1367

лении элементов высокого порядка (см. рис. 8.14) автоматически указывает место расположения узлов. Заметим далее, что изобра­ женные на этих рисунках массивы в точности соответствуют раз­ личным уровням в треугольнике Паскаля. Поэтому каждому по­ рядку интерполяции в треугольных координатах отвечает полное полиномиальное представление соответствующего порядка. Ранее отмечалось значение понятия полноты и, по-видимому, по этой при­ чине треугольные элементы занимают особое место в конечно-эле­ ментном анализе. Другая причина их распространенности состоит в возможности гибкого их использования при представлении гео­ метрических объектов сложной формы.

8.6. Тетраэдральные элементы

Изображенный на рис. 8.15 тетраэдр есть трехмерный аналог пло­ ского треугольного элемента. Подобно случаю плоского треуголь­ ного элемента определение функций формы и интегрирование энер­ гии деформации осуществляются здесь в тетраэдральных коор­ динатах, которые являются аналогом треугольных координат из разд. 8.5.

Рис. 8.15. Базисный тетраэдр.

Местоположение точки внутри тетраэдра, полный объем кото­ рого обозначен через (vol), можно определить при помощи следую­ щего набора отношений:

где (vol)* ( /= 1 , .,4) обозначает объем, заключенный между линиями, соединяющими точку с вершинами тетраэдра, противо­ лежащими вершине i. На рис. 8.15 изображен (vol)i. Величины Lu . ., L4 представляют собой тетраэдральные координаты. С уче­ том (8.27) имеем

(8.28)

и, дополняя это уравнение соотношениями между декартовыми коор­ динатами точки ху у у z и тетраэдральными координатами, получим

Обращая матрицу, заключаем, что

где (VOL)i— объем, заключенный между стороной тетраэдра 1 и лучами, проходящими через ее вершины и начало координат; (vol) равен одной шестой значения детерминанта выписанной выше (4х4)-матрицы, a Ci., С2. и С3.— детерминанты возникающих при обращении (Зх 3)-подматриц.

Имеющаяся аналогия между тетраэдральными и треугольными координатами позволяет применить изображенный на рис. 8.16 тетраэдр Паскаля при определении совокупности членов разло-

Рис. 8.16. Обобщение на трехмерный случай треугольника Паскаля.

жения для полных полиномов любого порядка, задаваемых в узло­ вых точках элемента, а также функций формы, соответствующих

т. е. представляется в виде произведения функций от соответствую­ щих объемных координат. Введение соответствующих нижних ин­ дексов аналогично случаю треугольных координат и иллюстриру­ ется для тетраэдрального элемента, построенного на базе квадра-

Рис. 8.17. Нумерация узлов для тетраэдрального элемента о квадратичным поли­ номиальным представлением.

тичных функций на рис. 8.17. Заметим, что сумма четырех индек­ сов должна равняться т = 2 в этом случае и порядку т выбранной функции в общем случае. Соответствующая формула для N h i= p , q или г дается опять выражением (8.11).

При интегрировании в объемных координатах будем иметь сле­ дующую формулу для типичного интеграла:

Вследствие (8.28) только три из координат независимы, и поэтому можно упростить выписанное выражение. Предположим, что ис­ ключение (Lt)d приводит к следующему преобразованию интеграла

3( ):

Подробное исследование тетраэдральных координат приводится в 18.91.

8.7. Внутренние моды и редукция к простым формам

Ранее отмечалось, что желательно выписывать уравнения элемента, отвечающие узлам, расположенным лишь в вершинах и на сторонах элемента. С внутренними степенями свободы трудно оперировать. Также было показано, что внутренние степени свободы естественным образом вводятся при построении функций формы для элементов высокого порядка. Аналогичная ситуация возникает, если соотно­ шения выводятся на основе обобщенных координат, причем число указанных координат превышает число степеней свободы, отвечаю­ щих сторонам и вершинам элемента. Эти «дополнительные» обоб­ щенные координаты можно рассматривать как «внутренние» степе­ ни свободы. В этом разделе излагается два способа, с помощью ко­ торых можно исключить внутренние степени свободы. Кроме того, изучается вспомогательная задача построения функций формы для элементов с различным числом узлов на соответствующих сторонах элемента.

Рассмотрим сначала случай, когда внутренние степени свободы естественно возникают при построении функций формы для эле­ мента высокого порядка. В этом случае матрица жесткости эле­ мента может быть построена с использованием всех степеней, представленных в функции формы. Предположим, что внутренние степени свободы обозначены нижним индексом Ь, а степени свобо­ ды, отвечающие сторонам и вершинам элемента,— нижним индек­ сом с. Тогда построенная матрица жесткости может быть записана в виде

(8.32)

Во внутренних точках элемента силы {F&} будут известными вели­ чинами, полученными в результате рассмотрения энергетически эквивалентных нагрузок, приложенных сосредоточенных нагрузок и т. д., либо эти силы равны нулю, так как указанные точки не соприкасаются с другими элементами конструкции. Следовательно, исключение внутренних мод проводится в точности по схеме кон­ денсации из разд. 2 .8.

Здесь уместно отметить, что «внутренние моды» более точно наз­ вать как «дутые моды», т. е. моды, имеющие отличные от нуля амп­ литуды внутри элемента и обращающиеся в нуль на его сторонах. Это происходит в силу того, что амплитуда функции формы равна единице для рассматриваемой степени свободы и нулю для осталь­ ных степеней свободы.

Второй способ исключения нежелательных степеней свободы состоит в непосредственной модификации функции формы таким образом, чтобы она выражала только требуемое число параметров. По видимому, простейшей схемой исключения степеней свободы из

рассматриваемых выражений является введение соотношений, свя­ зывающих исключаемые степени свободы с оставшимися степенями. Рассмотрим, например, изображенный на рис. 8.14(a) треугольный элемент, построенный при помощи квадратичного поля перемеще­ ний, функция формы для которого подробно изучалась в разд. 8.5. Предположим, что необходимо исключить узел ПО. Можно потре­ бовать, чтобы перемещение вдоль данной стороны было линейно;

прямоугольных областей. Например, выше была указана необхо­ димость исключения внутреннего узла изображенного на рис. 8.7(b) прямоугольного элемента с биквадратным полем перемещений. Пе­ ремещение в этой точке можно задать в виде среднего значения от перемещений на серединах сторон: A6=V 4(A2+ A 4+ A e+ A 8). Можно также включить при усреднении и узлы в вершинах прямоуголь­ ника с помощью взвешенного учета соответствующих степеней свободы. Таким образом, можно выписать набор различных выра­ жений в терминах заданной сокращенной системы степеней свободы.

Более элегантный подход [8.10] к построению специальных функ­ ций перемещений можно осуществить с помощью процедуры, вклю­ чающей суперпозицию отдельных функций перемещений. Прежде чем приступить к реализации данного подхода, который здесь будет использован только для прямоугольных элементов, удобно выра­ зить функции формы в терминах безразмерных координат (£, ri) с началом в центре прямоугольника. В этой связи функции формы для прямоугольников задаются в физической системе координат (х, у), начало которой расположено в вершине прямоугольника.

Чтобы осуществить это преобразование (см. рис. 8.18(a)), ис­ пользуем соотношения 1=(х—х5)/(хъ—хг) и г] = (у—у ъ)1{уъ—#0 , где хъ и уъ— координаты центра прямоугольника, а ^ и у г— коор­ динаты нижней левой вершины. Тогда безразмерные координаты четырех угловых точек всегда равны + 1 или —1 .

Рассмотрим теперь построение функции формы для прямоуголь­ ного элемента с биквадратным полем перемещений, в котором не­ обходимо исключить внутреннюю точку (см. рис. 8.18(a)). Функцию формы для лежащего на стороне элемента узла 2 можно получить в виде произведения квадратичной функции (1—£2), соответствую­ щей направлению вдоль рассматриваемой стороны, и линейной функ­ ции V2(l—rj) для перпендикулярного направления. Поэтому пол­ ная функция формы для этой точки равна N 2=1/2(1—Е2) 0 —л)- Построение функции формы для угловой точки приводит к более сложной задаче. Во-первых, как показано на рис. 8.18(b) для точки

8.8. Изопараметрическое представление [3.11]

Изопараметрические элементы — это элементы, в которых функции, используемые для представления поведения при деформировании, используются также и для описания геометрических характеристик элемента. Построение изопараметрического элемента представляет собой «преобразование» безразмерного прямоугольного элемента с заданным числом узлов в реальный криволинейный элемент с тем же числом узлов. Так, если функции, задающие поле переме­ щений в формулировке, основанной на принципе минимума потен-

Рис. 8.19. Изопараметрические элементы.

циальной энергии, суть кубические полиномы, стороны элемента описываются теми же кубическими функциями. Если межэлементно совместные поля перемещений выбираются для описания геоме­ трических характеристик элемента, то в объединенной аналитиче­ ской модели деформированный элемент состыковывается с любым подобным ему соседним элементом без разрывов геометрических характеристик.

В двумерном анализе простейшим четырехсторонним изопараметрическим элементом является изображенный на рис. 8.19(a) элемент, в котором для обобщения прямоугольника на случай про­ извольного четырехугольника используется линейное поле. Луч­ шее задание криволинейных сторон достигается для элементов более высокого порядка, например изображенных на рис. 8.19(b) и (с),

где квадратичные и кубические функции, используемые для пред­ ставления перемещений, применяются также для задания границ. Представляют, кроме того, практический интерес изображенные на рис. 8.19(d) и (е) элементы смешанного типа с различным числом узлов на каждой стороне и при наличии или отсутствии внутренних узлов.

Несущественно, что те же самые функциональные представления для перемещений используются и для задания геометрических ха­ рактеристик элемента. Если порядок функций, представляющих геометрические характеристики, ниже порядка функциональных представлений для перемещений, то рассматриваемые элементы называются субпараметрическими; если же порядок функций, за­ дающих геометрию, выше, то элементы называются суперпараметри­ ческими. Изопараметрические, суб- и суперпараметрические конеч­ но-элементные представления являются, пожалуй, наиболее важ­ ными при анализе трехмерных упругих тел. Соответствующие вопросы рассматриваются в гл. 10. Трехмерный анализ обычно тре­ бует чрезвычайно большой памяти ЭВМ. Если конструкция имеет криволинейную поверхность, то при регулярном конечно-элемент­ ном представлении обычно требуется большое число элементов для воспроизведения геометрических характеристик конструкции без существенного улучшения в представлениях полей напряжений или перемещений. Поэтому представление с помощью изопараметрических элементов уменьшает затраты на описание геометрии.

Для описания операций, выполняемых при построении изопараметрических элементов, достаточно рассмотреть двумерный слу­ чай. На первом шаге требуется задать систему безразмерных коор­ динат (£, у\) с началом в центре элемента. Эти операции рассмотре­ ны в разд. 8.7 для плоского прямоугольного элемента. Заметим

ника, а ^ и ух— координаты нижней левой угловой точки. Вспом­ ним также, что безразмерные координаты четырех угловых точек

билинейной интерполяции, например, имеем (для узлов, опреде­ ленных на рис. 8.19(a))

L N j =V 4L (1—Ю(1—'п) (1+ 0 (1- 11) (1 + 0 (1+л) (1 0(1+ч) J •

Определим функции формы, которые в силу сказанного записы­ ваются в виде |_ N (I, л) J . и зададим координаты х н у элемента в виде

где {х} и {у} включают координаты х и у узловых точек элемента,

Чтобы построить матрицу жесткости элемента, необходимо най­ ти деформации, которые в свою очередь являются производными по х и у от перемещений. Однако теперь перемещения являются функ­ циями от координат £ и г]. Следовательно, необходимо найти связь между производными по х и у и производными по £ и т]. Это можно осу­ ществить, применяя правило дифференцирования сложных функций. Получим

Как принято в матричной алгебре, матрица первых производных,

Аналогично находятся выражения для Лг, J и и J 22.

Левая часть соотношения (8.37) задана, а вектор в правой части следует найти. Поэтому для получения требуемой информации, необходимо обратить [J]. Может случиться, что проектировщик задает систему реальных узлов (т. е. координаты узлов х\, и т. д.), которая недопустима, т. е. возникает ситуация, когда матри­ ца [J] вырождена. Операция обращения матрицы [J] чувствительна к определенным отклонениям от основной прямоугольной формы и, кроме того, к местоположению узлов на сторонах элемента [8.13I. Для биквадратных элементов, например, лучше всего располагать узлы в средней точке между соседними узлами, лежащими в вер­ шинах.

Теперь можно изучить вопросы использования изопараметрических элементов при построении матрицы жесткости элемента. Соот­ ношения между деформациями и перемещениями имеют обычный вид 8 = [D] {Л}, где деформации е относятся к декартовой системе координат (х, у). Поэтому [D] содержит производные функций фор­ мы по декартовым координатам. Для плоского состояния имеем, согласно (5.22),

(8.39)

Поэтому для определения [D] необходимо использовать преобра­ зование (8.37).

Соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид <т=[Е]е, а элементарная площадь dx dy при интегрировании заме­

где | J | — детерминант матрицы [J ]. Кроме того, интегрирование выполняется в пределах от —1 до +1. Теперь можно записать обыч­ ную формулу для матрицы жесткости элемента (6 .12а), выбирая в направлении z единичную толщину:

Т 1 I 1

п о - $ [D]T [Е] [D] dA = 5 $ [D]T [Е] [D] det | J | сЩdy\ . (8.41)

Очевидно, что выражение для [J] является весьма сложным даже в простейшем случае билинейного элемента. Поэтому задание яв­ ных выражений для [к] невозможно, и коэффициенты матрицы долж­ ны определяться путем численного интегрирования [8 .121.

В связи с вопросами выбора функций формы для изопараметрического представления интересно отметить, что, если моды движе­