Добавил:

FearlessUnicode Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дальневосточный федеральный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

8.1234+9

.1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.12.2022

Размер:

158.35 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

ИДЗ 8.1.

Найти неопределенные интегралы (в заданиях 1-5 результаты интегрирования проверить дифференцированием).

1.20.

																																					4																									1
		3x4 3 x2 1																															2				4					1										x3					1					1		1
															2								dx					3x						x			3							dx 3																x		3			C
												x			2								dx					3x						x			3					x	2	dx 3									3					1		x		3		x	C
												x																														x											3					1						x
																																																										3
																																																										3
x3													3							1 C,						где C const
											3					x				x
Проверка:
																																									1
				3							3							1													3										1
				3							3							1													3											3				1
x										3				x					x		C					(x						)				3	x							(x				)		(C)
														x					x
																										4
									2												1					4													2								2						1					1			3x4		3 x2 1
3x													3											x		3 1 ( 1) x																0 3x
																					3																																				x2							x2
																																																			3 x4
																																																			3 x4
Получена исходная подынтегральная функция, таким образом, интеграл найден
правильно.
2.20.
								dx																		1																		2
								dx									(3 x)									3 d(3 x)												3 (3 x)3 C
		3
		3				3 x
						3 x																																2
			3 3								(3 x)2															где C const
											2											C,				где C const
											2
Проверка:
																																						2																					1
	3							3		(3				x)					2									3										2										3 2											1
	3									(3				x)														3										3										3 2											3
																					C											(3 x)																						(3		x)
											2										C							2				(3 x)										(C)						2					3	(3		x)				(3 x)
											2																	2																				2					3
									1								(0 1)											1
			3																						3
			3					3 x																	3		3 x
Получена исходная подынтегральная функция, таким образом, интеграл найден
правильно.
3.20.
						dx													1				d(6 3x)													1				6 3x					C,				где C const
																			3					6 3x												3 ln
		6 3x
		6 3x
Проверка:
					1																									1																							1			1
																																	ln

									ln			6 3x									C														6 3x
					3				ln			6 3x									C									3					6 3x							(C)											3		6	3x			(6 3x)
													1																				1

																				(0 3)
							3(6 3x)													(0 3)									6 3x

Получена исходная подынтегральная функция, таким образом, интеграл найден правильно.

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

4.20.

cos(3x 7)dx																1			cos(3x 7)d(3x 7)																						1 sin(3x 7) C,											где C const
Проверка:																3																									3
Проверка:
1																					1																					1
1			sin(3x							7) C											1																					1
			sin(3x							7) C											3	sin(3x 7)															(C)					3		cos(3x 7) (3x 7)
3																					3																					3
		1 cos(3x 7) (3 0) cos(3x 7)
	3
Получена исходная подынтегральная функция, таким образом, интеграл найден
правильно.
5.20.
				dx								1							d(2						x)								1							d(2					x)				1 1						2		x
				dx								1							d(2				2		x)								1							d(2			2		x)				1 1						2	2	x


	8x				2		9			2 2							(2 2x)							2	9							2 2							(2 2x)				2			2			2 2			3	arctg		3			C
	8x						9			2 2							(2 2x)								9							2 2							(2 2x)						3				2 2			3			3
			1								2							x
			1								2					2		x
									arctg										C,						где				C const
									arctg										C,						где				C const
	6					2								3
	6					2								3
Проверка:

			1								2 2x																		1										2 2x													1			1				2 2x



								arctg					3							C							6 2							arctg							3					(C)					6 2				2 2x			2	3	0
6 2													3														6 2														3										6 2				2 2x				3
																																																						1
																																																							3
																																																							3
			1							1						2						1							9										1
			1							1										2		1							9										1
											8x2									2		9				9 8x2											8x2 9
	6 2								1		8x2						3					9				9 8x2											8x2 9
									1			9
												9
Получена исходная подынтегральная функция, таким образом, интеграл найден
правильно.
6.20.
				xdx						1			d(3x2 6)														1			3x					2				C,			где C const
				xdx						1			d(3x2 6)														1								2
										6					3x2					6							6 ln									6
	3x2 6																																			6
	3x2 6
7.20.
					dx							1										d(						x)											1									x
					dx							1										d(					3	x)											1								3	x


				8 3x2									3							(2				)2 (										x)2					3		arcsin					2 2				C,
				8 3x2									3							(2		2		)2 (							3			x)2					3							2 2
где C const
8.20.										1																			1 e6 x 4
e6 x 4dx										1		e6 x 4d(6x 4)																	1 e6 x 4									C,			где C const
										6																			6
9.20.
ln3 (x 5)dx ln3 (x 5)d(ln(x 5)) ln4 (x 5) C,																																							где C const
					(x 5)																																					4

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

10.20.

cos5xdx (*)

sin3 5x

Проведем замену:

t sin 5x dt 5cos5xdx cos5xdx dt

(*) 1

1 t 2 dt

1 ( 2) t

где C const

sin 5x

11.20.

ctg4xdx

(*)

sin2 4x

Проведем замену:

4dx

t ctg4x dt

sin2 4x

ctg

(*) 1

t 2 dt

2 t 2

где C const

12.20.

d(arctgx)

arctgx C,

где C const

(1 x2 )

arctgx

13.20.

e5 2 x2 xdx (*) Проведем замену:

t5 2x2 dt 4xdx xdx dt4

(*)14 et dt 14 et C 14 e5 2 x2 C, где C const

14.20.

	(2x 4)dx					d(x2 16) 4dx				d(x			2 16)		4		dx
	x	2	16			x	2	16			x	2	16			x	2	4	2

			2		4		x			2					x
ln(x				16)		arctg			C ln(x		16)			arctg				C,где C const
					4											4
								4

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

ИДЗ 8.2.

Найти неопределенные интегралы

1.20.

	1 3x							3 d(4x2 1) dx					3		d(4x2 1)					1		d(2x)
						dx		8									2
	4x		2	1		dx			4x	2	1		8			4x	2	1		2		(2x)	2	1
	4x			1					4x		1		8			4x		1		2		(2x)		1
3 ln					4x2 1			1	1 ln		2x 1	C		3 ln		4x2 1			1 ln		2x 1			C, где C const


											2x 1										2x 1
	8							2	2					8					4
	8							2	2					8					4
2.20.
	e2 xdx						(*)

		e2 x 3

Проведем замену:

te2 x 3 dt 2e2 xdx e2 xdx dt2

(*)12 dtt 12 2t C e2 x 3 C, где C const

3.20.

	(x3				1)dx						x(x2				1) x 1															x							1
																					dx x																				dx
			x		2			1							x	2	1				dx x								x	2	1				x	2		1			dx
			x					1							x		1												x		1				x			1
xdx									1	d(x2 1)									dx				x2				1	ln(x			2	1) arctgx C, где C const
xdx									2	x		2	1					x	2	1			2				2	ln(x				1) arctgx C, где C const
									2	x			1					x		1			2				2
4.20.
sin2 3xdx 1 cos6xdx																				1 dx						1	cos6xdx								x		1				1 sin 6x C
sin2 3xdx 1 cos6xdx																				1 dx						2	cos6xdx										1				1 sin 6x C
		x						1						2						2						2								2			2				6
		x						1	sin 6x C,						где C const
							12		sin 6x C,						где C const
	2						12
5.20.																																								ctg3xdx					cos3xdx
				3									2										1																	ctg3xdx					cos3xdx
ctg						3xdx ctg								3xctg3xdx														1 ctg3xdx														2
ctg						3xdx ctg								3xctg3xdx										2		3x		1 ctg3xdx													sin	2	3x		sin 3x
																						sin				3x															sin		3x		sin 3x
			1		ctg3xd(ctg3x)												1	d(sin 3x)							ctg2 3x								1 ln						sin 3x			C,		где C const
			1		ctg3xd(ctg3x)												1	d(sin 3x)							ctg2 3x								1 ln						sin 3x			C,		где C const
			3														3			sin 3x									6				3
			3														3			sin 3x									6				3

6.20.

cos 2xdx dx (*) sin4 2x

Проведем замену:

t sin 2x dt 2cos 2xdx cos 2xdx dt
	dt		1				1	1			2		1
(*)				t	4	dt			t	3	C					C,	где C const
	2t	4	2				2	( 3)				6sin		3	2x

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

7.20.

																																																																																d					3
						dx									1													dx												1																		dx																1						d	x				4
						dx									1													dx												1																		dx																1											4
																2																								2																																		2
	2x2 3x 2															2							x	2				3			x									2				x				2							3				x					9				25						2								3 2					5 2
																																			1															2																											x
																												2							1															2					4									16				16									x
																												2																											4									16				16														4					4
	1				1							x			3								5			C 1 ln													x 2																		1 ln							2x 4
															3								5
										ln					4								4																										C																					C,					где C const
					2 5					ln					3								5																										C															2x 1						C,					где C const
	2											x			3								5									5								x				1													5
	2											x			4								4									5								x				2													5
8.20.					4										4								4																					2
8.20.						dx													1												dx																	1																		dx
						dx													1												dx																	1																		dx

		2x2 x 3																			2							x2					x					3											2						x2 2										1 x						1				23
		2x2 x 3																										x2									2																		x2 2										1 x					16					16
																																2					2																												4					16					16
																		1
										d		x
	1									d		x					4														1										1																		x					3
	1																4														1			ln		x					1												x	2					x					3		C, где									C const
																																								4																								2
																																																										2
				2									1 2										23									2																										2
									x					4									16
														4									16
9.20.																					1 d(3 x 2x2 )																							1 dx
	(2x 1)dx																				1 d(3 x 2x2 )																							1 dx												1						d(3 x 2x2 )																1							dx
																					2																							2																														2
	3 x 2x										2																3 x 2x												2																	2								3	x 2x									2				4				x2				x				3
	3 x 2x																										3 x 2x																													2								3	x 2x													4				x2								2
			1																					1																		dx																																											2					2
							3 x 2x												2
																			2
				2 ln																				4
																													x2 2 1 x																	1								3						1
																																														1								3						1
																																													16									2
																																			4										16									2			16
																																d									1																																																1			5
																																									1																																																1			5
			1																					1											x						4															1																				1				1					x				4
							3 x 2x												2																																												3 x 2x									2																				4
																			2																																																					2																				4
				2 ln																				4											1 2									5 2												2 ln																				4			2		5		ln		x				1			5
				2 ln																				4											1 2									5 2												2 ln																				4					5		ln						1			5
																													x																																																				4								4			4
																																			4									4
																																			4									4
																																			3
																																			3
				1 ln			3 x 2x												2						1			ln			x 2													1 ln								3 x 2x2																1		ln			2x 3							C,				где C const


																															x 1																																										2x 2
			2																					10																				2																							10
			2																					10																				2																							10
10.5.
10.5.																				1 d(4x2 x 5)																							65 dx
			(x 8)dx																	1 d(4x2 x 5)																							65 dx												1					d(4x2 x 5) 65																									dx
																				8																							8												4																				16

		4x2 x 5																												4x2 x 5																															2 4x2 x 5																						x	2				x			5
																																																																																			x					4			4
																																																																																								4			4
																																																																																											1
	1																				65																			dx																						1																65							d x
																																																																																											8
								2																																																												2																							8
	4					4x				x 5											16																																									4			4x				x 5									16

																														x	2				2		1				x							1						81																																			1 2				81
																																																																																				x
																																					8								64									64																														x					8				64
																																					8								64									64																																			8				64

	1																					65 ln						x				1								x2							x				5
	1					4x2 x 5																										1															x								C,									где C const
	4					4x2 x 5																										8																							C,									где C const
	4																				16											8																4					4

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

ИДЗ-8.3.

Найти неопределенные интегралы

1.20.

		9 x2 dx								(*)
				x4																		9						9																	9										3

Проведем замену: t2																								1;						t2				1 x2													; x
Проведем замену: t2																								1;				x2		t2				1 x2										t2 1			; x
																						x2						x2																t2 1									t2 1

																							9t2 9 9														3t
																9
	9 x2 9															9
														t	2 1										t2 1
																																				t2 1
																																				t2 1
2tdt 18dx											dx									1 tdt
							x3									x3					9
							3t											1
																				tdt																																									3
																		9		tdt						1									1			t	3							1					9			x				2			3
						t	2		1																														3																			2
(*)						t			1																		t		2	dt											C																				C
(*)													3													9	t			dt					9			3			C					27								x							C
													3

												t2 1
												t2 1
			1				(9 x2 )3													C,		где C const
			27							x3										C,		где C const
			27							x3
2.20.					dx
					dx												(*)
	(x 1)
	(x 1)						x2 x 1
Замена:						dx dt ;
x 1				1		dx dt ;															x				1	1
				t														t2							t
																dt
(*)													t2																							dt																dt										dt

				1					1					2						1										t		1					2	1					1				t	1						3		1						t2 3t 1
				t									1							t	1 1									t		t	2				t	1					t				t		t	2					t	1
				t				t												t												t					t						t						t						t
																																		d						3
														dt																				d	t					2
														dt																										2

						2		2					3		t					9					9												3 2						5
				t				2					2		t					4	1				4								t				2						4
													2							4					4												2						4
						3																									1							3
																																												1							3
ln				t					t2							3t 1						C ln																						1							3				1				C
ln				t		2			t2							3t 1						C ln									x 1							2					(x 1)2						x 1						1				C
						2																									x 1							2					(x 1)2						x 1

ln				1							3								1 3x 3 x2 2x 1																		C					ln				1				3							x2 x 1					C,

				x			1				2												(x 1)2																						x 1					2										x	1
				x			1				2												(x 1)2																						x 1					2										x	1

где C const

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

5.20.

(x2 3)cos xdx (*)

Дважды интегрируем по частям: u x2 3 du 2xdx

dv cos xdx v sin xudv uv vdu

(*) (x2 3)sin x 2 xsin xdx (*) u 2x du 2dx

dv sin xdx v cos x

(*) (x2 3)sin x 2xcos x 2 cos xdx (x2 3)sin x 2xcos x 2sin x C(x2 5)sin x 2xcos x C, где C const

6.20.

(x 8)sin 3xdx (*)

Интегрируем по частям: u x 8 du dx

dv sin 3xdx v 13 cos3x

udv uv vdu

(*) 13 (x 8)cos3x 13 cos3xdx 13 (x 8)cos3x 19 sin 3x C, где C const

7.20.

x cos(x 4)dx (*)

Интегрируем по частям: u x du dx

dv cos(x 4)dx v sin(x 4)

udv uv vdu

(*) xsin(x 4) sin(x 4)dx xsin(x 4) cos(x 4) C, где C const

8.20.

ln(x 8)dx (*) Интегрируем по частям:

u ln(x 8) du			dx
u ln(x 8) du			x 8
dv dx v x			x 8
dv dx v x
(*) xln(x 8)		xdx		xln(x 8)	(x 8 8)dx
(*) xln(x 8)	x 8			xln(x 8)	x 8
	x 8				x 8
			8
			8
xln(x 8) 1				dx xln(x 8) x 8ln		x 8	C,	где C const
xln(x 8) 1				dx xln(x 8) x 8ln		x 8	C,	где C const
		x 8
		x 8

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

ИДЗ-8.4.
1.20.
	6x2dx	6x2dx	(*)
	(x 1)(x2 3x 2)	(x 1)(x 1)(x 2)

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

6x2

x 1

x 2

(x 1)(x 1)(x

A(x 1)(x 2) B(x 1)(x 2) C(x 1)(x 1) 6x2

A(x2 3x 2) B(x2 x 2) C(x2 1) 6x2

A B C 6

C 6 A B

6A 6; A 1; B 3;C 8

3A B 0

2A 2B C 0

3A B 6

(*)

dx ln

3ln

x 1

8ln

x 2

C, где

C const

2.20.

x 1

x 2

2x 1)dx

2x 1

x 3x22 2x 1dx (*)

x(x 1)

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

3x2

2x 1

x2 (x 1)

A(x2 x) B(x 1) Cx2 3x2 2x 1

A C 3

2 B 1; A 1;C 2

A B

B 1

(*) x

dx x ln

2ln

x 1

где C const

x 1

3.20.

(19x x2 34)dx

(*)

(x 1)(x2

4x 13)

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

A		Bx C		19x x2	34
x	1	(x2 4x	13)	(x 1)(x2	4x 13)

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

A(x2 4x 13) B(x2

x) C(x 1) 19x x2 34

A B 1

B A 1

18A 54

4A B C 19

5A C

13A C 34

A 3; B 2;C 5

2x 5

d(x

4x 13) 9dx

(*)

dx 3

4x 13)

x 1

4x 13)

x 1

3ln

x 1

d(x2 4x 13)

4x 13)

4x 4 9)

3ln

x 1

ln(x

4x 13) 9

d(x 2)

(x 2)

3ln

x 1

ln(x

4x 13) 3arctg

x 2

где C const

4.20.

(4x2 2)dx

(4x2

2)dx

(*)

x4 x2

x2 (x2 1)

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Cx D

4x2 2

(x2 1)

x2 (x2 1)

Ax(x2 1) B(x2 1) (Cx D)x2 4x2 2

A(x3 x) B(x2 1) Cx3 Dx2 4x2 2

A C 0

B D

A 0; B 2;C 0; D 2

A 0

B 2

x 1

(*)

2 2

где C const

x 1

5.20.

x 4dx (*) x

Проведем замену:

x 4 t2 dx 2tdt

x t2 4

2t2dt

2(t2 4) 8

(*)

t 2tdt

dt 2 dt 8

t 2

C 2

2ln

x 4

где C const

x 4

2 2

t 2

x 4 2

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

6.20.

1)dx

3x 1

(*)

3x 1

Проведем замену:

3x 1 t6 3dx 6t5dt dx 2t5dt

(*)

(t 1) 2t5dt

(t 1) 2t3dt

(2t4 2t

3 )dt

t 1

2t3

(t 1) 4t2 (t 1) 4t(t 1) 4(t 1) 4

t 1

dt 2t

4t 4

t 1

2t4

4 t3 2t2 4t 4ln

t 1

C t 6

3x 1

(3x 1)2

C, где C const

3x 1

4ln

3x 1

7.20.

(7 6sin x 5cos x)dx

(*)

1 cos x

Проведем универсальную тригонометрическую подстановку:

; x

2arctgz dx

2dz

;sin x

;cos x

1 z2

1 z

1 z2

5(1

)

2dz

7 6

1 z

12z

5(1 z

)

(*)

1 z

1 z2

7 7z2 12z 5 5z2

12z2 12z 2

12(z2 1) 12z 10

12 dz 6

d(z2 1)

2 x

12z 6ln(z

1) 10arctgz C

12tg

6ln tg

1 10arctg tg

12tg

6ln tg

1 5x C,

где C const

8.20.

sin 2xdx

4sin 2xdx

(*)

sin4

x 4cos4 x

(1 cos 2x)2

(1 cos 2x)2 4(1 cos 2x)2

z tgx; x arctgz dx

1 z2

cos 2x

1 z

; sin 2x

1 z

1 z2

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
17.12.20223.5 Кб08(вар2).gif
#
17.12.20227.28 Кб08(вар22).gif
#
17.12.20221.06 Кб18(вар3).gif
#
17.12.20222.52 Кб08(вар8).gif
#
17.12.2022218.28 Кб08-1.bmp
#
17.12.2022158.35 Кб18.1234+9.1.pdf
#
17.12.2022236.92 Кб08.bmp
#
17.12.202233.12 Кб08.JPG
#
17.12.20229.15 Кб19(вар11).gif
#
17.12.20224.05 Кб09(вар17).gif
#
17.12.2022434.3 Кб09(вар23).bmp