МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики»

Кафедра «Теория вероятностей и прикладная математика»

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»

Лабораторная работа 2

Выполнил:

студент группы БСТ21

Проверила:

доц. Смирнова Н. И.

Москва, 2022 г.

Задание 1

С помощью критериев согласия Пирсона и Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка из задания 2 лабораторной работы 1 имеет нормальное распределение.

Задание 2

Для выборки из задания 2 лабораторной работы 1 найти интервальные оценки параметров нормального распределения.

Решение задания 1

Дано:

Вар	18
1	1,46
2	1,27
3	1,58
4	0,68
5	0,86
6	1,98
7	0,33
8	0,45	18	1,27
9	0,74	19	1,14
10	0,03	20	1,89
11	0,99	21	0,67
12	0,24	22	0,96
13	0,57	23	0,67
14	1,22	24	0,98
15	0,68	28	0,78
16	1,0	29	1,16
17	0,81	30	4,44

	[-0.34,0.4)	[0.4,1.14)	[1.14,1.88)	[1.88, 2.62)	[2.62, 3.36)	[3.36, 4.44)
	3	15	9	2	0	1
	0.1	0.5	0.3	0.06	0	0.03
	0.14	0.68	0.41	0.09	0	0.04
ti	0.03	0,77	1.51	2.25	2.99	3.9

Проверим при уровне значимости α = 0,01 гипотезу H₀

Объединим интервалы с малыми (частоты меньше 5) частотами. Получим следующий ряд распределения:

	[-0.34,0.54)	[0.54,0.99)	[0.99, 1.27)	[1.27, 4.44)
	6	12	7	5
	0,2	0,4	0,23	0,17
ti	0,1	0,765	1,13	2,855

Выборочное среднее:

Выборочная смещённая дисперсия:

– Выборочная смещённая дисперсия

	[-0.34,0.54)	[0.54,0.99)	[0.99, 1.27)	[1.27, 4.44)
	6	12	7	5
ti	0,1	0,765	1,13	2,855
	0,93	0,09	0,0042	3,2

Выборочное стандартное отклонение:

p₁ =

p₂ =

p₃ =

p₄ =

	[ ,0.72)	[0.72,1.14)	[1.14, 1.45)	[1.45, )
ni	6	12	7	5
ni′ = npi

Количество степеней свободы определяется по формуле: k = m – r – 1, где m – количество интервалов (4), r – количество оцениваемых параметров рассматриваемого закона распределения (2).

k = 4 – 2 – 1 = 1

Зная, что α = 0,01 и k = 1, по таблице находим

При H₀ отвергается, а при таких оснований нет.

> поэтому H₀ о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем.

Критерий согласия Колмогорова:

D_n = max{0,0276; 0,1326; 0,1745} = 0,1745

При D_n > D₀ H₀ отвергается, при D_n < D₀ нет оснований отвергать гипотезу H₀.

0,1745 < поэтому гипотеза принимаем.

Расчет Excel

Критерий Пирсона

Критерий Колмогорова

Решение задания 2

Параметры нормального распределения: математическое ожидание и стандартное отклонение.

Математическое ожидание MX =

Дисперсия

Для математического ожидания:

α = 1 – γ = 0,01  γ = 0,99

Для γ = 0,99 и 29 (n – 1) степеней свободы по таблицам распределения Стьюдента находим t_{α, n – 1} = 2,756.

Следовательно, доверительный интервал запишем в виде:

ИЛИ

Для стандартного отклонения:

α = 1 – γ = 0,01  γ = 0,99  = 2,58

Подставим и получим:

Расчет в Excel

Интервальные оценки параметров

Вывод:

С помощью критериев согласия Пирсона и Колмогорова проверил гипотезу о том, что выборка из задания 2 лабораторной работы 1 имеет нормальное распределение. Для выборки из задания 2 лабораторной работы 1 нашел интервальные оценки параметров нормального распределения.