1306

Рис. 2. Динамика антигенов

Обсуждение

Предложенный способ управления позволяет перевести хроническую форму заболевания в острую с выздоровлением. Рассмотрены случаи с различным периодом введения донорских антител. Сравнение полученных программ лечения будем проводить по объёму введения донорских антител, который определяется по формуле

Для программ лечения, представленных на рис. 1, имеем следующие величины: а – Q = 9,47; б – Q = 7,63; в – Q = 6,08. Из анализа представленных результатов можно сделать вывод о том, что самым приемлемым является вариант с продолжительностью введения донорских антител, равной четверти суток, так как в этом случае наблюдается наименьший объём введения донорских антител и наименьшая продолжительность лечения.

Список литературы

1.Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. – М.: Наука, 1980. – 264 с.

2.Болодурина И.П., Луговскова Ю.П. Оптимальное управление иммунологическими реакциями организма человека // Проблемы управления. – 2009. – № 5. – С. 44–52.

3.Русаков С.В., Чирков М.В. Математическая модель влияния иммунотерапии на динамику иммунного ответа // Проблемы управления. – 2012. – № 6. – С. 45–50.

УДК 531.384

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ФИГУРНОГО КАТАНИЯ

Н.С. Шабрыкина

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Россия, 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, shabrykina@yandex.ru

Ключевые слова: биомеханика, фигурное катание.

Введение

Фигурное катание является уникальным видом спорта, в котором эстетические качества программ сочетаются с высокой технической сложностью основных элементов: шагов, вращений, прыжков. Математическое моделирование может быть использовано для анализа индивидуальной техники фигуриста, поиска путей улучшения техники катания, определения оптимальных параметров исполнения элементов.

Несмотря на большое количество вопросов, стоящих перед биомеханикой фигурного катания, количество исследований, посвященных этому виду спорта, невелико. В научной литературе большая часть работ посвящена анализу экспериментальных данных для различных прыжков, полученных с помощью видеосъемки [1–3], или построению имитационных компьютерных моделей движения тела фигуриста в фазе полета [4–6]. В работах по биомеханике спорта часто используются многозвенные модели тела человека, с помощью которых вычисляются реакции в суставах и суставные моменты при исполнении различных спортивных движений. В работах такого типа, посвященных биомеханике фигурного катания [7–8], исследуется движение тела фигуриста в фазах отталкивания перед прыжком и приземления после прыжка для изучения возможности получения травм суставов. Попытки математического описания непрыжковых элементов фигурного катания присутствуют только в работах выдающегося российского тренера А.Н. Мишина [9]. Им предложены простейшие модели движения фигуриста по дуге, вращения вокруг неподвижной вертикальной оси и исполнения тодеса.

В данной работе построены математические модели реберного скольжения по дуге, вращения в положении стоя, захода на прыжок.

Математическая постановка задачи

В основе практически всех элементов фигурного катания лежит реберное скольжения по дуге, при котором опорная нога фигуриста отклонена от вертикали, лезвие касается льда только одним ребром. Фигурист при этом движется по дуге, радиус кривизны которой зависит от угла наклона лезвия конька.

264 Всероссийская конференция «БИОМЕХАНИКА – 2014»

Рассмотрим материальную точку, движущуюся по некоторой траектории. При этом сила реакции опоры N направлена под углом α(t) к оси Oz и лежит в плоскости Oyz (рис. 1).

Рис. 1. Силы, действующие при реберном скольжения по дуге

Тогда второй закон Ньютона в проекции на естественные оси имеет вид

где m – масса фигуриста; aτ и an – тангенциальное и нормальное ускорение; Fтр – сила трения.

С помощью (1) определяется радиус кривизны траектории движения

где ρ(t) – радиус кривизны траектории; V (t) – скорость фигуриста; µ – ко-

эффициент трения.

Вращение «винт» выполняется в положении стоя. При этом предполагается, что фигурист вращается вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через центр масс. Вращение состоит из нескольких фаз: заход на вращение (скольжение по дуге), группировка (подтягивание к телу рук и свободной ноги), вращение в группировке, выезд.

При заходе на вращение фигурист набирает начальную угловую скорость за счет скольжения по дуге. Для описания фаз группировки и вращения в группировке используется основное уравнение динамики вращательного движения:

где I(t) – момент инерции тела; ω(t) – угловая скорость; d – расстояние

между осью вращения фигуриста и участком контакта конька со льдом. Следует отметить, что в ходе выполнения группировки момент инерции

тела фигуриста уменьшается, при вращении в группировке момент инерции не меняется. В результате анализа видеосъемки вращений был предложен вид функции, описывающей изменение момента инерции:

вращения фигуриста в воздухе. При этом зависимость момента инерции от времени (4) должна содержать дополнительно фазу разгруппировки – увеличение момента инерции, которое достигается за счет открытия рук и выведения свободной ноги в сторону.

Результаты

Уравнение (2) позволяет по известной начальной скорости движения и характеру зависимости угла наклона лезвия конька от времени определить траекторию движения конька. Так, при увеличении угла наклона со временем конек описывает траекторию в виде закручивающейся спирали. Следует отметить, что результаты моделирования дают хорошее соответствие (как качественное, так и количественное) с экспериментальными данными.

Рис. 2. Траектория движения (а) и угол наклона лезвия конька при выполнении петли (б)

Представленная модель позволяет определить алгоритм движения конька для получения определенной траектории. На рис. 2 представлены траектория движения и угол наклона лезвия конька при исполнении одной из обязательных фигур – петли.

266Всероссийская конференция «БИОМЕХАНИКА – 2014»

Спомощью предложенной модели были выявлены факторы, влияющие на качество исполнения вращения, основными показателями которого являются количество выполненных оборотов и скорость вращения. Анализ результатов моделирования показывает, что наиболее эффективные способы

улучшить эти параметры – увеличить угол наклона лезвия к вертикали и уменьшить начальную скорость скольжения по дуге при заходе на вращение. Также количество оборотов можно увеличить за счет более длительного скольжения по дуге при заходе на вращение или за счет уменьшения радиуса окружности, которую описывает лезвие при исполнении вращения. Изменение скорости группировки слабо влияет на качество вращения.

Сложность прыжков в фигурном катании напрямую зависит от количества оборотов, совершаемых фигуристом в воздухе. Этот фактор зависит от начальной угловой скорости, которую фигурист приобретает при заходе на прыжок, и качественной группировки в воздухе. Для некоторых прыжков (сальхов, ритбергер) движение по дуге является одним из основных способов набора начальной угловой скорости. Тем не менее результаты моделирования показывают, что использование только этого механизма не позволяет совершить прыжок более чем в один оборот. Для исполнения многооборотных прыжков необходимо использовать и другие приемы (мах свободной ногой, движение рук и корпуса).

В данной работе построены математические модели следующих элементов фигурного катания: скольжения по дуге, вращения винт, вращения фигуриста в воздухе при исполнении некоторых прыжков. Выявлены параметры, оказывающие наибольшее влияние на качество исполнения данных элементов.

Список литературы

1.King D. Performing Triple & Quadruple Figure Skating Jumps: Implications for Training // Canadian Journal of Exercise Physiology. – 2005. – No. 30(6). – P. 743–753.

2.King D. Generation of Vertical Velocity in Toe-Pick Figure Skating Jumps // Proc. of 19 International Symposium on Biomechanics in Sports. – San Francisco, 2001. – P. 66–69.

3.Knoll K., Hildebrand F. Optimum Movement Coordination in Multi-Revolution Jumps in Figure Skating // Proc. of 16 International Symposium on Biomechanics in Sports. Konstanz, Germany. – Konstanz, 1998. – P. 217–220.

4.Kepple T., Trager S., Mattson J., Richards J. Computer Simulation of the Flight Phase of Figure Skating Jumps // Proc. of Iutam Symposium on Human Movement Analysis and Simulation. Iutam, 2010. – P. 123–125.

5.King M. Computer Simulation Modelling in Sports Biomechanics // Portuguese Journal of Sport Sciences. – 2011. – Vol. 11, no. 2. – P. 19–22.

6.Knoll K., Hartel T. Biomechanical Conditions For Stabilizing Quadruple Figure Skating Jumps As A Process Of Optimization // Proc. of ISBS. – Beijing, China, 2005. – P. 134–137.

7.Kho M.E. Bone-on-Bone Forces at the Ankle and Knee in Figure Skaters during Loop Jumps: Clinical Implications // A thesis for the degree of Master of Science in Kinesiology. Waterloo, Canada, 1996. – 152 p.

8.Bruening D.A., Richards J.G. Individual Landing Strategies in Figure Skating Jumps // Annual Meeting of the American Society of Biomechanics. – Virginia Tech, Blacksburg, 2006. – P. 210–212.

9.Мишин А.Н. Биомеханика движений фигуриста. – М: Физкультура и спорт, 1981. – 144 c.

УДК 539.3

ОЦЕНКА МЕХАНИЧЕСКИХ И ЭСТЕТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ДЕМИНЕРАЛИЗОВАННОЙ ЭМАЛИ ЗУБА ДО И ПОСЛЕ ИНФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОТЕКУЧИМ СВЕТОКОМПОЗИТОМ

М.А. Шакуля1, О.С. Гилева1, А.Л. Зуев2, А.Л. Свистков2, А.Ю. Беляев2, Р.И. Изюмов2, А.И. Нечаев3

1Пермская государственная медицинская академия им. акад. Е.А.Вагнера Минздрава России, Россия, 614000, г. Пермь, ул. Петропавловская, 26.

2Институт механики сплошных сред УрО РАН, Россия, 614000, г. Пермь, ул. Академика Королёва, 1. 3Институт технической химии УрО РАН, Россия, 614000, г. Пермь, ул. Академика Королёва, 3.

Ключевые слова: кариес, инфильтрант, очаг деминерализации эмали, индентирование.

Введение

Несмотря на очевидные успехи в области профилактической и консервативной стоматологии, кариес зубов по-прежнему остается самым распространенным стоматологическим заболеванием населения многих стран мира [1, 2], что во многом связано с проблемами диагностики и лечения его начальных форм, проявляющихся очаговой деминерализацией эмали (ОДЭ). В последние годы в этих целях для лечения ОДЭ стал использоваться принципиально новый реставрационный композитный материал – инфильтрант (И) Icon, по мнению зарубежных специалистов, способный пассивно диффундировать в порозную структуру деминерализованной эмали (ДЭ), обтурировать микропоры и межпризменные пространства, создавать внутренний барьер для кислотного фактора, препятствовать прогрессированию кариеса [8, 10]. Немногочисленные исследования указывают на достаточно высокую клиническую эффективность применения метода кариес-инфильтрации (К-И) при лечении пациентов с кариесом эмали (КЭ) [1, 2, 8, 10, 11]. Отдаленные результаты К-И изучены недостаточно и нуждаются во всесторонней интерпретации на основе комплексных оценочных критериев, учитывающих динамику клинических и физико-механических свойств проинфильтрированной композитом ДЭ. Нуждается в углубленном изучении особый клиникопатогенетический вариант КЭ, проявляющегося после ортодонтического лечения с использованием брекет-систем. Закономерности развития этого процесса могут быть изучены in vitro на адекватной экспериментальной модели искусственного КЭ, позволяющей на принципах физического материаловедения проанализировать упруго-механические свойства и структуру новообразуемой структурно-неоднородной среды – проинфильтрированной светокомпозитом ДЭ на макро-, мезо- и микроскопическом уровнях.

Материалы и методы

Материалом для экспериментального исследования послужили 40 удаленных по ортопедическим и ортодонтическим показаниям зубов, на 32 из которых (резцы и клыки) моделировали искусственный кариес по авторской методике, а на коронках 8 из которых (клыки и премоляры) уже определялся КЭ. Методика создания искусственного КЭ основана на особом технологическом режиме действия деминерализирующего геля оригинального состава, разработанного в лаборатории многофазных дисперсных систем ИТХ УрО РАН, на область «открытого эмалевого окна» по периферии брекета, фиксируемого на коронке фронтального зуба. Зубы со сформированной ОДЭ помещали в специальный пластиковый бокс для оптимального хранения биоматериала. Визуальные признаки ОДЭ (формирование кариозного пятна с типичными цвето-текстурными, топографическими, геометрическими

идругими характеристиками) были подтверждены результатами сканирующей электронной микроскопии (СЭМ), на аппарате Evex Mini-SEM HR-3000 в специализированном низковакуумном режиме для биологических объектов. Экспериментальные исследования топологии поверхности эмали зубов проводили с помощью атомно-силовой микроскопии (АСМ, Nano-DST) и инденторной установки NanoTest-600. В развитие существующего картографического метода исследования микроструктуры поверхности отбеленного зуба (О.С. Гилева и соавт., 2010) нами впервые для исследования структуры поверхности интактной эмали (ИЭ) и ДЭ зуба был предложен оригинальный способ картографирования (РП № 2596 от 25.09.2012). Все данные о рельефе поверхности эмали, полученные с помощью АСМ и наноиндентирования, подвергались компьютерной аппроксимации, вся исследуемая поверхность разбивалась на участки «возвышенностей» (высотой от +200 нм до +400 нм), «равнин» (от 0 до +200 нм), «низменностей» (глубиной от 0 до –200 нм), «углублений» (от –200 нм до –400 нм) и «впадин» (от –400 нм и более) относительно рассчитанного нулевого уровня. Проводили структурный и количественный анализ рельефа поверхности, вычисляя размер, профиль и площадь (в процентах) его составляющих. Исследование микромеханических свойств эмали методом наноиндентирования осуществляли с помощью инденторной установки NanoTest-600, измеряя приведённый модуль (Er, ГПа) и показатель микротвердости материала (H, ГПа) по методике Оливера-Фара. Микроиндентирование образцов эмали зуба проводили на микротвердомере ПМТ-3. Экспериментальный анализ цветовых характеристик интактной эмали (ИЭ)

иДЭ с помощью цветовой RGB-модели проведен с помощью фотосканера Epson, V750 PRO и программного редактора PhotoShop CS8. Расчет показателей цветовой RGB-модели (РП № 2616 от 18.04.2013) количественно объ-

ективизировал цветовые различия между ОДЭ и перифокальной ИЭ до и после кариес-инфильтрации по показателям ∆GM и ∆BY, ∆IGM и ∆IBY.

Результаты

СЭМ аттестация микроструктуры эмали показала, что при увеличении в 50 раз в участке искусственно созданной ОДЭ в области перифокального брекету «открытого эмалевого окна» и под брекетом образуются зоны деструкции эмали глубиной от 200 до 450 мкм (рис. 1). Очаг искусственного кариеса, как правило, имел форму треугольника, верхушкой обращенного к эмалево-дентинной границе, основанием – к вестибулярной поверхности зуба. Нередко 2–3 треугольных очага деструкции имели общее основание и разную глубину поражения, однако последняя, как правило, не превышала 450 мкм. На поверхности очага нередко определяли гиперминерализованный слой толщиной 10–40 мкм. По данным СЭМ, при увеличении в 500 раз (см. рис. 1) в очаге искусственного кариеса определялись грубые изменения поверхности и микроструктуры эмали: расширение или разрушение межпризменных пространств, деструкция и утрата четкости «рисунка» расположения эмалевых призм и др.

Рис. 1. Очаги искусственного КЭ по данным СЭМ: а – ув. ×50; б – ув. ×500

Выявленные по результатам СЭМ микроструктурные изменения эмали в очаге искусственного кариеса полностью укладывались в классическое описание ультраструктурных особенностей начальных стадий кариеса, развивающегося in vivo под действием кариесогенных факторов (Боров-

ский Е.В., 2001; Горбунова И.Л., 2008; Wefel J.S., 1984; Paris S., 2007). Ре-

зультаты СЭМ в заданных экспериментом условиях подтвердили клиникофункциональные признаки искусственной ОДЭ, наблюдаемые на макроуровне.

Рельеф поверхности ИЭ зуба представлен преимущественно «равнинами» (от 0 до +200 нм) и «возвышенностями» (от +200 нм до +400 нм) относительно расчётного нулевого уровня (50,1 и 25,6 % случаев). Пространственный рельеф поверхности ДЭ кардинально изменяется. Границы его основ-

ных структур становятся более размытыми, извилистыми, в 5–10 раз снижается представительство зон «возвышенностей» и «равнин», доминируют (до 63,2 %) новые «минусовые» структурные элементы – «низменности» (от 0 до –200 нм), «углубления» (от –200 нм до –400 нм) и «впадины» (от –400 нм и более). Глубина деструкции ДЭ достигает – 400 нм. На картограмме поверхности ДЭ после кариес-инфильтрации визуально определяется восстановление исходной цветовой гаммы структурных элементов за счет исчезновения глубоких «впадин», уменьшения площади «углублений» на 19,7 %. Рельеф проинфильтрированной ДЭ представлен такими уровнями, как «равнины» 52,3 %, «возвышенности» 29,1 % и «низменности» 13,6 %.

Рис. 2. Частотное распределение (%) различных составляющих рельефа поверхности эмали зуба в сравнительном аспекте

После инфильтрации очага деминерализации высокотекучим композитом по технологии Icon рельеф поверхности ремоделированной эмали сглаживается, утрачивает шероховатость, частотное распределение, размеры и площадь его геометрических составляющих поверхности приближаются к показателям ИЭ (рис 2).

Результаты наноиндентирования пораженной КЭ с учетом его топографии указывают на прогрессивное снижение показателя микротвердости эмали при переходе от ИЭ к зонам, перифокальным ОДЭ, а затем к её собственно центральной зоне. Результаты аттестации микромеханических свойств ИЭ характеризуют её как высокопрочный и высокоупругий биоматериал (Н = 5,00±1,12 ГПа, Er = 95,0±9,5 ГПа). Установлено, что микротвердость поверхностного, более минерализованного слоя эмали достоверно выше, чем таковая у подповерхностных и центральных слоев эмали, что подтверждает патогенетическую направленность кондиционирования эмали на этапах К-И. Инициация кариеса, формирование кариозного пятна сопровождается достоверным (p < 0,001), почти 10-кратным снижением микротвердости и двухкратным снижением показателя её упругости (соответственно до 0,58±0,30 ГПа и 30,7±10,7ГПа). По итогам наноиндентирования, фотополи-