773

Замечание.

Уравнения

р = a sin fap ,

р - a cosfap,

где

а >0Уk e N , к >2, определяют в полярной системе

координат линии,

называемые розами,

причем, если

к - четное число, то у розы

2к

и тройками чисел

х, у, z - их координатами.

Свойство, общее для всех точек поверхности, можно записать в виде

уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности.

Уравнением поверхности в декартовой прямоугольной системе

координат Oxyz называют такое уравнение

F (x ,y ,z) = Q,

(14.1)

которому

удовлетворяют координаты точек,

лежащих

на

этой

поверхности, и не удовлетворяют координаты точек,

не лежащих на этой

поверхности.

Заметим, что уравнение (14.1) может определять не поверхность, а

точку, или вовсе не иметь

геометрического образа.

Например, уравнение

(* - 1)2 + у 2 + z2 -1 = 0 определяет сферу с центром в точке 0'(1;О;О)

радиуса

R = I ; уравнению

( * - 1)2 + у 2 + z2 = 0

удовлетворяет

только

одна

точка О;0;о); а уравнение

( x - l ) 2 + y ^ + z 2 +\ = 0

вообще не имеет

Ax + Dy + Cz + D = 0

(14.2)

а . Тогда уравнением плоскости

а относительно

выбранной системы

координат будет алгебраическое

уравнение первой

степени 2 = 0, т.к.

Ахо + Ву0 + Cz0 + D - 0.

(14.3)

Вычитая из уравнения (14.2) тождество (14.3), получим уравнение

А(х- *0)+ б (у -у 0)+ c (z - го) = °э

(14-4)

эквивалентное уравнению (14.2).

Покажем, что уравнение (14.4) определяет

уравнение

плоскости а ,

проходящей

через

точку

л^С чь-Уо^ о) и

перпендикулярной вектору

п = {А,В,С)

( п

ненулевой вектор, т.к. хотя бы одно из чисел

А, В, С отлично от нуля).

Рис. 58.

Действительно, если точка

M(x,y;z)

лежит на указанной плоскости а ,

то векторы

п = {ЛУВ,С}

и

А/0Л/ = { х - х 0, у - y 0, z - z 0] ортогональны,

следовательно,

их

скалярное

произведение

равно

нулю:

А(х - х0)+ в(у - y Q)+ c (z - z0) = 0 . Если же точка

M (x;y;z)

не лежит на

плоскости

а, то векторы

п и

МпМ

не ортогональны и, следовательно,

Уравнение (14.2), в котором

хотя бы один из коэффициентов А, В, С

отличен от нуля, называется общим уравнением плоскости.

Вектор

п = {А,В,С}-,

перпендикулярный

плоскости,

называется

нормальным вектором плоскости или нормалью.

Общее уравнение плоскости (14.2) называется полным, если все

коэффициенты

А,В,С, D

не равны нулю.

Если хотя бы один из коэффициентов AyB,CyD равен нулю, то

уравнение (14.2) называется неполным.

Неполные уравнения плоскости

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений плоскости.

1) Если

D =o, то уравнение принимает вид Ax+ By+Cz =о, в этом случае

плоскость

проходит через начало координат, т.к. точка 0(0;0;0) удовлетворяет

этому уравнению.

2)

Если

А=о,

то

уравнение

By+Cz + D = о

определяет

плоскость,

параллельную оси Ох.

3) Если В=0, то уравнение Ax+Cz+D=0

определяет

плоскость,

параллельную

оси Оу.

4)

Если

с =0,

то

уравнение

Ax + By + D = о

определяет

плоскость,

параллельную оси Oz.

5)

Если

A= D- о,

то

уравнение

By+Cz =о

определяет

плоскость,

проходящую через ось Ох.

6)

Если

J9 =D =o,

то

уравнение

Ax+Cz=0

определяет

плоскость,

проходящую через ось Оу.

7)

Если

С-D=0,

то

уравнение

Ах+ Ву= о

определяет

плоскость,

проходящую через ось Oz.

8) Если

А= В =0, то плоскость Cz+D= Q проходит параллельно плоскости

хОу.

Х - Х {

У - У х

2 ~ Z \

(14.6)

х 2 - Х \

У 2 - У \

-2 - z \ = 0 .

Х з ~ Х ]

У з - У ]

Z3 “ Z,

Нормальное уравнение плоскости

Рассмотрим некоторую плоскость а. На

плоскость а опустим перпендикуляр ОР из

начала координат (рис. 60).

На

ОР

возьмем единичный вектор

п,

направление

которого

совпадает

с

направлением

ОР , (если плоскость

а

Рис. 60.

проходит

через

начало координат,

то направление вектора п

выбирается произвольно). Введем обозначения:

направляющие

косинусы

вектора

обозначим

cos a,

cos р,

cosy

Составим уравнение плоскости а . Возьмем любую

п

и

п - {cosa; cos /?;cos у),

последнее уравнение в координатной форме примет вид

х cos а + у cos Р + z cos у ~ р = 0.

(14.7)

при х , у ,

z

равна единице (тождество для направляющих косинусов)

и

коэффициент

р > О

(т.к.

р

- расстояние от

начала координат

до

плоскости).

Для

приведения

общего

уравнения плоскости

Ax + By + Cz + D =0

к

нормальному

виду

его

следует

умножить на нормирующий множитель

и = ± .

- ..., ,

при

этом знак

ц выбирается противоположным знаку

J A 2 + B 2+C 2

Пусть заданы точка

М'[х*\y \ z ' )

и

плоскость

а своим

общим

уравнением

Ax + By + Cz + D =0.

Расстояние d

от точки

Л/* до

плоскости а

вычисляется

по

формуле

Рис. 61.

U - JC +В-у +С ■:Чд|

(14.8)

d = L

<JA 2 + B Z +C *

Вывод формулы (14.8) такой же, как вывод формулы расстояния от

точки

М'{х*\у')

до

прямой

Ах + Ву + С =0.

Предлагается доказательство

формулы (14.8) провести самостоятельно.

Если

же

плоскость

а

задана

нормальным

уравнением

*cosa + ycos/? + zcos7'- p = 0, то расстояние d

от

точки M*(x‘\ y \ z ' ) до

плоскости вычисляется по формуле

d = |x*cosa + y*cos/? + z*cos7'- p |

(14.9)

Пример 14.2. Вычислить расстояние от точки

/*(—1;1;—2)

до плоскости

а , проходящей через точки

Л^б;-!;!), М2(-2;1;3), Л/3(4;-5;-2).

Решение.

Составим уравнение

плоскости

а , используя

формулу (14.6):

х - \

у + 1

z - 1

- 3

2

2

= 0

3

- 4

- 3

Раскроем определитель по первой строке

(х -

1)(-6 + 8) -

(у + 1)(9 -

6) + (z -

1)(12 -

6) = 0

Упростив уравнение, получим общее уравнение плоскости а

2х —3у + 6 z - 11 = 0

Вычислим расстояние от точки Р

до плоскости а

по формуле (14.8):

л |2 ( - 1 ) - 3 1 + 6 ( - 2 ) - П |

28 ,

V4 + 9+ 36

7

Пересекаясь,

две плоскости образуют четыре двугранных угла,