Моделирование и оптимизация объектов и процессов

144

10.2. Последовательное планирование эксперимента

Очень часто обработку в планирование эксперимента приходится вести по мере поступления данных, т. е. последовательно. Например, если построенная по исходным данным регрессионная модель оказалась неадекватной, то дополнительный эксперимент позволяет уточнить её, для чего нужно, вообще говоря, пересчитать сценки неизвестных параметров (исключение составляет ортогональное планирование). Можно, конечно, каждый раз при получении новой порции результатов эксперимента решать задачу как бы заново, используя всю накопленную информацию.

Однако такой путь весьма нерационален. Гораздо удобнее с вычислительной точки зрения при последовательном способе построения модели использовать рекуррентные алгоритмы оценивания. Такой путь особенно удобен при использовании ЦВМ. Приведем здесь краткое изложение такого подхода. Будем искать регрессионную модель уже отмеченного ранее вида:

l

η(x) = βkfk(x) или η = βтG(x).

k=0

Пусть на основе N наблюдений найдены оценка 5N вектора коэффициентов β, а также дисперсионная матрица 2N и остаточная сумма квадратов HN , имеющих известные уже нам выражения, снабженные лишь индексом N:

Hn = (3N − -n5N )(3N − -n5N ) = 3N 3N − 5N -N 3N .

Пусть теперь к N имевшимся наблюдениям добавлены ещё M наблюдений в точках xN+1, . . . , xN+M , определяющих матрицу неза-

висимых переменных GM = [G(xN+1), . . . , G(xN+M )]т и матрицу 3M = = [3N+1, . . . , 3N+M ]т.

Предполагается, что дисперсия ошибки наблюдений в новых точках та же, что и в предыдущих. Требуется построить алгоритм вычисления:

1)оценок 5N+M через оценку 5N матрицы GM и 3M ;

2)дисперсионной матрицы 2N+M через матрицы 2N и GM ;

3)остаточной суммы квадратов HN+M через Hn, 5N , GM и 3M . В [52] приведен вывод следующих соотношений, дающих ответ

на поставленные вопросы:

2N+M = 2N − 2N -тM [-M 2n-тM + :M ]−1-M 2n;

η(x) = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3,

где xi — кодированные переменные x1 = z1 − 4; x2 = (z2 − 1,4)/0,1; x3 = (z3 − 3)/0,5.

Сначала был реализован ДФЭ 23−1 с генерирующим соотношением x3 = x1x2. Статистический анализ результатов показал, что b2 ≈ 0.

Причина такого результата могла быть объяснена чрезмерно большой дисперсией ошибок наблюдений, в связи с чем было предложено продолжить эксперимент для уточнения модели. После добавления двух опытов взятых для плана 23−1 с генерирующим соотношением x3 = x1x2 были получены значимые оценки всех коэффициентов и опыты были прекращены.

Результаты расчетов приведены в табл. 10.2. Оценка дисперсии воспроизводимости, определенная по ряду параллельных опытов, равна 10,9 при числе степеней свободы ν2 = 4.

146

Таблица 10.2

Из табл. 10.2 видно, что после 6-го опыта все коэффициенты значимо отличаются от нуля. Кроме того, сопоставляя полученное значение f = 2,26 с fкр = 10,64 при уровне значимости α = 0,05, ν1 = 2, ν2 = 4, убеждаемся в адекватности линейной модели.

148

, {7}

Запишите систему уравнений для определения коэффициентов уравнения регрессии y = b1x1 + b2x2 по методу наименьших квадратов, используя таблицу результатов наблюдений и промежуточных расчетов

= {6}

Запишите численное выражение неравенства, при выполнении которого приведенные таблице выборочные дисперсии считаются однородными при уровне значимости p = 0,05:

I {5}

Укажите неверное определение:

a) регрессионный анализ — это метод определения коэффициентов модели, наиболее соответствующей набору экспериментальных данных. Причем ошибка (разность между моделью и любой экспериментальной точкой) обязательно должна быть равна нулю;

б) регрессионный анализ может быть применен, если входные факторы x1, x2, . . . , xk измеряются с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении у и некоррелированы друг с другом;

в) при регрессионном анализе определяется функциональная зависимость среднего значения y от x. Вид функции предполагается известным, и по заданным результатам наблюдений нужно найти оценки неизвестных параметров.

J {6}

По результатам измерений x1, x2, x3, у были вычислены коэф-

Запишите математическую модель исследуемого технологического процесса с учетом оценки значимости (проверки нуль-гипотезы bj = 0) коэффициентов bj, если табличное значение критерия Стьюдента t(0,05; 8) = 2,306.

K {7}

Результаты измерения входных x1, x2 и выходного y факторов исследуемого технологического процесса были преобразованы (пронормированы) по следующим формулам:

Для этих данных мы имеем следующее уравнение регрессии в нормированном виде: y0 = 0,799x01 + 0,358x02. Запишите численные выражения для определения коэффициентов b0, b1, b2.

L {8}

Исследовалась функция Y от одного входного фактора X. Объём выборки N, число параллельных опытов m. Опишите последовательность действий, которые нужно произвести для того, чтобы

оценить, какая аппроксимация лучше: Y = b0 + b1x или Y = = b0 + b1x + b11x2.

M {5}

Что характеризует дисперсия воспроизводимости и остаточная дисперсия? Напишите формулы для определения этих дисперсий.

N {3}

По какому из перечисленных критериев оценивается однородность дисперсий:

а) по критерию Стьюдента; б) по критерию Кохрена; в) по критерию Фишера.

{3}

В таблице представлена матрица планирования и результаты экспериментов.

150

Запишите численные выражения для определения коэффициентов уравнения регрессии b12, b13, b23, b123.

+ {6}

Cоставьте матрицу планирования ДФЭ 24−1 от ПФЭ, используя генерирующее соотношение x4 = x2x3.

, {6}

Для составленной в задаче 12 матрицы планирования покажите выполнение свойства ортогональности (только сочетания, содержащие параметр x4).

= {6}

Для задачи 12 запишите систему совместных оценок коэффи-

циентов b1, b2, b3, b4, b12, b13, b14.

I {6}

При поиске минимума методом покоординатного спуска были получены следующие значения параметров поиска и целевой функции:

При этом использованы следующие обозначения: QN = Q(xN );

xNi ± = xNi ± i; QN± = Q(xN± i).

По результатам поиска, приведенным в таблице, восстановите значения λN1 и λN2 .

J {7}

В задаче поиска минимума методом Бокса–Уилсона в окрестности исходной точке x0 = (0; 0) получена линейная аппроксимация

поверхности отклика: Q(x) = 25+10x1 +4x2, где шаги варьирования x1 = 1, x2 = 2, а λб = 1. Произведите три «мысленных опыта», т. е. определите 3 прогнозируемых значения выходного параметра.

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

12.1. Практическая работа № 1

При производстве намоточных изделий РЭС (трансформаторов, электродвигателей, дросселей) для определения показателей их надежности требуется знание числа и протяженности дефектов в изоляций обмоточных проводов. В [15] разработан способ контроля указанных параметров. В основу контроля положен принцип зажигания коронного разряда между датчиком, на который подано высокое напряжение U, и жилой провода.

Исследования показали, что абсолютная погрешность определения протяженности дефектов l зависит от напряжения U на датчике, от емкости C и сопротивления R, стоящих в цепи формирования импульса дефекта, а также от скорости движения провода V.

Результаты статистических исследований погрешности определения протяженности дефекта l от величины влияющих на точность контроля параметров (U, R, C, V ) приведены в табл. 12.1.

Используя результаты, приведенные в приложении, провести полный статистический анализ полученных данных и, в конечном счете, построить адекватную математическую модель исследуемого процесса. В практической работе № 1 проводится лишь первая часть статистического анализа — корреляционный анализ статистических

данных.

1. Используя табл. 12.1, найти среднестатистические значения параметра l для каждого конкретного значения U, R, C, V .