589

Ввиду отсутствия сосредоточенного изгибающего момента, ордината эпюры М в начале участка II совпадает с ординатой эпюры М в конце участка I. Изгибающий момент на участке II изменяется по линейному закону и в конце участка

2

M x2 2 4 QII dx 4 2 3 10т·м.

.

На границе II и III участков на эпюре М необходимо отложить скачок в отрицательном (при рассмотрении слева направо) направлении и на величину изгибающего момента М=11т·м, действующего в этом сечении. Таким образом, в начале участка III изгибающий момент равен - 1 т·м.

Участок III делится поперечной силой на два участка с эпюрами Q. разного знака. Ввиду симметрии эпюры Q на этом участке, легко найти абсциссу точки пересечения эпюры Q с осью (нулевой линией) эпюры. Эта точка удалена от начала координат третьего участка на расстояние в I м (см. рис.3,б). Изгибающий момент

M x3 1 1 12 3 1 0,5 т·м.

В конце участка III изгибающий момент достигнет величины

M x3 2 0,5 12 3 1 1 т·м.

В начале следующего IV участка изгибающий момент также равен -1т·м. По длине участка М изменяется по линейному закону и на его конце

2

M x4 2 1 0Q x4 dx 1 1 2 3 т·м.

Эпюра изгибающих моментов представлена на рис.3, в.

41

Рис. 3. Пример выполнения работы 1.

Расчетная работа № 2. Определение нагрузки, действующей на балку, по известной эпюре изгибающих моментов.

Задание. По схемам закрепления балок и эпюрам изгибающих моментов, приведенным на рис.4, 5, построить эпюры поперечных сил и определить нагрузки, действующие на балки.

Содержание работы:

1.Разбить эпюру М на участки.

42

Рис. 4. Схемы к расчетной работе № 2 (варианты № 1-10).

43

Рис. 5. Схемы к расчетной работе № 2 (варианты № 11-20).

44

2.Используя дифференциальную зависимость dMdx Q и особенности

особенности эпюр М и Q, составить расчетную схему нагружения балки. 4.Проверить правильность нагружения балки составлением уравнений

равновесия. Указание:

Криволинейный участок эпюры М очерчен по квадратной параболе. Используя дифференциальные зависимости и особенности эпюр Q и М, можно решать обратную задачу: по заданной эпюре изгибающих моментов определять схему нагружения балки. Решение этой задачи рассмотрим на примерах.

Численные значения размеров и нагрузок для заданного варианта балки взять из таблицы №1.

Пример 1. По заданной эпюре изгибающих моментов (рис.6,а) построить эпюру поперечных сил и определить силы, действующие на балку.

Решение. Разобьем эпюру М на участки. Границами участков будут места изломов эпюры и скачок на эпюре. Выбранная система координат и участки показаны на рис.6, а.

На всех участках изгибающий момент изменяется по линейному закону. Это означает, что производная от момента по длине каждого участка, представляющая при данном значении аргумента x тангенс угла наклона касательной к графику функции в соответствующей точке с положительным направлением оси x и равная, согласно дифференциальной зависимости, поперечной силе Q, будет постоянной величиной.

Итак, на участке I функция М1 возрастает от нуля до 0,5P a , значит ее производная Q. положительна:

45

На участке III функция М3 убывает от Ра до -2Ра, а значит, ее производная Q3 отрицательна:

Q3 dM 3 Pa 2Pa 3P . dx a

На участке IV функция М4 возрастает от -2Ра до нуля, т.е. поперечная сила Q4 положительна:

Q4 dMdx4 2Paa 2P .

По найденным значениям строим эпюру поперечных сил (рис.6,б). В пределах каждого участка поперечная сила постоянна и, следовательно, балка нагружена сосредоточенными силами. Они приложены в точках А, В, С, Д, Е - этим точкам (сечениям) соответствуют скачки на эпюре Q. и изломы на эпюре М. Кроме того, балка нагружена сосредоточенным моментом в сечении В (здесь эпюра М имеет скачок на величину 0,5Ра+1,5Ра = 2Ра).

Схема нагружения балки показана на рис. 6, в.

46

М

а)

б)

в)

Рис. 6. Пример 1 выполнения расчетной работы № 2.

Пример 2. По заданной схеме балки и эпюре изгибающих моментов (рис.7,а) определить внешнюю нагрузку и построить эпюру поперечных сил

Q .

Решение. Эпюра моментов разбивается на два участка. Сначала рассмотрим консольную часть балки. Изгибающий момент на этом участке изменяется по закону квадратной параболы выпуклостью вверх и при рассмотрении слева направо растет.

На консольную часть балки действует равномерно распределенная нагрузки, направленная сверху вниз (против выпуклости эпюры М), а эпюра поперечной силы положительна.

47

Перепад в ординатах изгибающего момента на концах участка ( qa 2 ) равен площади треугольной эпюры перерезывающей силы. Обозначим высоту этой эпюры h , тогда qa 2 0.5ha . Откуда h = 2qa. В свою очередь, перепад в ординатах поперечной силы на концах участка (2qа) равен площади прямоугольной эпюры распределенной нагрузки. Длина эпюры a, следовательно, высота эпюры равна 2q. Это и будет интенсивность распределенной нагрузки на консольной части балки.

В пролете между опорами балки изгибающий момент также изменяется по квадратной параболе с выпуклостью вверх и действует распределенная нагрузка, направленная вниз. Обозначим ее величину через y. Сосредоточенных усилий в пролете между опорами не приложено, так как эпюра М представляет собой единую кривую без переломов. Эпюра Q. в пролете представляет собой наклонную прямую, ординаты которой слева направо уменьшаются. Следовательно, реакции опор направлены вверх.

Для определения величины распределенной нагрузки у составляем уравнение изгибающего момента для сечения, в котором известна величина этого момента. При рассмотрении слева

RAa y a22 q a22 .

Реакцию RA также можно выразить через неизвестную интенсивность распределенной нагрузки y:

M B RA 2a y 2a a 2q a aq 0 ,

откуда

RA 2ya2 qa2 . 2a

48

Подставляем это выражение в написанное уравнение моментов:

RA 2 2qa22a qa2 1.5qa .

Реакцию RB найдем из уравнения равновесия:

M B 2q 3a 1.5a RB 2a 0.

откуда, RB=4.5qa. Эпюра поперечных сил изображена на рис.7, б, а схема нагружения на рис.7, в.

а)

б)

в)

Рис. 7. Пример 2 выполнения расчетной работы № 2.

49

Расчетно – графическая работа № 3. Расчет статически определимых балок на прочность по нормальным напряжениям.

Задание. Из условия прочности по нормальным напряжениям определить величину допускаемой нагрузки, действующей, как показано на рис. 8, 9, на балку из стального двутаврового профиля № 30.

Содержание работы:

1.Определить реакции опор балки и сделать проверку правильности их определения.

2.Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

3.Из условия прочности по нормальным напряжениям найти величину допускаемой нагрузки [q].

Указания:

1.Принять для стали допускаемое напряжение [σ]=160 МПа.

2.Величины геометрических характеристик двутаврового профиля взять из таблиц сортамента (ГОСТ 8349-72).

3.Длину участка l принять равной 2 м.

Численные значения размеров и нагрузок для заданного варианта балки взять из таблицы № 1.

Пример. Определить величину допускаемой нагрузки [q], действующей, как показано на рис. 10, а, на балку из двутавра №27, если

[σ]=160 МПа.

Решение. Находим реакции опорных закреплений:

50