1414
.pdfРис. III. 24. Эпюры распределения скоростей при прямолинейно-параллельном установиьшемся вынужденном изотермическом течении псевдопластнчной жидкости; а—е — возмож ные варианты (пояснения в тексте).
Величина dvjdy в принципе может быть не только положи тельна, но и отрицательна; решение, полученное в результате ин тегрирования уравнения (III. 119), должно учитывать эту возмож ность.
Теоретически возможные варианты распределения |
скоростей |
||
по сечению канала представлены на рис. III. 24. |
Вариант |
а соот |
|
ветствует условию dP/dx = 0; рху = const; —оо ^ |
Уо ^ |
оо. |
В этом |
случае распределение скоростей линейно. Вариант б: dP/dx > 0;
Рху > 0; —оо < у0< 0. Вариант |
в: dp/dx > 0 ; уо = |
0; эпюра ско |
|
ростей имеет параболическую |
форму. |
Сечение, |
в котором |
dvjdy — 0, расположено на дне канала. |
Вариант |
г: dP/dx > 0; |
|
0 < </о < /г/2; на эпюре скоростей появляется область противотока, в пределах которой dvjdy <.0. Вариант д: dP/dx <. 0, Л<г/0<<»;
на эпюре скоростей нет точек, в которых dvx/dy = |
0. Вариант |
е: |
|||
dP/dx <; 0; /г/2 < уо <1 Л; напряжения |
сдвига |
меняют |
знак, |
на |
|
эпюре скоростей есть максимум, в |
области |
у ^ |
Уо |
величина |
|
dv/dy < 0. |
|
|
|
|
|
Введем безразмерную |
координату т) = |
у/h. |
Далее допустим, |
что dPfdx > 0 и t/o ^ 0. |
В этом случае |
поле |
скоростей описы |
вается выражением: |
|
|
|
о* = .S*I ! *x)a [(ч _ _ (_ hn+l (III. 120)
И? (п+ 1)
где
Чо = Уо/А
Если dP/dx > 0 и т)о > 0, то поле скоростей описывается сле дующими двумя выражениями, также полученными интегрирова нием уравнения (III. 119):
Чо < |
ч < |
1 |
|
|
|
(dP/dx)n hn+l |
[(Ч - Ч о Г + ' - < +1] |
(III. 121) |
|
|
|
(п+1) |
||
|
|
|
||
0 < Ч < |
Чо |
|
|
|
= |
(dP/dx)n hn+l |
[(Чо-Ч)Л+1- л г +1] |
(III. 122) |
|
V* ~ |
|
Ц?(« + 1) |
||
|
|
|||
Условие «стыковки» этих двух выражений состоит в равенстве значений аДт]о), определяемых из выражений (III. 121) и (III. 122). Очевидно, что это условие выполняется. Если преобра зовать уравнения (III. 120), (III. 121) и (III. 122) к безразмерной форме, разделив текущее значение скорости vx на скорость под вижной пластины [У, и ввести знаки модуля, то получим одно уравнение, справедливое на всем возможном интервале значений dP/dx > 0:
Vx_ |
h -ло Г+1 I Ло |Я+1 |
(III. 123) |
U |
I 1 — Т|о r +1 -|TIo \n+1 |
|
Д л я определения связи между значениями г|о и градиентом давлений введем новую характеристику течения — безразмерный градиент давлений В, определив его как отношение фактического градиента давлений dP/dx к нормирующему градиенту давлений (dPJdx)*, т. е. к такому значению градиента давлений, при кото ром уо = 0 (следовательно, напряжения сдвига на дне канала рав ны нулю).
Из уравнения (III. 120) следует, что для данного потока норми рующий градиент давлений (dP/dx)* равен:
ГЦ{П+ р -11/r»
L J (III. 124)
A"+1
Соответственно, безразмерный градиент давлений равен:
В = |
dP/dx |
(dPIdxy |
Если градиент давлений отрицателен (см. рис. III.23), то ве личина т)о ограничивается пределами: 0,5 < т)0 < оо. Для случая
1^ Ло < 00
оX |
( - |
dP/dx)n hn+' |
[ч?+1-(Пэ-Л)“+1] |
(III. 126) |
|
|
(« + 1) |
|
|
|
Для случая, при котором абсолютное значение градиента дав |
|||
лений |
велико, т. е. \dP/dx\ > (dP/dx)*y и 0,5 < т]0 < |
1, имеем два |
||
уравнения: |
|
|
||
|
о б л а с т ь 1 ^ л ^ Ло |
|
||
|
( - d P /d x )n hn+] |
Ь ?+1- ( ч - ч 0)п+1] |
(III. 127) |
|
|
|
1*о (я+ 1) |
||
|
|
|
|
|
|
область г)о ^ |
^ 0 |
|
|
|
( - |
dP/dx)n hn+i |
Ч)“+|] |
(III. 128) |
|
|
йо(«+ l) |
||
|
|
|
|
|
Обратим внимание на то, что при ц = т]0 скорость, определяе мая из уравнения (III. 127), тождественно равна скорости, опреде ляемой из уравнения (III. 128), т. е. условие «стыковки» выпол няется.
Оба уравнения могут быть записаны в виде одного выражения:
vx = U ч Г ' - И |
о |
- л |
Г 1 |
(III. 129) |
ч?+1 - 11 |
- |
Ло |
Г+| |
|
Безразмерный градиент определяется |
из граничного условия |
||
vx = V при г| = |
1: |
|
|
dP/dx> 0; |
В = |
[(1 — Т1о)П+1 — I % |п+|]~1/п |
(III. 130) |
dPldx< 0; |
В = |
— | [ T|Q+ I — | 1 — т|0 |п+1] |_1/П |
(III. 131) |
Полученные выражения показывают, что форма профиля ско ростей прямолинейно-параллельного изотермического течения псевдопластичной жидкости однозначно определяется безразмер ным градиентом давлений и индексом течения. Действительно, если известно значение В, то значение г\о определяется из уравне ний (III. 130) или (III. 131).
Сопоставление поля скоростей, устанавливающегося при тече нии ньютоновской жидкости, с полем скоростей, устанавливаю щимся при течении псевдопластичной жидкости, показывает, что
наибольшая разница |
существует |
в условиях, изображенных на |
рис. III. 24, в и*. |
* |
* |
Рис. III. 20. Номограммы зависимости |
У (по) от Ig В для В > 0 (а); V (по) от Ig (—В) для |
|
Д<0 (5); по от В |
для £ > 0 (в); по от |
(“ ^) Для Д < 0 (г). Цифры на кривых — значения |
индекса течения п, |
г/мин. |
|
Сопоставим выражения (III. 135) и (III. 136), учитывая, что эффективная вязкость в придонном слое (ri = 0) определяется вы ражением
|
п — 1,0 |
п = |
1,5 |
п ==2,0 |
п =г 2,5 |
п ==3,0 |
||||
Ло |
ЧГ |
- Б |
У - В |
'V |
- В |
ЧГ |
—В |
ЧГ |
в |
|
|
||||||||||
10 |
1,38 |
0,052 |
1,66 |
0,06 |
1,95 |
0,06 |
2,23 |
0,06 |
2,51 |
0,07 |
7 |
1,53 |
0,077 |
1,81 |
0,08 |
2,09 |
0,09 |
2,39 |
0,09 |
2,69 |
0,1 |
5 |
1,56 |
0,111 |
1,85 |
— |
2,15 |
0,13 |
2,46 |
0,13 |
2 77 |
0,14 |
3 |
1,6 |
0,2 |
1,92 |
0,22 |
2,26 |
0,23 |
2,62 |
0,24 |
3,0 |
0,25 |
2 |
1,67 |
0,333 |
2,04 |
0,36 |
2,43 |
0,38 |
2,84 |
0,39 |
3,27 |
0,41 |
1 |
2,0 |
1,0 |
2,5 |
1 |
3 |
1 |
3,5 |
1 |
4 |
1 |
0,9 |
2,13 |
1,125 |
2,61 |
1,19 |
3,1 |
1,17 |
3,6 |
1,16 |
4,10 |
1,15 |
0,8 |
2,36 |
1,67 |
2,79 |
1,50 |
3,25 |
1,41 |
3,73 |
1,37 |
4,22 |
1,35 |
0,7 |
2,89 |
2.49 |
3,22 |
1,97 |
3,61 |
1,78 |
4,02 |
1,68 |
4,46 |
1,62 |
|
п = ; 3 ,5 |
п = =4,0 |
п ==5 ,0 |
п == 6 ,0 |
п —-7,0 |
|||||
Ло |
W |
- В |
ЧГ |
- В |
ЧГ |
— В |
У |
- в |
ЧГ |
- в |
|
||||||||||
10 |
2,8 |
0,07 |
3,09 |
0,1 |
3,7 |
0,07 |
4,32 |
0,08 |
5,01 |
0,08 |
7 |
3,0 |
0,1 |
3,30 |
0,13 |
3,94 |
0,11 |
4,61 |
0,11 |
5,28 |
0,11 |
5 |
3,1 |
0,14 |
3,44 |
0,18 |
4,12 |
0,15 |
4,86 |
0,16 |
5,61 |
0,16 |
3 |
3,37 |
0,26 |
3,76 |
0,3 |
4,58 |
0,27 |
5,44 |
0,28 |
6,33 |
0,29 |
2 |
3,71 |
0,42 |
4,16 |
0,46 |
5,1 |
0,44 |
6,06 |
0,45 |
7,03 |
0,45 |
1 |
4,5 |
1 |
5 |
1 |
6,0 |
1 |
7 |
1 |
8 |
1 |
0,9 |
4,6 |
1,15 |
5,10 |
1,13 |
6,10 |
1,14 |
7,1 |
1,13 |
8,1 |
1,13 |
0,8 |
4,71 |
1,33 |
5,20 |
1,29 |
6,20 |
1,32 |
7,2 |
1,30 |
8,2 |
1,29 |
0,7 |
4,92 |
1,59 |
5,38 |
1,5 |
6,34 |
1,54 ' |
7,32 |
1,52 |
8,31 |
1,5 |
Заметим, что при противодавлении, обеспечивающем примени мость выражения (III. 135), относительное уменьшение объемного расхода в потоке аномально-вязкой жидкости оказывается тем значительнее, чем резче выражена аномалия вязкости.
Таким образом, определение расхода при заданной длине по тока и заданных значениях давления на входе Р0 и выходе Р\ сводится к определению безразмерного градиента давлений и вы
числению значений |
г\0 и Ч'Ч'По). Безразмерный градиент давлений |
||||
в этом случае равен: |
|
||||
В = |
Pi-Po |
Г hn+[ |
y ln |
(III. 137) |
|
L\io |
L U ( n + |
1) J |
|||
|
|
||||
Из полученного решения вытекает, что для расчета всех пара метров течения достаточно располагать значениями т]0 и Ч ^о) при соответствующих В и п. Значения т]0г1г(т]о) и В, рассчитанные
при л, изменяемом |
в диапазоне 1 ^ |
п |
8, указаны в табл. III. 2. |
|
На |
рис. III. 26 приведены графики зависимостей lF(r|o) = / ( lg В), |
|||
v м |
= f[ \g ( - B ) l |
по = f(B) и 110 = |
Н - В ) . |
|
I ll.8. ПЛОСКОЕ СЛАБОСХОДЯЩЕЕСЯ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ПСЕВДОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЖИДКОСТИ
С подобной формой движения приходится иметь дело, как мы уви дим в дальнейшем, при рассмотрении течения материала в канале червяка с коническим сердечником, в зазоре между гребнем ло-
пасти смесителя и его с дем исходить ИЗ схемы
дР |
|
дРух |
|
д Р _ |
дРху |
(III. 138) |
дх |
|
дУ |
• |
ду |
дх |
|
|
|
|||||
доX |
+ |
<Эч„ |
= 0 |
|
|
(III. 138а) |
дх |
дуу |
|
|
|
||
|
Реологическое уравнение будет таким же, как и в случае пря |
|||||
молинейно-параллельного движения. |
|
|||||
|
Граничные условия с учетом схемы движения принимают |
|||||
форму: |
|
|
|
|
||
vx = U-, у = h |
|
|
|
|||
о* = 0; |
у = О |
|
|
|
||
Р = |
0; |
х = |
0 и |
х = |
L |
(III. 1386) |
Качественное рассмотрение показывает, что вследствие по стоянства расхода эпюра скоростей vx(y) для различных участков потока будет изменяться так, как это показано на рис. III. 27, а. Соответственно, эпюра давлений в таком потоке будет иметь фор му, изображенную на рис. III. 27, б.
Из постоянства расхода следует, что на входе градиент дав лений положителен и уменьшает объемный расход. Напротив, на выходе градиент давлений отрицателен и увеличивает объемный расход. Гидростатическое давление на входе равно атмосферному. Затем оно повышается до максимума и вновь снижается до атмо сферного давления. В точке Р = Ртах градиент давлений равен нулю (рис. III.27,в), а эпюра скоростей имеет форму треуголь ника. Обозначим высоту канала в этой точке через ho, тогда объ емный расход будет равен:
Q = U h 0/2
Если угол наклона верхней пластины а мал, то |
dvjdy |
d v y /d x |
d vx /d x |
> dvjdx и dvjdy > dvjdx. Полагая члены вида dVx/gy |
и dvjly |
равными нулю, получим, что |
|
|
(III. 139) |
Последнее выражение позволяет использовать несколько упро щенную схему движения. Заменим неподвижную наклонную _плоскость рядом ступенек, состоящих из плоских участков длиной dx,
