2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Лекции / 3 (1)

3. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

3.1. Основные определения

При качественном рассмотрении процессов в нелинейных системах удобно использовать геометрическое представление, основанное на понятии фазового пространства. Термин фаза обозначает стадию, состояние рассматриваемого процесса. Поэтому вместо фазового пространства можно говорить о пространстве состояний.

Фазовое пространство – это пространство в прямоугольной системе координат Xi, которыми являются величины, определяющие состояние системы. В общем случае у системы n-го порядка таких координат будет n. Ими могут быть, например, выходная величина системы и ее (n 1) производных, n выходных величин отдельных звеньев системы или других связанных с ними переменных, которые в совокупности полностью определяют состояние системы. Для системы второго порядка фазовое пространство двухмерное, т. е. представляет собой фазовую плоскость, а для систем третьего порядка фазовое пространство представляет собой трехмерное геометрическое пространство. При более высоком порядке n это соответственно n-мерное пространство.

Состоянию системы в каждый момент времени, определяемому значениями ее n координат, соответствует определенная точка фазового пространства. Эта точка называется изображающей точкой. На рис. 3.1, где для наглядности показано трехмерное фазовое пространство, она обозначена M(t).

При изменении состояния системы изображающая точка будет перемещаться, описывая траекторию, которая называется фазовой траекторией. Фазовая траектория дает полное представление о характере процесса в системе, кроме его временной оценки, поскольку время здесь из рассмотрения исключено.

54

переменные – текущее значение координаты x1 и производную от этой координаты по времени x2 dx1/dt. Фазовый портрет такой системы изображается на плоскости, имеющей две координатные оси

(рис. 3.2).

Рис. 3.2. Фазовая плоскость

При x2 0 координата x1 возрастает, при x2 0 – убывает. Следовательно изображающая точка будет двигаться, вращаясь вокруг начала координат фазовой плоскости по часовой стрелке. При x2 0 фазовые траектории пересекают ось x1 под прямым углом, т. к. в этих точках координата x1 имеет экстремум. Между собой фазовые траектории пересекаются только в особых точках. Особыми точками называются точки, соответствующие состоянию равновесия системы, например x1 0, x2 0.

Пусть переходный процесс в некоторой линейной системе описывается дифференциальным уравнением второго порядка

56

Исключим из уравнений (3.2) время t, разделив первое из них на второе (при x 0 и y 0):

Решение y (x) этого дифференциального уравнения с одной произвольной постоянной определяет собой некоторое семейство так называемых интегральных кривых на фазовой плоскости (x, y), каждая из которых соответствует одному определенному значению произвольной постоянной.

Вся совокупность интегральных кривых представит собой все возможные фазовые траектории, а значит, и все возможные виды переходного процесса в данной системе при любых начальных условиях.

Сделаем в последнем уравнении замену переменных y zx. Дифференцируя это выражение, имеем

На основании двух последних дифференциальных уравнений (3.3) и (3.4) получаем уравнение с разделяющимися переменными

Разлагая знаменатель левой части на множители, находим

где p1 и p2 – корни характеристического уравнения

Вид семейства фазовых траекторий зависит от типа корней p1 и

p2.

Рассмотрим отдельно различные случаи. Уравнению (3.6) соответствуют корни характеристического уравнения

причем возможны шесть случаев:

1) корни чисто мнимые a1 0, a2 0 (колебательная граница устойчивости линейной системы);

57

2) корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части a12 4a2, a1 0, a2 0 (устойчивая линейная система);

3)корни комплексные и имеют положительные вещественные части при a12 4a2, a1 0, a2 0 (неустойчивая линейная система);

4)корни вещественные отрицательные a12 4a2, a1 0, a2 0 (устойчивая линейная система);

5)корни вещественные положительные a12 4a2, a1 0, a2 0 (неустойчивая линейная система);

6)корни вещественные и имеют разные знаки при a2 0

(неустойчивая линейная система); в частности, один из корней будет

Интегрируя это уравнение, находим

1ln(z2 ω2) ln x C. 2

Обозначая постоянную C ln(ωA) получаем уравнение семейства эллипсов

Для фазовой плоскости уравнения (3.8) представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями A и ωA (рис. 3.3, б). Уравнение эллипса можно получить непосредственным решением дифференциального уравнения фазовых траекторий (3.3) при a1 0 и

a2 ω2, причем A – произвольная постоянная интегрирования.

58

Значения x и y не возвращаются за период колебания к прежним, а становятся меньше. Это дает на фазовой плоскости (x, y) кривую (рис. 3.4, б), которая за один оборот не возвращается в прежнюю точку M0, а подходит ближе к началу координат.

Итак, затухающим колебаниям системы (рис. 3.4, а) отвечают фазовые траектории в виде спиралей, по которым изображающая точка приближается к началу координат (рис. 3.4, б).

Случай 3. Этот случай (комплексные корни с положительными вещественными частями) соответствует расходящимся колебаниям (рис. 3.5, а). Рассуждая аналогично предыдущему, получим всю совокупность возможных фазовых траектории тоже в виде спиралей, но только изображающая точка будет двигаться по ним не к началу координат, а от него (рис. 3.5, б).

а б

Рис. 3.5

Случай 4. Этот случай (вещественные отрицательные корни) соответствует апериодическому процессу

где

α1,2 a1 a12 a2.

2 4

На рис. 3.6, а показаны два возможных варианта (кривые 1 и 2) протекания такого процесса. Легко видеть, что на фазовой плоскости (x, y) это изобразится кривыми 1 и 2 соответственно (рис. 3.6, б), так как в первом варианте все время x 0 и y 0, а во втором варианте

60

знаки x и y меняются по одному разу. Границы областей 1 и 2 представляют собой прямые y α1x и y α2x, получающиеся из уравнений (3.11) соответственно при α2 0 и при α1 0 (обращение одного из корней в нуль).

а б

Рис. 3.6

В отличие от прежнего здесь все фазовые траектории вливаются непосредственно в начало координат 0 фазовой плоскости. Однако изображающая точка M не попадает в начало координат в конечное время, а приближается асимптотически.

Итак, затухающим апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории, вливающиеся в начало координат.

Случай 5. Этот случай (вещественные положительные корни) соответствует также апериодическому процессу, определяемому теми же уравнениями (3.5), но при α1 0 и α2 0. Аналогично предыдущему получаем кривые процесса и фазовые траектории, изображенные на рис. 3.7.

61