1594

Сравним ряд (2.6) с рядом, составленным из членов геометрической прогрессии:

дет сходиться и ряд (2.5), причём абсолютно. Отсюда следует, что ряд (2.3) будет абсолютно сходиться для всех x таких, что | x | | x0 | .

Следствие. Если степенной ряд расходится при x x1 , то он будет расходиться при всех x x1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о (от противного). Предположим противное: пусть

Но тогда по теореме Абеля ряд будет сходиться и при x x1 . Мы пришли к противоречию, которое показывает, что наше предположение неверно. По-

Рис. 2. Интервал, на котором сходится степенной ряд, если он сходится в точке x x0 , x0 0

Если же степенной ряд расходится в точке x1 , то он расходится и во всех точках, расположенных вне интервала ( | x1 |;| x1 |).

Сказанное уточняет следующая теорема.

Теорема. Если степенной ряд (2.3) сходится не при всех x и не только при x 0, то существует число R 0 такое, что ряд (2.3) абсолютно сходится

при | x | R и расходится при | x | R.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {x0} множество всех точек x0 , в которых

ряд an xn сходится. Покажем, что множество {x0} ограничено. Пусть в

n 0

точке x1 степенной ряд расходится. Тогда для любого x0 {x0} выполняется

31

неравенство | x0 | | x1 |, из которого следует, что множество {x0} ограничено. Рассмотрим теперь множество {| x0 |}, x0 {x0}. Ясно, что оно ограничено сверху. Пусть R sup{| x0 |}, 0 R . Фиксируем произвольный x, | x | R.

Тогда, по определению точной верхней грани числового множества, найдется точка x0 {x0}такая, что | x | | x0 | R. В силу теоремы Абеля ряд будет абсо-

лютно сходиться в точке x. Фиксируем теперь произвольный x такой, что | x | R.Тогда x {x0}. Действительно, если бы x {x0}, то | x | {| x0 |}, а потому выполнялось бы условие | x | R. Итак, x {x0}, и потому в такой точке x

степенной ряд расходится.

Очевидно, что число R , фигурирующее в теореме, единственно. Интервал ( R; R) называется интервалом сходимости степенного ряда.

Число R называется при этом его радиусом сходимости.

Примем следующие соглашения. Если степенной ряд сходится при всех x E1, то положим R . Если же степенной ряд сходится только при x 0, то положим R 0.

Из доказанной теоремы и принятых соглашений следует. что всякий степенной ряд имеет радиус сходимости.

Заметим, что в точках x R и x R ряд может как сходиться, так и расходиться.

Вычисление радиуса сходимости степенного ряда

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда воспользуемся обобщённым признаком Даламбера сходимости числовых рядов. Заметим,

32

x R , то степенной ряд (2.3) будет расходиться. Таким образом, число R

как раз и будет радиусом сходимости степенного ряда. Этот радиус определяется по формуле

R lim an ,

n an 1

следующей из равенства (2.8).

что степенной ряд в точке x расходится. Поэтому ряд (2.3) сходится только в точке x 0, и потому R 0.

и потому ряд (2.3) будет абсолютно сходиться при любом x 0 . Поскольку, очевидно, ряд (2.3) абсолютно сходится и при x 0 , то он будет сходиться абсолютно x E1, так что R .

33

Из сделанного замечания следует, что формула для определения радиуса

Установим справедливость ещё одной формулы, часто используемой при

нахождении радиуса сходимости степенного ряда an xn .

n 0

Пусть существует предел

lim n | an | L, L 0.

n

Предположим сначала, что 0 L . Применим к степенному ряду обобщённый признак Коши:

Пусть теперь L 0. В этом случае для любого x E1 выполняется усло-

и потому ряд расходится при любом x 0 . Отсюда следует, что R 0.

Таким образом, радиус сходимости степенного ряда может быть найден по формуле

34

в предположении, что предел lim n | an | существует. При этом если он равен

n

R 0.

Ещё раз отметим, что если R 0, то ряд будет сходиться только при x 0 , если же R , то ряд сходится при всех действительных x , причём абсо-

лютно.

П р и м е р ы

расходится (общий член получающихся рядов не стремится к нулю при n ). Таким образом, областью сходимости данного ряда является интер-

вал ( 1;1) , радиус сходимости R 1.

2. n!xn .

n 0

Определим радиус сходимости данного ряда:

Поэтому ряд сходится только при x 0.

3. xn

n 0 n!

Вычислим радиус сходимости этого ряда:

Получили, что ряд сходится на всей числовой прямой, т.е. при | x | .

35

являющийся с точностью до знака гармоническим рядом. Таким образом, об-

36

Покажем, что для такого ряда не выполняется необходимое условие сходимости: его общий член не стремится к 0 при n . Действительно, посколь-

ку

Поэтому этот числовой ряд расходится, что означает расходимость степенного ряда в точке x 2.

При x 2 получаем знакочередующийся числовой ряд, абсолютная ве-

вие сходимости для такого числового ряда не выполняется, и потому он расходится. Таким образом, данный степенной ряд расходится и в точке x 2 . Поэтому областью сходимости заданного степенного ряда является

его интервал сходимости.

37

Таким образом, R 43 и интервал сходимости имеет вид ( 43 ; 43). Выясним поведение ряда в точках z 43 . При z 43 получаем числовой ряд

который является расходящимся, поскольку его общий член не стремится к нулю при n .Действительно,

общий член которого также не стремится к нулю при n , и потому этот ряд тоже расходится. Таким образом, множеством сходимости степенного

ряда является интервал ( 43 ; 43). Найдём теперь область сходимости исходного ряда. Она представляет собой множество всех решений неравенства

38