Методические указания к практическим работам для студентов направления 09.03.02 «Информатика и вычислительная техника»

Формула (14) означает, что площадь под кривой y f (x) на [a,b] заменяется площадью прямоугольника с основанием

к каждому отрезку применим формулу левых прямоугольников. Тогда

a (k 1)h

где fk f (a kh), k 0, m 1. При этом погрешности также суммируются, то есть

согласно теореме о среднем, существует точка [a,b] такая, что

21

1 m 1

m f ( k ) f ( ).

k 0

Тогда погрешность обобщенной формулы левых прямоугольников примет вид

R(об.) ( f ) (b a)2 f ( ) .

0,л ев. 2m

2. Формула правых прямоугольников

В качестве узла квадратурного правила выбирается правый конец интервала [a,b] , т.е. точка b . Тогда квадратурная фор-

мула называется формулой правых прямоугольников и записывается в виде

на [a,b] заменяется площадью прямоугольника с основанием

применив к каждому отрезку формулу правых прямоугольников и просуммировав результаты, получим обобщенную формулу правых прямоугольников

22

3. Формула средних прямоугольников

В качестве узла квадратурного правила выбирается средняя

точка интервала [a,b] , то есть точка a b . Тогда квадратурная

2

формула называется формулой средних прямоугольников и имеет вид

на [a,b] заменяется площадью прямоугольника с основанием

Так как середина интервала [a,b] является узлом квадратурной формулы, то эта формула будет точной для всех многочленов первой степени. Тогда функцию f (x) можно представить в виде

f (x) P (x) r(x),

1

где P (x) − многочлен Тейлора первой степени, удовлетворя-

1

Остаточный член при кратном интерполировании в предположении, что f (x) имеет непрерывные производные второго

[a,b] , то, согласно теореме о среднем, существует такая точка

[a,b], что

каждому отрезку применим формулу средних прямоугольников (18). Тогда

a (k 1)h

f (x)dx hf a 2k2 1 h

a kh

R(k ) ( f ) h3 f ( k ), k [a kh, a (k 1)h],

0,cp. 24

k 0, m 1.

Просуммировав результаты по всем отрезкам, получим обобщенную формулу средних прямоугольников

b

f (x)dx

a

Погрешность формулы (19) можно записать, просуммировав R0(k,cp) . ( f ) по всем отрезкам, то есть

Согласно теореме о среднем и в предположении о непрерывности f (x) на [a,b] , погрешность обобщенной формулы средних прямоугольников запишется в виде

24

узла на [a,b] образуют точки a и b . Формула трапеций и выражение для погрешности имеют вид

не меняет знак на [a,b] .

Геометрически формула (21) означает, что площадь, ограниченная кривой y f (x) на [a,b] , заменяется площадью тра-

части формулу трапеций и просуммировав результаты, получим обобщенную формулу трапеций

Погрешность обобщенной формулы трапеций имеет вид

25

5.Квадратурная формула Симпсона (парабол)

Вэтом случае B02 B22 16 , B12 64 . Три равноотстоящих

узла на [a,b] образуют точки a, a b , b . Квадратурная форму-

2

ла Симпсона имеет вид

Геометрически формула (23) означает, что площадь, ограниченная кривой y f (x) на [a,b] , заменяется площадью,

ограниченной параболой, построенной на [a,b] по трем точкам

a, a b , b .

2

Так как средняя точка интервала [a,b] является узлом

квадратурного правила, то формула (23) является точной для многочленов третьей степени. Для нахождения погрешности квадратурной формулы Симпсона построим многочлен Эрмита третьей степени P3 (x) , удовлетворяющий условиям:

P3 (b) f (b).

Остаточный член многочлена Эрмита P3(x) имеет вид:

Тогда остаточный член квадратурного правила Симпсона можно вычислить следующим образом:

26

27

Тогда выражение для погрешности квадратурной формулы Симпсона примет вид

R(об.) ( f ) (b a)5 f (4) ( ).

2 180m4

Практическое занятие № 6.

Метод Ньютона для решения нелинейного уравнения

Задание. Отделить корни уравнения f (x) 0 графически

и уточнить. Проверить достаточное условие сходимости. Один из корней уравнения вычислить с помощью метода Ньютона с точность до 0,00005. Варианты исходных данных приведе-

ны в приложении.

Цель работы. Дать студентам практические навыки численного решения нелинейного уравнения.

Указания к выполнению. Рассмотрим основные формулы, позволяющие реализовать численное решение уравнений с помощью метода Ньютона. Начальное приближение x0 можно

определить графически как точку пересечения функцией y f (x) оси абсцисс. Идея этого метода заключается в том,

что он позволяет решение нелинейного уравнения свести к решению последовательности линейных задач.

Геометрически метод Ньютона означает следующее (см. рис. 3): точное решение x является точкой пересечения кривой y f (x) с осью абсцисс. За очередное приближение xn 1 при-

28

нимается точка пересечения касательной к кривой в точке (xn , f (xn )) с осью абсцисс.

Рис. 3. Графическая иллюстрация к методу Ньютона

Итерационный процесс следует продолжать до тех, пор пока не будет выполнено неравенство

где - заданная точность решения уравнения.

Для проверки сходимости метода Ньютона используются следующая теорема.

Теорема. Если f (х) определена, дважды дифференцируема в [ , ] и принимает значения разных знаков на концах ин-

храняют постоянные знаки на [ , ], то, используя начальное приближение x0 [ , ], удовлетворяющего неравенству

f (x0 ) f (x0 ) 0 ,

получим сходящийся итерационный процесс (24) для определения единственного корня x* уравнения f (x) 0 с любой сте-

пенью точности.

Эта теорема дает достаточные условия сходимости метода Ньютона.

29

Сходимость метода Ньютона является квадратичной. Пример. Найти корень уравнения f (x) 0 для функции

f (x) вида:

f (x) x2 7x x 12 .

2

Выполнив отделение корней (это можно сделать построив график функции y f (x) ) найдем интервал, которому принадле-

жит только один корень уравнения. В качестве этого интервала можно взять следующий: 1.5, 1.75 .

За начальное приближение примем значение x0 1.7 , которое

принадлежит выбранному интервалу. Проверим достаточные условия сходимости метода Ньютона (см. теорему).

a. Функция f(x) определена и дважды дифференцируема на

[1.5,1.75]:

b.На интервале [1.5,1.75] производные f’(x) и f’’(x) отличны от нуля и сохраняют постоянные знаки.

c.Произведение положительно f (x0 ) f ''(x0 ) 0.26836 0 .

Для нахождения решения уравнения f (x) 0 с точностью

0.5 10 4 , используем формулы метода Ньютона (24) в результате за 4 итерации получим корень с заданной точностью x 1,7426 .

30