Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

имеем s (s)

f (x)sin sxdx

sin sxdx . Приме-

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

eis e2is e 2is e is .

Так как eis

e is

2isin s , то окончательно получаем

(s)

2isin s 2i sin 2s

sin 2s sin s

sin

cos

s 2

f (x) , имеем

в) Записывая преобразование Фурье функции

f (x)e isxdx

e isxdx

(s)

xexe isxdx

xe xe isxdx

1 is x

Вычислим

каждое

слагаемое

отдельно. Для

интеграла

xe 1 is xdx

можем

записать

I 0 xe 1 is xdx lim

xe 1 is xdx . Применим для нахождения

xe 1 is xdx формулу интегрирования по частям. По-

интеграла

ложим u x ,

dv e 1 is xdx ,

тогда

du dx ,

e 1 is x .

Следовательно,

lim

e 1 is x

e 1 is xdx

1 is

is A

131

lim

e 1 is x

1 is

1 is A

1 is

lim

1 is

lim

e 1 is A

lim

e 1 is A .

is 2

1 is

A 1 is 2

Далее,

lim

1 is A

lim

eisA

. Применив для

1 is

A 1 is

вычисления

предела

lim

правило

Лопиталя,

получаем

A eA

lim

0 . Так как

eisA

при каждом фикси-

1 s2

A eA

1 is

eisA

рованном

есть величина конечная, то

lim

0 .

1 is

Аналогично

можем

записать

1 is A

eisA

lim

так

как

1 is

eisA

при каждом фиксированном

есть

1 is 2

1 is

eisA

величина конечная, то

lim

. Таким образом,

1 is 2

132

xe 1 is xdx

Для

интеграла

можем

записать

xe 1 is

xdx

lim

A xe 1 is xdx . Применим для нахожде-

ния интеграла xe 1 is xdx формулу интегрирования по частям.

dv e 1 is xdx ,

Положим

u x ,

тогда

du dx ,

e 1 is x

. Следовательно,

1 is x

1 is

lim

1 is

lim

e 1 is x

1 is

1 is A

lim

1 is

lim

e 1 is A lim

e 1 is A .

1 is 2

A 1

A 1 is 2

1 is A

e isA

Далее,

lim

Так

как

1 is

e isA

при каждом фиксированном s есть ве-

1 is

1 s2

личина

конечная

lim

(показано

выше),

то

e isA

A eA

lim

0 . Аналогично можем записать

1 is

133

1 is A

e isA

lim

1 is

а так как

e isA

при каждом фиксированном

1 is 2

1 is

1 s2

s есть величина конечная,

образом, I2 1 1is 2 . Окончательно получаем

	e isA		A
то lim					0 . Таким
		2
A	1 is		e	A

		1							1					1									1		1 is				2	1 is							2
(s)		1							1					1									1		1 is					1 is
(s)			2					1	is		2		1 is					2								1 is				2	1 is					2
			2					1	is				1 is										2			1 is					1 is
								1		1		2is is					2		1 2is is									2
								1		1		2is is							1 2is is

															1 is									2
								2													2			2

			1						2is s2 1 2is										s2								4is
			1				1		2is s2 1 2is										s2								4is								.

				2								1 s		2		2										2 1 s						2		2
				2										2																		2

г) Записывая преобразование Фурье функции																													f (x) , имеем
							1													1						x
	(s)						1			f (x)e isxdx										1				e			cos xe isxdx
	(s)						2			f (x)e isxdx										2				e			cos xe isxdx
							2													2
					1				0	ex cos xe isxdx												e x cos xe isxdx
																																	.
																																	.

						2														0
Заменяя в полученных выражениях cos x																									по формулам Эйлера
cos x	eix		e ix					, получаем
cos x			2					, получаем
			2
																134

(s)

e isxdx

e x

e isxdx

1 i

is x

1 i is x

dx .

Для первого слагаемого в скобках имеем

e 1 i is x

dx lim

e 1 i is x

lim

1 i is x

1 i is

lim

1 i is A

1 i is

e i 1 s A

ei 1 s A

lim

e A

lim

e A

1 i is

1 i

1 i is

1 i 1 s

Для второго слагаемого получаем

e 1 i is x

dx lim

e 1 i is x e 1 i is x

lim

1 i is x

1 i is

i is

e 1 i is A

lim

1 i is

ei 1 s A

e i 1 s A

lim

e A

lim

e A

1 i is

1 i

1 i is

1 i 1 s

135

Тогда

(s)

1 i 1 s

2 2 1 i 1 s

1 s 1 i 1 s

1 i 1 s

2 2

1 i

1 s 1 i 1 s

1 i 1 s 1 i 1 s

2 2

1 1 s

4.1.2.

Для

заданных на [0, ) функций

найти

синус-

преобразование Фурье или косинус-преобразование Фурье:

a) f (x)

, c s ;

б) f (x)

, s s ;

9 x2

4 x2

в) f (x)

c (s) ;

x a

г) f (x)

0 x 1

, s

(s) .

f (x) ,

а) Записывая косинус-преобразование Фурье функции

имеем

1 2

c (s)

f (x)cos sxdx

cos sx2

cos sx2 dx

0 9 x

9 x

eisz

z 3i

Re 2 i res

. Так как

точка

для функции

z 3i 9 z

f z

eisz

является простым полюсом, то вычет вычисляется

f z lim

z z

f z

по формуле res

. Таким образом,

z z

isz

(s)

2 i lim

z 3i

z z0

z 3i z 3i

136

eisz

e 3s

2 i lim

2 i

z z0

z 3i

e 3s

3 2

б) Записывая синус-преобразование Фурье функции

f (x) ,

имеем

xsin sx

s (s)

f (x)sin sxdx

xsin sx

4 x

zeisz

z 2i

Im 2 i res

. Так как точка

для функции

z 2i 4 z

f z

zeisz

является простым полюсом,

то вычет вычисляет-

4 z2

z z

f z

ся по формуле

res

lim

. Таким образом,

z z

z 2i

isz

(s)

Im 2 i lim

z 2i z

z z0

zeisz

2ie 2s

2 i

lim

Im 2 i

z z0

z 2i

Im ie 2s e 2s

e 2s .

f (x) ,

в) Записывая косинус-преобразование Фурье функции

имеем

2 a

c (s)

f (x)cos sxdx

cos sxdx

sin sx

2 1 sin as .

137

г) Записывая синус-преобразование Фурье функции f (x) ,

ним интегрирование								по	частям.			Положим								u 2x 2 ,
dv sin sx dx , тогда du 2dx , v 1 cos sx . Следовательно,
									s
					2					1			1
										1			1
s (s)							2x 2		cos sx		2				cos sxdx
s (s)							2x 2		cos sx		2				cos sxdx
								s				s
										0			0						1
										0			0
		2											2

			2 2 cos s						2 cos 0								sin sx
			2 2 cos s						2 cos 0					2			sin sx
						s			s					2
													s						0
													s						0
	2			2		2						2 2								2
								sin s sin 0										sin s		.
				s			s2	sin s sin 0								2		sin s		.
				s			s2					s				2				s

Задачи для самостоятельного решения

в)

д)

ж)

и)

4.1.3. Найти преобразование Фурье функции:

xsin 5x,

f (x) 3 x e

x 3 2

f (x)

б)

;

e 3x ,

2 x 0,

cos3x,

f (x)

г)

f (x)

0 x 2,

;

x cos 2x,

sin 3x,

f (x)

е)

f (x)

;

x 2

f (x) e

;

з) f (x)

f (x) e 3

138

4.1.4. Для заданных на [0, )

функций

найти синус-

преобразование Фурье или косинус-преобразование Фурье:

a) f (x)

9 x2 4 x2

, s s ; б) f (x)

, c s ;

25 x2

в)

f (x)

cos 2x,

0 x

, c (s) ;

г)

f (x)

sin 3x,

0 x

, s (s) ;

д)

f (x)

, c s ; е)

f (x) e 3x , c s ;

ж) f (x)

s ; з) f (x) e

2 x sin 3x,

s ;

4 x2

и)

к)

л)

м)

		x		0 x 4
cos			,				, c	(s) ;
cos		4	,
f (x)		4
	0,			x 4
	0,			x 4
3x,			0	x	2	, s (s) ;
f (x)	0,			x	2	, s (s) ;
	0,			x	2
2x 4,				0	x	4	, s (s) ;
f (x)	0,				x	4	, s (s) ;
	0,				x	4
2x,			0 x 3			, c (s) .
f (x)	0,			x 3		, c (s) .
	0,			x 3

4.2. Преобразование Лапласа

Пусть f (t) – комплекснозначная, кусочно-непрерывная (то

есть на каждом ограниченном отрезке числовой прямой имеет не более чем конечное число точек разрыва 1-го рода) на полу-


интервале [0, ) функция. Рассмотрим интеграл	f (t)e rt dt .
	0

Если при некотором r0 этот интеграл абсолютно сходится, то он

139

абсолютно сходится и при любом r , таком, что Re r Re r0 . Наименьшее действительное r0 , такое, что для всякого r с


Re r r0	интеграл f (t)e rt dt абсолютно сходится, а	при
	0
Re r r0	абсолютно расходится, называется показателем роста
функции	f (t) . Если показатель роста r0 , то говорят,	что

функция имеет ограниченный рост. Примером функции ограниченного роста служит такая функция, что f (t) Mer0t .

Комплекснозначную функцию f (t) , заданную на интервале ( , ) , назовём оригиналом, если она обладает свойствами:

1)f (t) 0 для всех t ( ,0) ;

2)f (t) кусочно-непрерывна, то есть на каждом ограничен-

ном отрезке числовой прямой имеет не более чем конечное число точек разрыва 1-го рода;

3)f (t) ограниченного роста.

Заметим, что любую кусочно-непрерывную функцию ограниченного роста можно сделать оригиналом, если умножить её

0,		если t 0,	. Функцию h(t) называют еди-
на функцию h(t)	1,	если t 0

ничной или функцией Хэвисайда. С учётом сделанного замечания кусочно-непрерывные функции ограниченного роста будем считать оригиналами.

Ядро преобразования Лапласа равно e px . Преобразование Лапласа определяется для оригиналов. Преобразование Лапласа имеет вид

F p L f t p f t e pt dt .

Функцию F( p) комплексного переменного p называют изображением функции f (t) .

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20233.39 Mб16Практикум по объектно-ориентированному программированию..pdf
#
05.02.20231.39 Mб12Практикум по программированию на языке программирования Си..pdf
#
05.02.2023406.11 Кб2Практикум по социально-культурной деятельности..pdf
#
05.02.20231.98 Mб15Практикум по Теоретической механике..pdf
#
05.02.2023931.61 Кб16Практикум по теории вероятностей..pdf
#
05.02.20231.22 Mб7Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению..pdf
#
05.02.20231.44 Mб32Практикум по физико-химическим методам анализа..pdf
#
05.02.2023206.8 Кб0Практическая подготовка студентов.-1.pdf
#
05.02.2023623.34 Кб0Практическая подготовка студентов..pdf
#
05.02.2023290.92 Кб10Практический маркетинг..pdf
#
05.02.2023176.72 Кб1Преддипломная практика студентов..pdf