2921
.pdf
31
32
33
Задание 4. Определение реакций опор составной конструкции
Равновесием системы тел называют такое состояние, при котором каждое из тел находится в равновесии. Связи, соединяющие части данной конструкции, считают внутренними в отличие от связей, которые скрепляют ее с внешними телами, не входящими в рассматриваемую систему тел. При разделении тел и освобождении от связей имеют место внешние и внутренние силы.
Внутренние силы равны по величине и противоположны по направлению. При решении задачи можно рассматривать равновесие каждого из n тел, входящих в данную систему, или равновесие всей системы и (n – 1) тел.
Последовательность решения рассмотрим на примере системы, состоящей из двух тел АВ и ВС, которые соединены шарниром в точке В (рис. 1). Число степеней свободы определим из соотношения
К = 3Д − 2Ш − С, |
(1) |
где Д – число тел (дисков); Ш – число соединительных шарниров; С – число внешних связей.
|
y |
a |
a |
a |
|
|
|||
|
|
|
P |
|
|
|
|
2 |
B |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
Q |
2 |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
a |
|
А |
|
|
X |
A |
1,5a
a
a q
YC
XC C
YA
Рис. 1
34
Для заданной конструкции Д = 2, Ш = 1, С = 4 (по два соединительных стержня в каждой из шарнирно-неподвижных опор А, С). Согласно (1) К = 0, значит, система геометрически неизменяема.
Рассматривая систему в целом, заменяем действие отброшенных связей в шарнирно-неподвижных опорах А, С реакциями. Число неизвестных реакций равно четырем. Для всей системы можно записать три независимых уравнения равновесия.
Для того чтобы решить задачу, рассмотрим равновесие одного из тел, входящих в систему, например тела АВ (рис. 2, а). При этом связи между телами в шарнире В заменяем реакциями XВ, YВ.
а)
y |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
P |
|
Y |
|
2 |
|
В |
|
|
В |
X |
|
|
В |
|
2a |
|
|
|
P |
|
|
|
1 |
|
|
|
a |
|
|
|
А |
X |
x |
|
|
A |
|
|
|
Y |
|
|
|
A |
|
|
б) |
|
Y |
a |
1,5a |
C |
|
|
X |
C |
C |
|
X′ |
|
a |
В |
|
|
Y′В |
Q |
a |
|
||
|
|
q |
Рис. 2
Рассматривая равновесие тела, находящегося под действием активных сил и реакций в шарнирах А и В, запишем три уравнения равновесия тела АВ. Таким образом, всего имеем шесть уравнений и шесть неизвестных. Задача является статически определимой.
Дополнительные уравнения, которые можно получить, рассматривая, например, равновесие тела ВС (см. рис. 2, б), используются для проверки.
Исходные данные приведены в табл. 1, расположенной в задании 3.
Пример выполнения задания
Дано: схема нагружения и закрепления составной рамы (см. рис. 1). Интенсивность распределенной нагрузки q = 2 кН/м,
35
Р1 = 4 кН, Р2 = 2 кН, а = 2 м. Равнодействующая распределенной нагрузки приложена в середине участка длиной а = 2 м, а ее модуль Q = q ∙ 2 = 4 кН.
Определить реакции в шарнире В и точках А, С.
Решение
1. Рассматривая систему в целом, заменяем действие отброшенных связей в шарнирно-неподвижных опорах А и С реакциями XA, YA, XС, YС. Для всей системы можно записать три независимых уравнения равновесия:
∑MC (Fk) = 0, |
XA ∙ 4a – YA ∙ 4,5a + |
(2) |
||
+ P1 ∙ 3a + P2 ∙ 3,5a – Q ∙ 1,5a = 0; |
||||
|
||||
∑Fkx = 0, |
XA + XC + P1 – Q = 0; |
(3) |
||
∑Fky = 0, |
YA + YC – P2 = 0. |
(4) |
||
2. Рассмотрим равновесие |
тела АВ, входящего |
в систему |
||
(см. рис. 2, а). Связи между телами АВ и ВС в шарнире В заменяем реакциями XВ, YВ. Уравнения равновесия тела АВ примут вид:
∑MB (Fk) = 0, |
XA ∙ 3a – YA ∙ 2a + P1 ∙ 2a + P2 ∙ a = 0; |
(5) |
|
∑Fkx = 0, |
XA + XВ + P1 = 0; |
(6) |
|
∑Fky = 0, |
YA + YВ – P2 = 0. |
(7) |
|
3. Используя уравнения (2) и (5), определим реакции XA, YA в |
|||
шарнирно-неподвижной опоре А: |
|
||
XA = −3,4545 кН, YA = −0,1818 кН. |
|
||
Из уравнений (3), (4) и (6), (7) определим реакции: |
|
||
XС = −3,4545 кН, |
YС = 2,1818 кН; |
|
|
XВ = − 0,5455 кН, |
YВ = 2,1818 кН. |
|
|
Проверка. Рассмотрим равновесие тела ВС (см. рис. 2, б). Ре- |
|||
акции XВ′, YВ′ в шарнире В равны по модулю реакциям XВ, YВ |
|||
(см. рис. 2, а) и направлены в стороны, противоположные им. |
|
||
Уравнения равновесия имеют вид: |
|
||
∑MB (Fk) = 0, |
–XС a + YС ∙ 2,5a – Q ∙ 0,5a = 0; |
|
|
∑Fkx = 0, |
|
XС – XВ′ – Q = 0; |
|
∑Fky = 0, |
|
YС − YВ′ – P2 = 0. |
|
По результатам проверки ошибок определения реакций не обнаружено.
Результаты расчета, кН, приведены ниже.
36
XA |
YA |
XВ |
YВ |
XС |
YС |
−3,4545 |
−0,1818 |
−0,5455 |
2,1818 |
3,4545 |
2,1818 |
|
|
|
|
|
|
37
Расчетные схемы к заданию 4
38
39 |
40