Кванты муравьев 1сем

Модуль 1: Основные принципы квантовой механики Лекция 1-5. Постулаты квантовой механики (продолжение)

Остановимся теперь на утверждениях, которые можно назвать основными принципами

новой функцией частицы и определяет вероятности измерений различных значений координа-

ты. А именно, при измерении координаты этой частицы могут быть получены любые значения,

результаты многократных измерений не совпадают, вероятность того, что при измерении коор-

Отметим, что нормировочный интеграл можно записать в виде скалярного произведения

2. Принцип суперпозиции. Если некоторая квантовая система может находиться в двух состояниях с волновыми функциями 1(x,t), 2 (x,t) (в зависимости от предыстории), то су-

перпозиция этих состояний с произвольными коэффициентами:

= C1 1 C2 2

—есть волновая функция возможного состояния системы. Принцип суперпозиции говорит о том, что множество волновых функций всех возможных состояний квантовой системы образует линейное пространство (пространство состояний).

Будем предполагать, что в нашем пространстве определена операция скалярного произ-

ведения для любых его элементов. Тогда нормировочный интеграл от волновой функции можно записать как скалярное произведение волновой функции на саму себя

Кроме того, из принципа суперпозиции следует, что уравнение для волновых функций возмож-

ных состояний квантовой системы должно быть линейным.

1

3. Каждой наблюдаемой физической величине A в квантовой механике ставится в соот-

ветствие некоторый линейный эрмитов оператор, который действует в пространстве состояний квантовой системы, причем наблюдаемыми в эксперименте значениями этой физической вели-

которыми, как это следует из предыдущего постулата, могут быть только собственные значения

Смысл этого утверждения заключается в следующем. Как известно, собственные функ-

ции любого эрмитового оператора образуют полную систему функций. Это значит, что любая функция и, в частности, волновая функция квантовой системы может быть разложена по соб-

ственным функциям оператора физической величины A , то есть может быть представлена в ви-

де

представлена с нулевым коэффициентом), то вероятность обнаружить при измерении наблюда-

емой величины A в состоянии с волновой функцией (x,t) , что A ak , равна нулю ( ak — соб-

ˆ ственное значение оператора A , соответствующее собственной функции fk ). Отметим, что со-

вокупность величин {cn} имеет смысл, аналогичный смыслу волновой функции, но определяет

2

где ˆ — оператор, отвечающий энергии этой системы (оператор Гамильтона или гамильтони-

H

ан).

В этой системе утверждений содержится ответ на любой вопрос, касающийся микромира: есть такая-то квантовая система в таких-то условиях. Измеряют такую-то величину. Какие значения можно получить в результате многих измерений и с какими вероятностями?

1.Для данной системы построить гамильтониан. Для этого достаточно оператора импульса (постулат № 5) и логики других постулатов.

2.Решить уравнение Шрединегера. Его решения дадут пространство состояний. Выбрать нужное (используя те условия, в которых находится система)

3.Построить оператор исследуемой величины (из постулата № 5 и логики других постулатов)

4.Решить уравнение на собственные значения и собственные функции этого оператора в пространстве состояний.

5.Совокупность собственных значений даст возможные наблюдаемые значения исследуемой величины.

6.Разложить волновую функцию состояния квантовой системы по этой системе функций. Квадраты коэффициентов разложения дадут искомые вероятности.

3

Модуль 1: Основные принципы квантовой механики Лекция 1-6. Простейшие следствия постулатов

Рассмотрим простейшие математические и физические следствия постулатов.

(1) Поскольку собственные функции эрмитовых операторов, отвечающих различным собствен-

С использованием определения скалярного произведения это равенство можно записать как скалярное произведение собственной функции оператора на волновую функцию состояния квантовой системы

откуда и следует данное утверждение. Можно провести доказательство и в обратную сторону:

если условие (4) выполнено для какой-то системы функций, — она базисная.

(4) Среднее значение результатов многих измерений физической величины A определяется со-

отношением, которое называется квантовомеханической формулой для средних

1

Для коэффициентов используем формулу проекции волновой функции на базисное состояние

Это равенство можно записать через скалярное произведение волновой функции квантовой си-

стемы на результат действия на эту функцию оператора физической величины

ˆ A = , A

(5) Если волновая функция квантовой системы (x) совпадает с одной из собственных функ-

ций оператора некоторой физической величины, то при измерении этой физической величины в таком состоянии с достоверностью будет получено единственное значение. Это значит, что дан-

ная физическая величина имеет определенное значение в таком состоянии.

должна быть собственное и для оператора величины A2 , а собственное значение должно быть равно квадрату собственного значения оператора величины A . Именно таким и является опера-

2

3

Модуль 1: Основные принципы квантовой механики Лекция 1-7. Непрерывный спектр. Оператор координаты

Все вышеприведенные утверждения буквально сформулированы для операторов, имею-

щих дискретный спектр собственных значений. Для операторов с непрерывным спектром соб-

ственных значений все, сказанное выше, остается в силе, с некоторыми дополнениями и изме-

Поскольку левую часть мы всегда можем сделать конечной соответствующим выбором раскла-

дываемой функции из нашего пространства (x) , то конечен и интеграл в правой части, и по-

тому собственные функции дискретного определяют состояния финитного движения (вероят-

ность обнаружить частицы на бесконечности равна нулю) и могут быть нормированы на едини-

цу.

где C(a) — функция непрерывной переменной a , которую мы тоже будем называть коэффици-

ентами разложения. Умножая разложение (1) на функцию fa* (x) , интегрируя и меняя в правой части полученного равенства порядок интегрирований, получим

1

В правой части под интегралом по a находится функция отличная от нуля только в одной точке

— при a a (из-за ортогональности собственных функций). Поэтому чтобы правая часть была

отлична от нуля, нужно чтобы интеграл

коэффициентов разложения волновой функции по системе собственных функций коэффициен-

ты разложения по функциям непрерывного спектра имеем из (2)

(нормированные функции дискретного спектра имеют размерность fn ( x) 1/ дл ). Поэтому и коэффициенты разложения C(a) — размерны (в отличие от коэффициентов разложения по

функциям дискретного спектра) и имеют размерность

стояний непрерывного спектра — в любом малом интервале значений da содержится бесконеч-

рывный спектр собственных значений, любое заданное число a равно нулю. Поэтому постулат

4 о связи вероятности и коэффициентов разложения волновой функции по системе собственных функций непрерывного спектра должен быть модернизирован. Можно говорить только о веро-

ятности dw(a a da) обнаружить значение a в некотором интервале da , которая равна

2

Эту формулу можно получить, рассматривая дискретный, но очень «плотный» спектр собствен-

ных значений оператора ˆ , и пользуясь теоремой сложения вероятностей. A

Условие полноты функций непрерывного спектра также модифицируется. Подставляя в разложение (1) выражение для коэффициентов C(a) , получим

(x) = C(a) fa ( x)da dx fa*( x ) ( x ) fa ( x)da dx ( x ) dafa*( x ) fa ( x)

Чтобы это равенство имело место, необходимо чтобы интеграл по a в правой части сводился к

-функции: dafa* (x ) fa (x) (x x )

Это условие и представляет собой условие полноты системы собственных функций непрерыв-

ного спектра.

Для собственных функций непрерывного спектра меняется и постулат номер 1 о вероят-

ностной интерпретации волновой функции. Действительно, раз эти функции не нормируются,

то квадрат модуля такой функции не может определять вероятности различных значений коор-

динаты. Квадрат модуля такой функции определяет относительную плотность вероятности, т.е.

Более подробно ненормируемые функции будут рассматриваться в лекции, посвященной про-

хождению потенциальных барьеров.

3

Модуль 1: Основные принципы квантовой механики Лекция 1-8. Непрерывный спектр. Оператор координаты (продолжение)

Установим теперь оператор координаты частицы. С одной стороны, согласно постулату 1 (о вероятностном смысле волновой функции) среднее значение результатов многих измерений координаты частицы определяется соотношением

С другой стороны, согласно квантовомеханической формуле для средних для среднего значения

координаты имеем

т. е. действие оператора координаты на любую функцию сводится к умножению этой функции на координату.

Уравнение на собственные значения для оператора координаты дает

имеет следующее ненулевое решение (т. е. тождественно не равную нулю функцию) для любо-

го действительного a

где C — произвольное число. Чтобы функции (7) позволяли раскладывать любую функцию,

для них должно быть выполнено условие нормировки (3). Поэтому константа C в (7) должна

Действительно, в этом случае для таких функций выполняется условие (3):

(x a) (x a )dx (a a )

При таком выборе постоянных система собственных функций оператора крррдинаты является полной, и позволяет разложить любую функцию

(x) = C(a) fa (x)da C(a) (x a)da C(a) (a)

1