573

53

М268

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

В.А. Марков, П.М. Плетнев

ОСНОВЫ ФИЗИКИ (для студентов экономических

специальностей)

Часть 1 Механика. Колебания и волны

Учебное пособие

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

3

Новосибирск 2008

ВВЕДЕНИЕ

Физика — наука, изучающая наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи и законы ее движения.

Понятия физики и ее законы лежат в основе всего естествознания. Физика относится к точным наукам и изучает количественные закономерности явлений.

Главная цель физики — выявить и объяснить законы природы, которыми определяются все физические явления. Законы физики представляют собой количественные соотношения и формулируются на математическом языке, этим занимается теоретическая физика. Экспериментальная физика — опыты, проводимые для обнаружения новых фактов и проверки известных физических законов.

В истории физики известны случаи, когда для объяснения результатов эксперимента приходилось вводить новые постулаты (аксиомы), менять представления об устоявшихся теориях. Так, были введены постулаты Бора, корпускулярная теория света и др.

История физики — это тысячелетний путь развития идей об окружающем мире. Были развиты представления об атомарном строении вещества, открыты простейшие законы статики и гидростатики, законы прямолинейного распространения и отражения света и др. Развитие физики как науки, в современном смысле этого слова, началось в ХVII в. и связано, в первую очередь, с именем итальянского ученого Г. Галилея, который понял необходимость математического описания движения.

По мере изложения материала в учебном пособии будут прослежены основные этапы развития физики.

В прил. А даны основные формулы по рассматриваемым темам, прил. Б содержит алфавитнопредметный указатель.

1. ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ИХ РАЗМЕРНОСТИ

1.1. Измерение и единицы измерения

физических величин

Для установления количественных соотношений между физическими величинами их необходимо измерять. Измерение различных величин — это сравнение их с соответствующими эталонами. Такие эталоны можно выбрать различными способами. Так, длину можно измерять в метрах или в дюймах, в зависимости от выбранного эталона длины. Массу можно измерять в килограммах, граммах, в фунтах, в унциях и т.д. Время обычно измеряют в секундах, в часах. Площадь измеряется в арах, гектарах, квадратных метрах или других единицах площади. Многие физические величины можно выразить через другие величины, если воспользоваться их определением. Так, скорость выражается как пройденный путь, деленный на время движения: v = s/t, и соответственно размерность скорости равна размерности пути, деленной на размерность времени, т.е. [v] = [s]/[t].

Величина в квадратных скобках обозначает размерность этой величины. Скорость может быть выражена в разных единицах измерения, например, в м/с, милях/ч. Чтобы отразить саму размерность физической величины, введем обозначения для основных величин: длина — L, время — T и масса — М. Размерности основных величин совпадают с их обозначением: размерность длины равна L, размерность времени равна Т, размерность массы равна М. Тогда размерности других физических величин можно выразить через эти основные размерности. Так, для скорости получим:

[v] = [s]/[t] = L/T = LT -1.

В табл. 1.1 приведены некоторые соотношения такого рода.

Таблица 1.1

7

Окончание табл. 1.1

Понятия длины, площади и объема определяются в евклидовой геометрии. Существует несколько стандартных единиц длины: это — метр, дюйм, фут, миля и сантиметр. В 1978 г. большинство стран официально договорились использовать метрическую систему. В 1960 г. на 11-й Генеральной конференции по мерам и весам была принята Международная система единиц (СИ), имеющая семь основных единиц: метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела.

Международная система единиц (СИ) — System International — SI

Основные единицы

Метр (м) — единица длины, равная 1650763,73 длины волны в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2p10 и 5d5 атома криптона-86. До 1960 г. международным эталоном метра была штриховая мера длины — брусок из платиново-иридиевого сплава, хранящийся в Международном бюро мер и весов в Севре (близ Парижа).

Килограмм (кг) — масса, равная массе международного прототипа, хранимого в Международном бюро мер и весов в Севре (близ Парижа). Прототип килограмма сделан из платиновоиридиевого сплава (90 % Pt, 10 % Ir) в виде цилиндрической гири диаметром и высотой 39 мм.

Секунда (с) — единица времени. Различают атомную секунду, воспроизводимую цезиевым эталоном частоты и времени, и эфемеридную секунду, размер которой связан с периодом обращения Земли вокруг Солнца. За эфемеридную секунду принята 1/31556925,9747 доли тропического года. Атомная и эфемеридная секунды совпадают с точностью 2 10-9.

Ампер (А) — сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого поперечного сечения, расположенных в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, создает между ними силу, равную 2 10-7 Н (Ньютона) на каждый метр длины.

Кельвин (К) — единица термодинамической температуры, равная 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды.

Моль (моль) — количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько атомов содержится в 12 г изотопа углерода 126 C .

Кандела (кд) — сила света, испускаемого с площади 1/600000 м2 сечения полного излучателя в перпендикулярном к этому сечению направлении при температуре излучателя, равной температуре затвердевания платины (2042 К), и давлении 101325 Па.

Дополнительные единицы системы СИ

Радиан (рад) — угол между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу.

Стерадиан (ср) — телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.

Единицы измерения некоторых физических величин названы в честь известных ученых: единица силы — ньютон (Н), единица энергии — джоуль (Дж), единица частоты — герц (Гц) и т.д. Размерности этих величин также могут быть выражены через основные единицы, соответствующие выбранной системе единиц (см. табл. 1.1): [Н] = МLT -2 кг м/с2, [Дж] = ML2T -2 кг м2/с2, [Гц] = Т -1 с-1. Здесь знак указывает, что данной размерности соответствует определенное выражение из основных единиц международной системы (СИ).

В метрической системе очень просто перейти от одной единицы измерения к другой — более крупной или более мелкой. Для этого вводятся кратные единицы измерения, с добавлением множителя, равного десяти в соответствующей степени (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Приставки к кратным метрическим единицам измерения

8

1.2. Преобразование единиц измерения

Одна и та же измеряемая физическая величина может быть представлена в различных единицах величин. Так, скорость может быть представлена в км/ч, м/с, см/с и т.д. В международной системе (СИ) скорость должна быть представлена в м/с. Все расчетные формулы, если они приведены в СИ, будут давать правильный результат (численное значение) только тогда, когда все численные значения величин, входящих в эту формулу, будут выражены в СИ. Если исходные данные приведены не в СИ, то их нужно преобразовать в СИ. В качестве примера рассмотрим представление скорости 60 км/ч в единицах СИ:

v = 60 км/ч = 60 (1 км)/(1 ч).

Теперь вместо прежней единицы (км) подставим ее значение в метрах (1 103 м). В знаменатель вместо 1ч подставим 3,6 103 с:

v = 60 (1 103 м)/(3,6 103 с) = 16,67 м/с.

Другой способ преобразования единиц измерения состоит в умножении на величины, равные 1,

аименно на (1 103 м)/(1 км) и (1 ч/3,6 103 с). Таким образом, имеем v = 60 (км/ч) 1 1 =

=(60 км/ч) (103 м/1 км) (1 ч/3,6 103 с) = 16,67 м/с.

Иногда вместо того, чтобы вводить единицы в знаменатель, удобно использовать отрицательные степени, например, писать м с-1, а не м/с.

1.3. Анализ размерностей

Размерность физической величины выражается через размерности основных величин выбранной системы единиц: размерность длины (L), размерность времени (Т), размерность массы (М).

Если при решении задачи для искомой физической величины, например, B найдено выражение через другие величины, известные по условию задачи, и физические константы (справочные данные), то размерность В должна в точности совпадать с размерностью найденного выражения:

[B] = [найденное выражение].

Если размерность найденного выражения не совпадает с размерностью B, то нужно искать ошибку, задача решена неверно.

Формула размерности единицы какой-либо физической величины B имеет вид: [B] = LxM y Tz,

где x, y, z — целые или дробные, положительные или отрицательные вещественные числа, которые называются показателями размерности, или размерностями единицы некоторой величины B относительно единиц длины, массы и времени соответственно (см. табл. 1.1).

Если для исследуемого явления установлено, с какими величинами может быть связана искомая величина, но вид этой связи не известен, для ее нахождения составляют уравнение размерностей, в котором в левой части будет стоять символ искомой величины со своим показателем размерности, а в правой — произведение символов величин, от которых искомая величина зависит, но с неизвестными показателями размерности. Задача нахождения связи между физическими величинами сводится в этом случае к отысканию значений соответствующих показателей размерностей. Если, например, требуется определить время t прохождения пути s телом массы m, движущимся поступательно и прямолинейно под действием постоянной силы F, то можно составить уравнение размерности, имеющее вид:

[t] = [s] x [m] y [F] z = LxM y (LMT -2)z = T,

9

где x, y, z не известны. Здесь было учтено:

[t] = T, [s] = L, [m] = M, [F] = LMT -2.

Требование равенства показателей размерности левой и правой частей в уравнении приводит к системе уравнений: x + z = 0, y + z =

= 0, –2z = 1, откуда следует, что x = y = 1/2, z = –1/2 и t = C (ms/F)1/2. Безразмерный коэффициент С, равный согласно законам механики 21/2, определить в рамках анализа размерностей нельзя. В этом состоит своеобразие анализа размерностей. Устанавливаемая с его помощью зависимость искомой величины от величин, определяющих исследуемое явление, находится с точностью до постоянного коэффициента. Во многих задачах и вовсе не нужно знать множитель пропорциональности, например, когда нужно сравнить скорость звука в двух различных средах, находящихся при одинаковых внешних условиях. В любом случае, когда это возможно, анализ размерностей используется для проверки всех выкладок и расчетов.

2. МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА

Механика — это раздел физики, в котором изучаются основные особенности и законы механического движения, которое представляет собой перемещение в пространстве с течением времени одних материальных тел относительно других и является наиболее простой формой движения из всех существующих в природе. Чтобы найти законы механического движения, нужно сначала описать это движение. Раздел механики, в котором изучаются методы описания и основные особенности механического движения тел без учета их взаимодействия, называется кинематикой.

Законы механического движения с учетом взаимного влияния тел друг на друга изучаются в рамках другого раздела механики — динамики. Наконец, существует еще один раздел механики, третий, — статика, — в рамках которого изучаются условия равновесия тел, т.е. условия их покоя.

2.1. Определение положения тел в пространстве.

Система координат

Для того, чтобы полностью описать движение материальной точки в пространстве, выберем удобную систему координат: выберем тело отсчета, по отношению к которому определяется положение других тел, и нарисуем три пересекающиеся под прямыми углами друг к другу прямые (оси координат) так, чтобы точка пересечения этих прямых (начало отсчета координат) совпадала с телом отсчета. Такую систему координат называют декартовой (по имени великого французского философа и математика Рене Декарта (1596 – 1650). Если ввести три единичных вектора

i , j , k , направленных вдоль координатных осей (единичные орты), то радиус-вектор r можно представить в виде суммы трех векторов (рис. 2.1):

Рис. 2.1. Разложение радиуса-вектора на составляющие вдоль координатных осей

Длину вектора r можно найти, скалярно умножив его на r : r r = r2, или можно записать: r2 = x2 + y2 + z2. В любой момент времени положение материальной точки в выбранной системе координат будем задавать тремя числами (координатами): x, y и z, или, что то же самое, вектором r , который называют радиусом-вектором. Движение материальной точки полностью задано, если указан закон

10

Кривая, описываемая материальной точкой при ее движении в пространстве, называется траекторией движения. Уравнения (2.2) и (2.3) называются кинематическими уравнениями движения точки. Уравнения заданы в координатной и векторной формах соответственно. Они могут рассматриваться как уравнения траектории движения. При этом функции (2.2) и (2.3) непрерывны и дифференцируемы, что является следствием непрерывности пространства и времени.

2.2. Векторы.

Операции с векторными величинами

В отличие от обыкновенного числа (скаляра) вектор определяется тремя числами в трехмерном пространстве. Например, введенный нами радиус-вектор r , задающий положение тел в пространстве (см. рис. 2.1), определяется тремя координатами: x, y и z. Собственно, любую тройку чисел мы и могли бы называть вектором. Таким образом, когда мы пишем r , это означает, что мы имеем в виду три числа: x, y и z, которые описывают векторную величину r в выбранной системе координат. Эти три числа называются составляющими (или компонентами) вектора r . Когда мы записываем уравнение (2.3), мы имеем в виду три уравнения (2.2).

Векторные величины имеют очень наглядную геометрическую интерпретацию: вектор можно представить как отрезок, имеющий направление (или направленный отрезок). Так, r — это отрезок, проведенный из начала координат в место положения материальной точки. При этом ясно (см. рис. 2.1), что длина этого отрезка r определяется его компонентами (теорема Пифагора):

Геометрическая интерпретация векторных величин позволяет определить и легко понять различные математические операции с векторами. Прежде всего, можно определить сумму векторов

a и b как вектор c с компонентами cx = ax + bx, cy = ay + by и cz =

rr

=az + bz, т.е. c = a + b . Складывать векторы можно геометрическим построением: есть метод параллелограмма (рис. 2.2) и метод треугольника (рис. 2.3). При этом складывать векторы можно в любом порядке.

r r r

Рис. 2.2. Сложение векторов методом параллелограмма ( R = F1 + F2 )

Рис. 2.3. Сложение векторов методом треугольника

Можно ввести операцию умножения вектора a на число α, понимая под этим новый вектор с

r r

компонентами α ax, α ay и α az: A = αa .

Благодаря существованию такой операции, любой вектор можно представить в виде произведения его длины на единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице), задающий

длина которого будет равна длине r2 , а направление будет противоположно направлению r2 (рис.

2.4):

rr1 − rr2 = rr1 + (−rr2 ) .

11