1139

ство наблюдений не достигнет выбранного заранее по форму­ ле числа п (в примере с химзаводом максимальное число анализов п= 4). Ясно, что при таком способе проверки ги­ потезы число необходимых наблюдений будет в большинстве случаев значительно меньше первоначально выбранного п.

Разумеется, последовательное увеличение числа наблю­ дений неприемлемо там, где наблюдения проводятся заранее намеченными сериями и добавление новых наблюдений со­ пряжено с большими трудностями. Например, при изуче­ нии некоторого процесса фотоспособом число снимков нуж­ но определять заранее, иначе для каждого нового снимка

ко теперь ее нужно принимать, если

x > u ' - * Y n '

Обе эти гипотезы односторонние и проверяются с помощью односторонних критериев.

Если же проверяется двусторонняя гипотеза а= 0 (ни больше, ни меньше), то для проверки нужно применить дву­ сторонний критерий. Пусть, по-прежнему, вероятность от­ клонить верную гипотезу равна а, а вероятность принять гипотезу, в то время как на самом деле |а|^6, равна |3.

Тогда число наблюдений определится формулой

п = f u l_aL + ^l-^

2

и гипотеза признается справедливой только, если среднее х одновременно удовлетворяет двум неравенствам:

Мы рассмотрели вопрос о выборе числа параллельных наблюдений, когда дисперсия наблюдений а2 известна за­ ранее. Если же а2 заранее неизвестна, то для оценок нужно применять критерий Стьюдента. Выбор числа наблюдений п при этом более сложен и в настоящей книге рассматри­ ваться не будет.

10.3. Последовательный анализ. В предыдущем пунк­ те приводились соображения, показывающие, что число наблюдений можно сократить, если по ходу анализа учиты­ вать уже сделанные наблюдения. Обобщением этой идеи служит разработанный Вальдом метод последовательного анализа. При этом методе после каждого нового наблюде­ ния решают, принять гипотезу, отклонить или продолжать испытания. Последовательный анализ позволяет сокращать число необходимых наблюдений в среднем в два раза по сравнению с обычными методами, фиксирующими число наблюдений заранее.

Последовательный анализ разросся сейчас в обширную теорию. Мы рассмотрим его применение только к анализу генерального среднего а наблюдаемой случайной величины. Допустим, что нам нужно сделать выбор между гипотеза­ ми а^.аг и (предполагается, что а1<а2). Вероятность принять гипотезу а ^ а 2, когда в действительности обозначим через а. Вероятность противоположной ошибки, т. е. принятия гипотезы a^.alt когда в действительности а ^ а 2, обозначим через (5. Числа а и (3 обычно малы и задают­ ся заранее.

Основная идея последовательного анализа заключается в следующем. При каждой совокупности наблюдений хъ х2, ...» хп мы можем найти вероятность рытого, что эти

264 .§ 10. ВОПРОСЫ П Л АН ИР О ВА НИ Я ЭКСПЕРИМЕНТА

наблюдения получены из совокупности с генеральным сред­ ним ах, и вероятность р"птого, что они получены из совокуп­ ности с генеральным средним а2. Согласно принципу мак­ симума правдоподобия (см. п. 7.3) на практике осуществ­ ляются события с максимальной вероятностью. Это значит, что при р'г^>Рп нужно считать более правдоподобным значе­ ние а=ах (а с ним и всю гипотезу Если же p"n>ph, то предпочтение нужно отдать второй гипотезе сС^а2.

Итак, все решается отношением правдоподобия Щ----

Рп

будет ли оно больше или меньше единицы. Ясно, однако, что в случае, когда отношение правдоподобия лишь немного отличается от единицы, предпочтение соответствующей ги­ потезе будет весьма сомнительным и лучше всего продол­ жить испытания. Точные показатели, насколько должно отношение правдоподобия отличаться о г единицы, чтобы между гипотезами можно было сделать уверенный выбор, определяются заданными вероятностями а и р . Вальд по­ казал, что гипотезу а^.ах можно принять, если

то испытания надо продолжать.

При каждом новом наблюдении границы для отношения правдоподобия не меняются, меняется лишь само отноше­ ние. Это облегчает применение последовательного анализа, позволяет его свести к простым алгоритмам.

Если наблюдаемая случайная величина имеет нормаль­ ное распределение с заранее известной дисперсией а2, то

данным, благодаря чему дальнейшая проверка ведется только по сумме проделанных наблюдений и их числу.

Последовательный анализ нормально распределенной случайной величины особенно удобно проводить геометри­ чески. Для этого после каждого наблюдения строят точку

Зерно поступает партиями, из которых берутся пробы на анализ. В связи с ошибками анализа и неоднородностью партий возникает средняя квадратичная ошибка результа­ тов, известная по большому числу предыдущих анализов и равная сг=0,24% Чтобы гарантировать доброкачествен­ ность, требуется браковать зерно, засоренное больше, чем на 6%, с вероятностью, не меньшей 0,95. Нежелательно

266 § 10 ВОПРОСЫ П Л А Н И Р О В А Н И Я ЭКСПЕРИМЕНТА

а = 1—0,90=0,10 и Р=1—0,95=0,05. Непосредственно вычисляем:

Область продолжения анализов будет ограничена прямыми

у = —8,31+5,9/2, //=13,10 + 5,9/2,

которые построены на рис. 30.

Анализ первой пробы из партии зерна дал результат 4,2%. Ему соответствует на рис. 30 точка Мх с абсциссой п= 1 и ординатой //=4,2. Точка Мх находится в «полосе продолжения испытаний», поэтому берем вторую пробу. Ее

'Ъ

Зерно

доброначестбенное

Рис. 30

анализ дал результат 3,9%, что соответствует точке М2 с абсциссой п= 2 и ординатой //=4,2+3,9=8,1. Испытания снова нужно продолжать. Третий анализ дал значение 3,6%; ему соответствует точка М 3 с абсциссой п= 3 и орди­ натой //=8,1 +3,6= 11,7. Четвертому анализу с результа­ том 4,0% соответствует точка М4 (л= 4, у —15,7). Наконец, пятая точка М5, соответствующая еще одному анализу с результатом 4,4%, получает координаты п = 5, //=15,7 + +4,4=20,1, и выходит за пределы «полосы продолжения ис­ пытаний» вниз. Партию зерна нужно считать доброкачест­ венной.

Может показаться, что доброкачественность зерна вид­ на уже из первого анализа. К сожалению, такой вывод по­ спешен, так как из-за высокого значения а мы не можем га­ рантировать заданные вероятности ошибок а и (3.

Для решения поставленной задачи с помощью метода последовательного анализа нам понадобилось пять наблю­ дений. Если же мы захотим определить число наблюдений п заранее по формулам предыдущего пункта, то мы получим

т. е. классический метод потребовал бы 13 анализов! Пре­ имущества последовательного анализа неоспоримы.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Г. К р а м е р , Математические методы статистики, ИЛ, М. (1948). Полное и систематическое изложение математической статистики. Все утверждения строго доказываются, для используемых распре­ делений выводятся все необходимые формулы. В полном объеме книга доступна лишь лицам, имеющим специальное математичес­ кое образование, однако написана она очень простым и ясным язы­ ком, благодаря чему отдельные разделы книги доступны даже на­ чинающим. Особую ценность представляет четкая постановка ос­ новных задач математической статистики.

2.Б. В. Г н е д е н к о , Курс теории вероятностей, Гостехиздат, М. (1954).

Учебник по теории вероятностей для математических фа­ культетов университетов. Содержит систематическое и ясное из­ ложение основ этой теории, снабженное большим количеством примеров. В конце книги излагаются элементы статистики, глав­ ным образом, с вероятностной точки зрения. Отдельные разделы

Небольшая и весьма доступная широкому кругу читателей кни­ га. Изложение ведется исключительно в рецептурной форме. Тон­ кие и сложные вопросы математической статистики раскрываются в основном на удачно подобранных примерах, которых в книге очень много. Особую ценность составляют разделы, посвященные планированию эксперимента, а разделы, посвященные дисперси­ онному анализу, хотя и изложены очень нестрого, но по полноте почти не имеют себе равных. К недостаткам книги относятся дог­ матизм изложения и отсутствие общих постановок задач, что не­ сколько затрудняет дальнейшую самостоятельную работу чита­ теля.

6-В. В. Н а л и м о в, Применение математической статистики при ана­ лизе вещества, Физматгиз, М. (1960).

Несмотря на узкую направленность, книга содержит подробное и доступное изложение общих основ математической статистики. Длятех же, кто работает ваналитическихлабораториях.она просто незаменима как настольное пособие. Особую ценность представ­ ляют большие разделы, посвященные дисперсионному анализу и линейной регрессии.

7. Я. Б. Шо р , Статистические методы анализа и контроля качества и надежности, «Советское радио», М. (1962).

Книга посвящена общим вопросам статистической обработки опытных данных, а также методам исследования качества и на­ дежности продукции. Изложение весьма лаконично, что, однакч, искупается его необычайной ясностью и обилием удачных приме­ ров. Наряду с нормальным, в книге изучается большое количест­ во других специальных распределений. Особую ценность пред­ ставляет раздел, посвященный обработке опытных данных в слу­ чае нестабильных условий испытаний. Большое количество ре­ цептов и таблиц делает книгу ценным справочным пособием.

8. Б . М. Щ и г о л е в, Математическая обработка наблюдений, Физмат­ гиз, М. (1962).

Книга рассчитана в основном на представителей «точных наук» — физиков, астрономов. Поэтому большое место занимают в ней во­ просы нестатистической обработки данных — точечное интерпо­ лирование, действие с приближенными числами. Подробно осве­ щены также способы обработки неравноточных измерений и мето­ дика подбора и анализа эмпирических формул.

9. Я. Я н к о, Математико-статистические таблицы, Госстатиздат, М. (1961).

В книге содержатся почти все используемые в математической ста­ тистике таблицы, а также графики и номограммы, составленные с высокой степенью точности. Особую ценность представляет об­ ширное введение, где в сжатой форме излагается большинство современных статистических методов обработки наблюдений. Из­ ложение сопровождается большим количеством примеров, а также подробными списками литературы.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Т а б л и ц а I