269
.pdf
Определение характеристик отрезка
Метод прямоугольного треугольника
АВ 2 = x 2 + y 2 + z 2
x 2 + y 2 = А1 В1 2
н.в. B
A
Кz
А1
B1
н.в. 
В2
А0
z
|
А |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
x |
2 |
|
|
|
|
А |
|
x |
|
||
|
|
|
y |
||
|
1 |
|
|
B1 |
|
|
н.в |
. |
|
||
|
|
|
|||
|
|
|
B0 |
|
|
Для определения угла на фронтальной проекции А2 В2 строят прямоугольный треугольник В2 А2 А0 , второй катет которого равен y. Гипоте-
нуза А0 В2 треугольника равна натуральной величине отрезка АВ , а уголесть угол наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций
Взаимное положение двух прямых
Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку
|
|
|
|
|
|
|
П2 |
D |
|
|
|
|
|
2 |
|
В2 |
|
|
|
K2 |
|
||
|
А2 |
|
|
B |
|
x |
C2 |
|
K |
||
|
C |
|
|
||
|
|
A C |
|
D |
|
|
|
|
B1 |
||
|
|
А |
1 |
K1 |
|
|
|
1 |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
АВ
А1 В1
АK21 В2
СD = K(К1 , К2)
С1 D1 =
С2 D2 = K2
А2
x
А1 
D2
K2 
C2 
В2
C1
K1
B1
D1
Точка пересечения К прямых АВ и СD проецируется в точки пересечения соответствующих проекций прямых: на П1 - это точка К1 ; на П2 - точка К2 . Точки пересечения К1 и К2 одноименных проекций прямых лежат на одной линии связи
Взаимное положение двух прямых
Параллельные прямые не имеют общих собственных точек
|
|
|
|
|
|
|
|
m n |
|
П2 m |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
m |
|
|
mn12 |
x |
|
|
|
|
|
n2 |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n1 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
x
m
2
n2
n1
m
1
Проекции параллельных прямых не пересекаются. Одноименные проекции прямых параллельны или совпадают, если параллельные прямые лежат в проецирующей плоскости
Взаимное положение двух прямых
Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны между собой
|
(1 |
2 |
m П2 |
|||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
) n2 |
1 |
m |
|
|
|
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
21 |
|
||
m n
m1
n
m12
n2
m
(12 ) 22
2
n2
x |
m |
|
|
1 |
|
|
11 |
n1 |
|
21 |
|
|
|
Проекции скрещивающихся прямых могут быть параллельны, т.к. прямые m и n лежат в параллельных плоскостях. Проекции скрещивающихся прямых могут иметь пересечение, т.к. прямые m и n не параллельны меж-ду собой. 1 и 2 – конкурирующие точки,
Проецирование плоских углов
Плоский угол проецируется в натуральную величину, если обе его стороны параллельны плоскости проекций
|
|
|
|
|
C |
A |
АВ А1 |
|
||||||
B |
|
|
= 1 |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В1 |
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
н.в. |
|
BC |
|
|
|||||||
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
C1 |
А1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
B1 |
|
|
|
1н. |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
в |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проекции сторон угла равны натуральным величинам. При проецировании величина угла не искажается
Теорема о проецировании прямого угла
Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения
|
B |
|
Дано: |
|
|
|
|
|
|
C |
90 |
|
|
|
A |
= |
|
|||
|
B1 |
|
|
|
||
|
|
|
АВ П ;BC |
|||
|
А1 |
1 |
C1 |
|
1 |
П |
М1 |
|
|
|
Доказать: |
1 |
|
N |
|
|
1 = =90 |
|||
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
Для доказательства продолжим сторону угла АВ до пересечения с ее проекцией А1 В1 в точке М1 . Через точку М1 проведем прямую М1 N1 В1
C1 .
Поскольку BC П1 , то BC В1 С1 . Значит, М1 N1 ВС и BM1 N1 =90 . По
Теорема о проецировании прямого угла
Дано: |
b h = |
|
90 |
|
b2 |
|
h2 |
x |
h1 |
|
|
|
н.в. |
|
b1 |
Если на чертеже есть изображение прямого угла, то одна из его сторон обязательно - натуральная величина
Одна из сторон прямого угла является горизонталью (h П1 ), поэтому на |
|||
П1 |
угол b h |
1 |
будет прямым. На П2 показаны возможные положения |
|
1 |
|
|
фронтальной проекции прямой общего положения b
Теорема о проецировании прямого угла
C2 н.в.
f
D2 2
x
С1
f1
D1
Задача:
Построить проекции перпендикуляра, проведенного из
точки Ск прямой f
C2D2 |
|
|
Df |
D |
1 |
22 |
|
|
D1 |
C1 |
|
Прямая f является фронталью и проецируется на П2 в натуральную величину. Следовательно, фронтальная проекция перпендикуляра С2 D2 перпендикулярна фронтальной проекции прямой f . Определяем основание перпендикуляра – точку D. Строим горизонтальную проекцию С1 D1
Принадлежность точки прямой
Пространственная картина |
Комплексный чертеж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N a |
||
|
П2 |
|
|
М |
а2 |
а |
|
||||||
|
N2 |
|
|
К2 |
|
|
2 |
|
К |
|
M a |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
K a |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
K1 |
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
N1 |
|
|
|
К |
|
|
; 2 |
2 |
|||
|
|
а |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
M |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
N |
К |
М |
а2 |
2 |
|||
2 |
2 |
|
|
N1 |
К |
|
а1 |
1 |
M |
|
|
1 |
Согласно свойствам проецирования, если точка принадлежит прямой, то проекции точки будут принадлежать соответствующим проекциям прямой. И наоборот, если проекции точки принадлежат соответствующим проекциям прямой, то в пространстве точка будет принадлежать прямой
Вопросы для самопроверки
1.Сколько точек однозначно определяют положение прямой в пространстве?
а) одна б) две
в) бесчисленное множество
2.Если отрезок прямой параллелен плоскости проекций, то длина его проекции на этой плоскости…
а) искажается б) будет точкой
в) равна длине отрезка
3.Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то ее проекцией на эту плоскость будет…
а) прямая б) точка
4.Может ли прямая общего положения быть параллельной или перпендикулярной одной из основных плоскостей проекций?
а) да б) нет