xn+1 xn возрастающая последовательсть

Пример №4

Задание:

Найдите следующие пределы:

3n3 + 5n2 + n +1

n4 + 2n2 + 4

n3 − 2n2 +1

a)lim

; б)lim

; в)lim

− 2n + 2

+ 5n +

+ 6

n→

n→ n

→

)

2n + 5 − 2

г)lim

+ 3n +1 −

n2 +1

;

д)lim

n→ (

n→

18n +1 −3

Решение:

a)lim

3n3 + 5n2 + n +1

= {делим числитель и знаменатель на старшую степень величины n} =

− 2n + 2

n→

1 0

3 +

lim

3 +

lim

n n

x→

n n

= 3

n→

n 1

−

lim 1−

x→

lim n

б) lim

→

= lim

n→ n3 +

5n + 3

lim n

5 3

x→

в) lim

n3 − 2n2 +1

= lim

+ 6

n→

→ 2

x→

8 8

(

−

)(

)

n2 + 3n +1

n2 +1

n2 + 3n +1

n2 +1

г) limn→ (

+ 3n +1 −

+1)= limx→

(

+ 3n +1 +

+1)

n2 + 3n +1−

(

2 +1

= lim

)

= lim

)

x→ (

n2 + 3n +1

n2 +1

x→

2n 2

д)lim 2n + 5 − 2 n→ 18n +1 −3

Старшая степень числителя совпадает со старшей степенью знаменателя и равна n 2 .

Вынесем n 2 за скобку в числителе и знаменателе и сократим на него:

− 2

lim

2n + 5 − 2

= lim

n→

18n

+1 −3

x→

n 18 +

−3

Пример №5

Задание:

Используя теорему о существовании предела монотонной ограниченной последовательности, докажите существование следующих пределов:

lim

+ ... +

3 +1

n→

2 3 + 3

+ n

Решение:

x1 =

, x2

, ... , xn =

+ 2

+ n

x1 x2 ... xn

Данная последовательность монотонно убывает

Последовательность является ограниченной сверху,

поскольку для всех n =1, 2,3, ..., n

выполняется неравенство

3n + n

3 +1

Пример №6

Задание:

Найдите следующие пределы:

a) lim

sin 4x

б) lim

sin 5x

в) lim

arctg2x

x→0

x→0 tg3x

x→0

г) lim

arcsin 5x

д) lim

cos 4x −cos 3x

x→0

Решение:

a) lim

sin 4x

= lim

4sin 4x

= 4

x→0

5sin 5x

sin 5x

б) lim

= lim

tg3x

3tg3x

x→0

в) lim

arctg2x

= lim

2arctg2x

= 2

x→0

г) lim

arcsin 5x

= lim

5arcsin 5x

= 5

x→0

д) lim

cos 4x − cos 3x

2sin

−

cos −cos =

* sin

x→0

2 sin

−

* sin

−2 *

sin

* sin

= lim

x→0

* x

−7 * sin

−

* 7 * sin

= lim

−7

= lim

= −

x→0

Пример №7

Задание:

Найдите следующие пределы:

2x2 +3

x2 + 6

a)lim 1+

; б)lim (1+sin2

4x )x ; в) lim

+ 4

→

x→0

x→ x

Решение:

2x2 +3

a)lim

x→

(второй замечательный предел)

lim

= e

x→

= n =

x4 +1

2x2 +3

x4 +1

= ex→

x2 (2x4 +3)

= e2

lim

x4 +1

x→

lim

б)lim (1+ sin2 4x )x

x→0

lim (1+ t )t = e

t→0

)

sin2 4x

lim

sin2

lim

1+ sin2

sin2

= e0 =1

= ex→0

x→0

(

в) lim

x2 + 6

+ 4

x→

x2 + 6

−1 =

x2 + 4

2 +4

2x4

lim

= e

x→ x2 +4

= e

x→

+ 4

Пример №8

Задание:

Найти предел:

x2 − 6x + 5

a) lim

; б) lim

x + 2 − 2

; в) lim(x3 + 4x −5)

x→1 x2 − 3x + 2

x→2

x − 2

x→2

Решение:

a) lim

x2 − 6x + 5

= lim

(x −5)(x −1)

= 4

x→1 x2 −3x + 2

x→1

(

x − 2

)(

)

−1

x2 − 6x + 5 = 0

D =16 , x 12

= 5; 1

x2 −3x + 2 = 0

D =1 , x 12

= 2; 1

(

− 2)(

+ 2)

x + 2

(x − 2)

б)lim

x + 2 − 2

= lim

→2

− 2

x→2

(x − 2)(

x + 2

+ 2)

x→2 (x − 2)(

x + 2

+ 2)

в)lim(x3 + 4x −5) = lim(23 + 4* 2 −5) =11

→2

x→2

Пример №9

Задание:

Исследовать на непрерывность функцию y = x2 − 2x .

Решение:

D(f ) = (− ;+ )

Найдем приращение заданной функции y произвольной точке x :

y = f (x + x )− f (x ) = (x + x )2 − 2 (x + x )−(x2 − 2x )=

= x2 + 2x x + x2 − 2x − 2 x − x2 + 2x = 2x x + x2 − 2 x

Функция f(x) непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента x соответствует бесконечно малое приращение функции f (x0 ):

lim y = lim f (x0 ) = lim					f (x	0 + x )− f (x0 )			= 0
x→0	x→0			x→0
Вывод : lim y = lim			(	2x x + x2 − 2 x			)	= 0, следовательно функция y = x2		− 2x
	x→0	x→0	(				)

является непрерывной.

Пример №10

Задание:

Исследовать на непрерывность функцию f (x) = x2 − 6x +8 x − 4

Решение:

f (x) = x2 − 6x +8 x − 4

x = 4 − точка разрыва функции Вычислим односторонние пределы :

lim	(x − 2)(x − 4)	= 2
x→4+0	(x − 4)
lim	(x − 2)(x − 4)	= 2
x→4−0	(x − 4)

Односторонние пределы конечны и равны. Во всех остальных точках функция определяется формулой f(x)=x-2 непрерывна.

Пример №11

Задание:

Исходя из определения, докажите, что функция f (x) = x2 + 4x дифференцируема в любой

точке x0 и f ' (x0 ) = 2x0 + 4.

Решение:

Находим f (x0 ) = f (x )− f (x0 )

f −приращение функции при переходе из x0 в x. x − x0 = x

f = (x0 + x )2 + 4 (x0 + x )− (x02 + 4x0 )=

=x02 + 2x0 x + x2 + 4x0 + 4 x − x02 − 4x0 =

=2x0 x + x2 + 4 x

f = A x + (x0 , x ) A = f (x0 )

A x обозначают df − дифференциал функции

A x = 2x0 x + 4 x							( x ) = x2
Т.к. lim	( x )	= lim		(	x	)	= 0
	x
x→0		x	→0

то ( x)- бесконечно малая порядка выше первого относительно x .

2.2.Задача о непрерывном начислении процентов

Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов на следующем примере: Первоначальный вклад в банк составил Q0 = 100 000 денежных единиц. Банк

выплачивает ежегодно p=7% годовых. Необходимо найти размер вклада через t=10 лет.

Решение:

При 7% годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в

раз, т.е.

= Q0 1

100

Q2 = Q0 1+

, ..., Qt = Q0 1

100

Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а n раз, то при том же ежегодном

приросте p% процент начисления за	1		− ю часть года составит					p%	, а размер вклада за t лет
приросте p% процент начисления за		n	− ю часть года составит					n	, а размер вклада за t лет
		n						n
при nt начисления составит:
						p	nt
	Qt		= Q0 1	+
	Qt		= Q0 1	+	100n
					100n

В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется разными темпами, причем с возрастанием частоты накопленная сумма увеличивается:

			p	nt		t*p	10*7

					= Q * e100		=100 000*e 100 = 201375,3
lim Q0 1	+
lim Q0 1	+
n→		100n
n→

2.3. Понятие производной. Таблица производных. Производная от суммы, произведения, частного. Сложная производная. Понятие дифференциала функции.

Пусть дана функция f (x) , определенная на некотором интервале (a,b) и непрерывна на нем. Дадим аргументу x (a,b) приращение x , тогда функция получит приращение f

: f = f	(x + x)− f (x) . Отношение	f	=	f (x + x)− f (x)	– функция от и выражает
		x		x

среднюю	скорость изменения функции		f (x) относительно		аргумента x на интервале
(x, x + ).

Определение. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, называется производной функции f (x) в точке x и

обозначается

y	= f (x) =	dy	=	df (x)	= lim y .

x		dx		dx	x→0 x

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X , называется

дифференцируемой на этом промежутке.

Существует определенная зависимость между непрерывностью функции и ее дифференцируемостью, которая выражается следующей теоремой.

Теорема. Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 , то она в этой точке

непрерывна.

Обратное, вообще говоря, неверно, поэтому непрерывность функции – это необходимое, но не недостаточное условие дифференцируемости функции.

Геометрический смысл производной функции f (x) в точке	x0 состоит в том, что
f (x0 ) равна тангенсу угла наклона касательной к графику в точке x0	относительно оси OX

Как известно, уравнение прямой можно записать в виде: y − y0 = k(x − x0 ), где k –

коэффициент наклона прямой относительно оси OX . Тогда уравнение касательной можно

переписать, используя вместо k производную:

y − y0 = f (x0 )(x − x0 ).

Производные основных элементарных функций

1. (xn ) = n xn−1

8. (tg x) =

cos2 x

(ax )

= ax ln a

9. (ctg x) = −

sin 2 x

(ex )

= ex

10. (arcsin x)

− x2

(loga x) =

11. (arccosx) = −

x ln a

1− x2

(ln x)

12. (arctgx)

1+ x2

(sin x)

= cosx

13. (arcctgx)

= −1+ x2

(cosx) = −sin x

При нахождении производных используют следующие правила дифференцирования.

− const

5. (f (x) g(x))

= f (x) g(x) + f (x) g (x)

f (x) g(x) − f (x) g (x)

2. (cf (x)) = c f (x)

f (x)

при

= c

(x)

3. (c x)

g(x)

g(x) 0

4. (f (x) g(x))

= f (x)

g (x)

Пусть переменная y

есть функция от переменной u( y = f (u)) ,

а переменная u , в

свою очередь, есть функция от независимой переменной x , то есть задана сложная функция y = f (x) .

Теорема. Если y = f (u) и u = (x) – дифференцируемые функции от своих

аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной x :

y = f (u) u .

Пусть y = f (x) – дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке X . Если переменную y рассматривать как аргумент, а переменную x как функцию, то новая функция x = ( y) является обратной к данной и, можно доказать,

непрерывной на соответствующем промежутке X .

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то

есть xy = 1 .

Пример №1

Задание:

Найдите производную данной функции и вычислите значение производной в точке x0:

7 5

a) y(x) = 4x 3 + 5x 2 + x +1 в точке x0 =1

б) y(x) =	3	+	8	+ 2 в точке x0 =1

			x2 4 x3
	x 3 x2

в) y(x) = (x2 + 2x + 2)* arcsin (0,5 + x ) в точке x0 = 0

г)y = x4 * arctg2x в точке x0 = 12

д)y(x) = (x4 + 3x2 + 2x + 3)20 в точке x0 = 0 е) y(x) = (arcctg x )2 в точке x0 = 0

Решение:

								7						5																	7						5						1

a) y(x) = 4x 3 + 5x 2 + x +1 = 4x 3 + 5x 2 + x 2 +1
								4									3							1										3
					7			4						5			3				1			1									28	3	x		4					25 x			3			1
y = 4 *																		+				x−						=
						x 3 + 5*										x 2										2												+								+
						x 3 + 5*										x 2										2												+								+
				3										2					2															3									2				2		x
y (1) =					67
y (1) =					3
б) y(x) =								3				+					8				+ 2 =										3					+					8			+ 2 =
																															2												3
																															2												3
							x 3 x2								x2 4 x3
							x 3 x2								x2 4 x3																x * x 3								x2 * x 4
	3			8					+ 2 = 3x−								5					11
																						−			+ 2
=			+														3 + 8x						4
=			+	11													3 + 8x						4
		5		11

	x 3			x 4
								5			−		8						11								−		15
y = 3*								5			−								11								−
				−						x	3 + 8						−					x					4
				−						x	3 + 8						−		4			x					4
( )								3											4
( )
y 1 = −27
в) y(x) = (x2 + 2x + 2)* arcsin (0,5 + x )
y = (x2 + 2x + 2) * arcsin (0,5 + x )+ (x2																																									+ 2x + 2)* (arcsin (0,5 + x )) =
= (2x + 2)arcsin (0,5 + x )																						+		(			x2					+ 2x + 2								)					1


																																										0, 75 − x − x2
																																										0, 75 − x − x2
y = (arcsin (0,5 + x ))
t = 0,5 + x
(arcsin t )								=					1				* t =														1										=						1


													− t2										1− 0,5 + x 2																								− x − x2
								1					− t2										1− 0,5 + x 2																				0, 75				− x − x2
y (0) = 2 * + 2														1						=				+						4


								6						0, 75								3									3

г)y = x4 * arctg2x
y =	(	x4	arctg2x + x			4 (arctg2x ) = 4x							3arctg2x + x4								2


			)																1+ 4x2
1				1			1			2			1				1		2				1
y		= 4 *			* arctg1	+		*				=		*		+		*		=		+
y		= 4 *			* arctg1	+		*			1	=		*		+		*		=		+
2				8			32	1	+	4*	1		2		4 16 2						8 16
								1	+	4*	4

д)y(x) = (x4 + 3x2 + 2x + 3)20 t = x4 + 3x2 + 2x + 3

y = (t20 ) = 20t19 * t = 20 (x4 + 3x2 + 2x + 3)19 * (4x3 + 6x + 2); y (0) = 40 * 319

е) y(x) = (arcctg								)2
е) y(x) = (arcctg							x	)2

t = arcctg			x
																									1		1
	(	)									(							)
	(	)									(							)
y =		t2 = 2t * t = 2 * arcctg								x *			arcctg					x = 2arcctg					x *	−	(1+ x )	*
y =		t2 = 2t * t = 2 * arcctg								x *			arcctg					x = 2arcctg					x *	−		*
																										2		x
Пусть d =				x
(arcctg d) = −						1			* d = −	1									= −	1	*	1
						1				1						*		x		1		1


					1+ d2				1+ (					)	2		(	)		1+ x		2 x
									1+ (			x		)