Курс механики сплошных сред

вующих на dS. Порядок величин может быть выявлен, если ввести приведенные безразмерные переменные (отмеченные тильдой) по формулам:

Xl = Lxh t = L t x l = % X , ои = Р~оф F; = PFh

Обратим внимание на то, что выбор порядков величин X, и alf согласуется со всеми предшествующими результатами.

Точно так же можно написать коэффициенты Ламе А, и в виде

А = £А, р,= £fi,

где А и (х —безразмерные величины порядка единицы. Установив это, примем в качестве рабочей гипотезы, что все приведенные ве­

которые надо решать с учетом граничных условий. Очевидно, поря­ док левой части уравнений движения равен единице, а порядок

приближения, необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие:

®L < c, c = ( f ) ' /2

Приведенное рассуждение на самом деле представляет лишь на­ водящие соображения. Очевидно, решение вопроса о применимости «рабочей гипотезы» и, следовательно, полученного выше результата требует более глубокого изучения динамической задачи.

Константа с, имеющая размерность скорости, является характе­

теризует быстроту изменения заданных величин, которая только тогда сравнима со скоростью звука, когда порядок частоты —нес­ колько тысяч герц.

Другими словами, если время, характеризующее скорость изме­ нения заданных величин, достаточно велико по сравнению с време­

нем (очень коротким) пробега возмущений по телу (со скоростью звука), то применение квазистатической гипотезы законно.

Таким образом, те упрощения, которые вытекают из предположения о возмож­ ности квазистатического приближения, в обычно встречающихся задачах для ре­ альных конструкций вполне обоснованы, но дело меняется, когда приступают к изучению распространения в упругих средах высокочастотных волн (как гармо­ нических, так и любых). Если инерциальные эффекты (которыми пренебрегают в квазистатическом случае) становятся ощутимыми, то рассматриваемая задача является динамической.

Х.1.10. Заключительные замечания. На этом заканчивается рас­ смотрение примеров решения статических задач теории упру­ гости. Напомним, что были рассмотрены основные явления в «чистом» виде —растяжение, изгиб, кручение цилиндрического стержня при свободной от нагрузок боковой поверхности. Найдены следующие формулы:

¥ = ЕЛг, М 2= Ма= Da = iida,

которые дают (в рамках принципа Сен-Венана) линейные соотноше­

Установлено, что если деформации не слишком велики, то закон

Задача, изученная в Х.1.7, представляет собой пример исследо­ вания сопротивления резервуара внутреннему давлению; важность этой задачи для практики трудно переоценить. Аналогичный метод может быть применен и к цилиндрическому резервуару.

Х.2. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ (УПРУГО-ИДЕАЛЬНО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ СРЕДЫ)

пластичности; теперь применим эти результаты к некоторым прос­

мере, в какой среда считается изотропной при работе в упругом режиме. Тот факт, что предел упругости не зависит от шаровой составляющей тензора напряжений, является обобщением экспери­ ментальных данных, сформулированных ранее в (Х.1.5) для част­ ного случая, когда тело подвергается равномерному сжатию; если приложить к упругому телу, находящемуся в равновесии, нормаль­ ное растяжение или всестороннее равномерное давление, то к тен­ зору напряжений в каждой точке тела добавится одна и та же шаровая составляющая, однако положение этого тензора относи­ тельно предела упругости не изменится. Отсюда следует, что упругая область, описываемая в пространстве напряжений нера­ венством

в частности, когда легко определяются главные значения 07, а2%а8

Если изобразить оба критерия на плоскости с помощью трех осей, пересекающихся под углом 120° (см. III.4 и VI11.8.5), то

то, что различие этих двух критериев максимально для тензора

был вначале в естественном состоянии). Нужно определить, при каком значении частица (по крайней мере одна) достигает предела упругости. Как правило, будем помечать звездочкой те значения глобальных усилий, при которых достигается предел упругости ма­ териала. Если усилия продолжают расти, то внутри тела образу­ ется пластическая зона; остальные области остаются упругими. Благодаря такому упругому «ядру» материал сохраняет некоторую жесткость, и вся конструкция в целом продолжает выдерживать усилия, растущие до предельной нагрузки; когда эта последняя достигнута, тело целиком переходит в режим пластического течения.

Значения глобальных усилий, при превышении которых тело

Определение предельной нагрузки, которую может выдерживать конструкция, является одной из основных задач теории пластич­

мации однозначно. Будем считать, что полученные результаты со­ ответствуют действительности, если существует по меньшей мере одно поле перемещений, соответствующее найденному полю тензо­ ров напряжения, и такое, что все уравнения задачи и все гранич­ ные условия будут удовлетворены. Такой недостаток или аномалия изучаемой теории есть следствие схематичности и особенностей поведения рассматриваемого упруго-идеально-пластического матери­ ала. Интерес же к такой схеме вызван кроме ее простоты тем, что она дает качественное описание явлений пластичности, из которого можно извлечь важную информацию о предельных для данной кон­ струкции нагрузках.

Х.2.2. Чистое растяжение цилиндрического стержня. Рассмотрим снова случай, изученный в Х.1.4. Поля напряжений и перемещений задаются в упругом режиме формулами (12) и (14). Предел упру­

гости достигается при F = k. В этом случае стержень целиком на­ ходится в режиме пластического течения. Так как «/4—площадь

x1 = h и *! = — h вступают в пластическую область.

Зададимся вопросом, как описать состояние материала при зна­ чениях М, несколько превышающих предельное значение М*. Ин­ туиция подсказывает, что близкие к поверхностям частицы балки

щений, остаются справедливыми. В части р < г < а среда находится

врежиме пластического течения, однако постулируемая теоретиче­ ская схема не обеспечивает однозначного определения поля пере­ мещений как функции времени.

Х.2.5. Сферический резервуар. Вернемся к задаче, рассмотренной

вХ.1.7, и начнем снова с определения области применимости най­ денного решения. В каждой точке тензор напряжений является тензором вращения, т. е. суммой одноосного и шарового тензоров. Критерий Треска и критерий Мизеса приводят к одному и тому же

где k —предел упругости при чистом растяжении. Применив это условие к решению (35), получим 6pb < &р3, и это неравенство будет выполняться в любой точке области r ^ p ^ R , если 6рЬ < krz, или, учитывая (36), при условии

дальнейший расход материала на утолщение для увеличения значе­

где с —константа, которая может зависеть от £ и которую предстоит определить так, чтобы переход от построенного решения к решению в упругой зоне был непрерывен.

Здесь интересно только определение предельного давления рь,