Управление в технических системах
..pdf
Определить матрицу G(k) G(x(k),u(k)) |
и вектор g(k) |
g(x(k),u(k)) из соотношения |
|
x(k 1) A( )x(k) B( )u(k) q(k) G(k) g(k) q(k) . (15)
В качестве алгоритма идентификации используется дискретный фильтр Калмана, построенный с использованием модели (13) и представлении объекта (12) в виде (15):
ˆ(k 1) ˆ(k) K (k)[x(k 1) G(k) ˆ(k) g(k)] , ˆ(0) 0 , (16)
K |
(k) P (k)G(k)T [G(k)P (k)G(k)T Q] 1 |
, |
(17) |
|
|
|
|
|
|
P (k 1) (E3 |
K (k)G(k))P (k) , P (0) P 0 . |
(18) |
||
Начальные условия для уравнения (16) следующие:
0ˆ (0) 0 .
0
Матрица P (0) диагональная (элементы матрицы приведены в табли-
це 3).
ЗАДАНИЕ
Построить графики переходных процессов, графики адаптивного управления и оценок неизвестных параметров. Исследовать влияние на качество идентификации диагональных элементов матрицы P 0 (увели-
чивая их в 10 и 100 раз), диагональных элементов матрицы Q (уменьшая из в 10 и 100 раз, при этом P 0 принимает исходное значение).
Также исследовать влияние на качество оценок параметров ограничений на управление. Сделать выводы.
11
Лабораторная работа № 5
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
В СЛУЧАЕ ДВУХ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ( b1 и b2 )
Для дискретной модели объекта |
|
|
x(k 1) A( )x(k) B( )u(k) q(k), |
x(0) x0 , |
(19) |
и заданного значения z синтезировать адаптивное управление.
В (19) вектор неизвестных параметров определить следующим соотношением:
|
1 |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
b |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
b1 |
|
|
||
Предполагается, что вектор является неизвестной константой. Выполнить моделирование системы (19), реализовав адаптивное
управление в предположении, |
что вектор |
x(k) контролируется точно |
|||||||||||||
без ошибок. Тогда адаптивное управление будет иметь вид: |
|
|
|
|
|||||||||||
u(k) (B |
T |
ˆ |
T |
ˆ |
|
1 |
B |
T |
ˆ |
|
T |
|
|||
|
( (k))F |
|
CFB( (k)) D) |
|
|
( (k))F |
|
||||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
(20) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
C(FA( (k))x(k) z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Диагональные элементы матрицы |
Q , |
весовые коэффициенты |
|||||||||||||
критерия C, |
D заданы в таблицах. Интервал времени: k 0,....,200 . |
||||||||||||||
В качестве алгоритма идентификации используется дискретный |
|||||||||||||||
фильтр Калмана: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , (21) |
|||||||
(k 1) |
(k) K (k)[x(k 1) G(k) g(k)] , (0) |
||||||||||||||
K |
(k) P (k)G(k)T (G(k)P (k)G(k)T Q) 1 , |
|
|
(22) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (k 1) (E2 K (k)G(k))P (k) , P (0) P 0 . |
(23) |
|||
Начальные условия для уравнения (4) следующие: |
|
|||
ˆ |
|
0 |
|
|
(0) |
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
Матрица P (0) диагональная и задана в таблице 3.
Определить матрицу G(x(k),u(k)) и вектор g(x(k),u(k)) . Учитывая, что 2-ая строка матрицы G(x(k),u(k)) нулевая, модифици-
ровать уравнения фильтрации (21 23). Эта модификация позволит вместо полного вектора x(k 1) в (21) использовать только 1-ю компонен-
ту этого вектора.
ЗАДАНИЕ
1. Построить графики переходных процессов, графики адаптивного управлений и оценок неизвестных параметров. Результаты моделирования выполнить для 2-х случаев:
а) без учета на ограничения; б) с учетом ограничений.
Сравнить качество оценок неизвестных параметров. Сделать вы-
воды.
2. Выполнить моделирование в предположении, что контроль за состоянием объекта осуществляется с ошибками. Модель системы контроля имеет вид:
y(k) Hx(k) (k) ,
где (k) гауссовская последовательность независимая от q(k) с характеристиками:
M{ (k)} 0, |
M{ (k) T ( j)} V k , j . |
|||
Матрица V диагональная, ее элементы заданы в таблице 2. Матрица |
||||
системы контроля следующая |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
H |
0 |
1 |
. |
|
|
|
|
||
13
Лабораторная работа № 6
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГОРИТМА ДВУХЭТАПНОЙ
ИДЕНТИФИКАЦИИ
Для дискретной модели объекта
x(k 1) A( )x(k) B( )u(k) q(k), |
x(0) x0 , |
(24) |
решить задачу адаптивного управления с использованием двухэтапного алгоритма идентификации.
Вектор неизвестных параметров определяется следующим соотношением:
1
b1
b2 .b1
Выполнить моделирование системы (24), реализовав адаптивное управление в предположении, что вектор x(k) контролируется с помощью следующей модели:
y(k) Hx(k) (k) ,
где (k) гауссовская случайная последовательность, независимая от q(k) , с характеристиками:
M{ (k)} 0, M{ (k) T ( j)} V k , j .
Матрица системы контроля равна
14
|
1 |
0 |
|
H |
0 |
1 |
. |
|
|
Для вычисления оценок вектора неизвестных параметров использовать алгоритм двухэтапной идентификации.
Адаптивное управление будет иметь вид:
|
|
u(k) [B |
T |
|
ˆ |
|
T |
|
ˆ |
1 |
B |
T |
ˆ |
|
|
|||||
|
|
|
( (k))F |
|
CFB( (k)) D] |
|
|
( (k)) |
|
(25) |
||||||||||
|
|
|
|
F |
T |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
C[FA( (k))xˆ(k) z], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Интервал времени: k 0,....,140 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Оценки векторов |
|
xˆ(k) |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
и (k ) определяются с помощью следу- |
|||||||||||||||||||
ющих формул: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xˆ(k |
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) A( (k))xˆ(k) B( (k))u(k) K f (k)[ y(k 1) |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
xˆ(0) |
x(0) , |
|
(26) |
|||||
|
|
H ( A( (k))xˆ(k) |
B( (k))u(k))] , |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Pf (k 1/ k) |
ˆ |
|
|
ˆ |
|
T |
Q , |
|
(27) |
|||||||
|
|
|
|
A( (k))Pf |
(k) A( (k)) |
|
|
|||||||||||||
|
|
K |
f |
(k) P (k 1/ k)H T [HP (k 1/ k)H T V ] 1 , |
|
(28) |
||||||||||||||
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pf (k 1) (E2 K f (k)H )Pf |
(k 1/ k) , |
Pf (0) Pf0 , |
|
(29) |
|||||||||||||||
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
, |
(30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(k 1) |
(k) K (k)[ y(k 1) HG(k) Hg(k)] , (0) 0 |
|||||||||||||||||||
K |
(k) P (k)G(k)T [G(k)P (k)G(k)T |
HQH T V ] 1 , |
|
(31) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (k 1) (E3 K (k)G(k))P (k) , P (0) P 0 , |
|
(32) |
||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(k) G(xˆ(k),u(k)) , g(k) g(xˆ(k),u(k)) . |
|
|
|||||||||||||||
Начальные условия для уравнения (30) следующие:
15
0ˆ (0) 0 .
0
Матрица P (0) диагональная (см. таблицу 3).
ЗАДАНИЕ
Построить графики переходных процессов, графики адаптивного управления и оценок неизвестных параметров. Исследовать влияние на качество идентификации диагональных элементов матрицы P 0 (увели-
чивая их в 10 и 100 раз), диагональных элементов матрицы Q и V (уменьшая из в 10 и 100 раз). Сделать выводы.
16
Лабораторная работа № 7
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ 3-го ПОРЯДКА
1. Для дискретной модели
x(k 1) Ax(k) Bu(k) q(k), |
x(0) x0 , |
(33) |
синтезировать локально-оптимальное управление. В (33) матрицы A и B следующие
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
exp( c) k |
0 |
|
0 |
|
|
B |
1 |
|
|
|
||
A |
n exp( c) |
|
1 k |
|
0 |
, |
0 |
, |
(34) |
||||
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn exp( c) k |
3 |
0 |
|
1 |
|
|
c |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Реализовать оптимальное управление:
u(k) (BT FT CFB D) 1 BT FT C(FAxˆ(k) z)) . (35)
Рассмотреть два варианта вычисления оценки xˆ(k) :
-с использованием фильтра Калмана,
-с использованием экстраполятора Калмана (с задержками на 1 и 2 такта).
Предполагается, что модель системы контроля имеет вид:
y(k) Hx(k) (k) , |
(36) |
где (k) гауссовская случайная последовательность, независимая от q(k) , с характеристиками:
M{ (k)} 0, M{ (k) T ( j)} V k , j .
Исходные данные, необходимые для решения задачи адаптивного управления следующие:
F (0 |
0 1), C 1, |
D 0,01 , r |
0,0062 , c 3,5 , c0 1 , |
|
|
17 |
|
n0 0,8 , k1 0,0001, k2 0,02, k3 0,05 ,
|
1 |
0 |
0 |
|
0,11 |
0 |
0 |
|
|
|
|
||
H 0 1 |
0 |
, |
Q |
0 |
0,08 |
0 |
|
|
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
|
0 |
0,095 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
200 |
|
|
|
|
190 |
|
V 0 |
3, 2 |
|
0 |
|
, x(0) |
110 |
, |
xˆ(0) |
|
100 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0,05 |
|
|
w |
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
Дополнительные данные, необходимые для выполнения работы, приведены в таблице 4.
ЗАДАНИЕ
Построить графики переходных процессов, графики оптимального управления и оценок вектора. Моделирование выполнить на интервале времени от 0 до 140 (один такт соответствует 1 дню). Сравнить качество систем управления.
Сделать выводы.
18
Лабораторная работа № 8
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ 3-го ПОРЯДКА
Для дискретной линейной модели |
|
|
x(k 1) A( )x(k) Bu(k) q(k), |
x(0) x0 , |
(37) |
решить задачу адаптивного управления. В (37) вектор неизвестных параметров определен следующим соотношением:
1 ,2
Предполагается, что вектор является неизвестной константой. В (37) матрицы A( ) и B следующие
1 1 exp( c) k1 |
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
||
A( ) |
exp( c) |
|
1 |
|
0 |
, |
B |
0 |
|
, |
(38) |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c exp( c) k |
3 |
0 |
|
1 |
|
|
c |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Предполагается, что модель системы контроля имеет вид:
y(k) Hx(k) (k) ,
где (k) гауссовская случайная последовательность, независимая от q(k) , с характеристиками:
M{ (k)} 0, M{ (k) T ( j)} V k , j ,
Определить матрицу G и вектор g , необходимые для реализа-
ции алгоритма двухэтапной идентификации (см. лабораторную работу № 6). Реализовать адаптивное управление фирмой:
u(k) (BT FT CFB D) 1 BT FT C(FA(ˆ(k))xˆ(k) z) . (39)
19
Исходные данные, необходимые для решения задачи адаптивного управления следующие:
F (0 |
0 |
1), |
C 1, |
D 0,01 , |
r |
0,0062 , |
c 3,5 , c0 |
1 , |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
k1 0,0001, k3 |
0,05 , |
|
|
|
|
|||||
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0,11 |
0 |
|
|
0 |
|
2,1 0 |
0 |
|
||
H 0 1 |
0 |
, Q |
0 |
0,08 |
|
0 |
, V |
0 |
3, 2 |
0 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0,095 |
0 |
0 |
0,05 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
200 |
|
|
190 |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
, |
|
|
110 |
|
, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
x(0) |
|
xˆ(0) 100 |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
w0 |
|
|
|
w0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При моделировании истинные значения 1 |
и 2 k2 |
принять следую- |
||||||||||||||
щие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0,8 , 2 |
0,02 . |
|
|
|
|
||||
Дополнительные данные, необходимые для выполнения работы, приведены в таблице 4.
20