Теория автоматического управления

После подстановки передаточных функций отдельных звеньев функция (4.40) примет вид

где k — k3. ykK. ykAkpknxgkM— передаточный коэффициент разомк­ нутого контура.

Передаточная функция системы по возмущающему воздействию AQB

Фв (р) = Q (p)/AQB(р ) = [1+ ^э. у(р) w u.у (р) w A(P)w p(p) w„ (р) х

4.3. Передаточные функции типовой одноконтурной системы

Под типовой одноконтурной системой регулирования будем понимать систему, которая описана в 1 .2 . Нефункциональной схеме (см. рис. 1.4, с) соответствует обобщенная алгоритмическая схема на рис. 4.7, а. Объект управления характеризуется одной выход­ ной переменной х, которую требуется стабилизировать на задан­ ном уровне х3. На стабилизируемую переменную х через соответст­ вующие передаточные функции влияют возмущения z3 и z2, дейст­ вующие непосредственно на выход объекта и его вход (через регу­ лирующий орган РО). Отклонения хв и ув, вызываемые этими воз­ мущениями, компенсируются в системе целенаправленными из­ менениями управляющего воздействия у, которое создается регу­ лятором.

На входе регулятора с передаточной функцией Wp действует сигнал рассогласования ив. Этот сигнал формируется в результате сравнения (алгебраического суммирования) сигналов и3 и их, про­ порциональных соответственно задающему воздействию х3 и уп­ равляемой величине х. Сигнал их вырабатывается датчиком WA, а сигнал и3 формируется в задающем элементе W3.

Для анализа и расчета типовой системы (см. рис. 4.7, а) удобно пользоваться преобразованной алгоритмической схемой (рис. 4.7, б),

Puc. 4.7. Алгоритмические схемы типовой одноконтурной системы

в которой датчик отнесен к регулятору, и условно принято, что во входном сумматоре сравниваются непосредственно физические ве­ личины х3 и х. Сигнал ошибки е имеет, следовательно, ту же раз­ мерность, что и величины х3 и г , и поэтому по значению е можно прямо судить о точности системы. Помеха г х при этом также ока­ зывается выраженной в единицах измерения х — в виде эквива­ лентного сигнала хп. Обратная связь в схеме называется единичной.

При переходе от исходной схемы (см. рис. 4.7, а) к эквивалент­ ной с единичной обратной связью (см; рис. 4.7, б) использовано правило № б (см. табл. 4.1) о переносе сумматора назад и учтено, что задающий элемент и датчик — обычно безынерционные звенья с передаточными коэффициентами k3 и £д, причем всегда k3 —

— 1/Лд. Очевидно, что при этом задатчик оказывается присоеди­ ненным к регулятору с передаточной функцией

Регулирующий орган с Wp. 0 отнесен на преобразованной схеме

Возмущениям z2 и z3 соответствуют эквивалентные внешние воздействия у3 и х3 на вход и выход объекта, выраженные в едини­ цах измерения управляющего воздействия у и управляемой ве­ личины х.

Запишем п е р е д а т о ч н ы е ф у н к ц и и и у р а в н е ­ н и е д и н а м и к и т и п о в о й о д н о к о н т у р н о й с и ­ с т е м ы , схема которой изображена на рис. 4.7, б.

Если в системе (см. рис. 4.7, а) заданы характеристики возму­ щения z3 (вместо ув), то в числители передаточных функций (4.49) и (4.55), входящих в уравнения (4.51) и (4.57), следует подставлять функцию Woв (вместо Н е ­

обратим внимание на две характерные связи между передаточ­ ными функциями для управляемой величины и сигнала ошибки. Во-первых, сравнивая выражения (4.48) и (4.54), можно установить,

Аналогично можно записать передаточные функции и для дру­ гих входных воздействий (например, по каналам х„—х, х„—е, Хь—х, Хь —е). При их учете в уравнениях динамики замкнутой си­ стемы (4.56) и (4.60) появятся дополнительные слагаемые, соот­ ветствующие воздействиям хп и хв.

Таким образом, в общем случае сигнал ошибки в системе (см. рис. 4.7, б) может складываться из четырех составляющих:

ляющие, обусловленные неполной компенсацией регулятором влия­ ния возмущений ув, хп и помехи хв на управляемую величину х. Причем, каждая составляющая в (4.60) пропорциональна величине

регулирования), применяемые в линейных автоматических систе­ мах.

Простейший закон регулирования реализуется при помощи бе­

Согласно выражению (4.61) управляющее воздействие и в статике и в динамике пропорционально сигналу ошибки е. Поэтому такой закон регулирования называется пропорциональным (П).

Преимущества П-регулятора — простота и быстродействие, не­ достатки — ограниченная точность (особенно при управлении объектами с большой инерционностью и запаздыванием).

Закон регулирования, которому соответствует передаточная

называется интегральным (И). При интегральном законе регули­ рования управляющее воздействие у в каждый момент времени про­ порционально интегралу от сигнала ошибки е. Поэтому И-регуля- тор реагирует главным образом на длительные отклонения управ­ ляемой величины от заданного значения. Кратковременные откло­ нения сглаживаются таким регулятором.

Преимущества интегрального закона — лучшая (по сравнению с пропорциональным законом) точность в установившихся режимах (см. 4.4), недостатки — худшие свойства в переходных режимах (меньшее быстродействие и большая колебательность).

Наибольшее распространение в промышленной автоматике по­ лучил пропорционально-интегральный (ПИ) закон регулирования

^ р (р)= “Ьk„lp = kр -f-kp/Tир = kp (Т ир-\- V)ITир. (4.63)

Благодаря наличию интегральной составляющей ПИ-закон ре­ гулирования обеспечивает высокую точность в установившихся режимах, а при определенном соотношении коэффициентов k„ и kn обеспечивает хорошие показатели и в переходных режимах.

Наилучшее быстродействие достигается при пропорциональнодифференциальном (ПД) законе регулирования

ПД-регулятор реагирует не только на величину сигнала ошибки, но и на скорость его изменения. Благодаря этому при управлении достигается эффект упреждения. Недостатком пропорционально­ дифференциального закона регулирования является ограниченная точность.

Наиболее гибким законом регулирования (в классе линейных законов) является пропорционально-интегрально-дифференциальный

(ПИД) закон

который сочетает в себе преимущества более простых законов, (4.61) — (4.64).

Коэффициенты и постоянные времени, входящие в передаточ­ ные функции типовых регуляторов, называются настроечными па­ раметрами и имеют следующие наименования: k„, k„, kA — ко­ эффициенты пропорциональной, интегральной и дифференциаль­ ной части; kp, k'p — передаточные коэффициенты регулятора; ТИ,

Т'я — постоянные времени интегрирования; Тл, Т’я — постоянные времени дифференцирования.

Параметры, входящие в различные записи (4.65) и (4.66) ПИДзакона, связаны между собой соотношениями:

4.4. Точность статических и астатических систем управления при типовых воздействиях

Общие понятия о точности управления. Назначение любой ав­

при любых изменениях задающего и возмущающих воздействий. При анализе точности различают две функции системы: воспро­

изведение задающего воздействия и подавление (компенсацию) воз­ мущений.

Из-за инерционности объекта и регулятора обе эти функции выполняются любой реальной системой с погрешностью: в каждый момент времени после внешнего воздействия существует разность

характеризующая точность системы. Чем меньше мгновенные зна­ чения сигнала ошибки е (/), тем больше (лучше) точность системы.

Как было показано в 4.3, сигнал ошибки е (() в типовой системе управления (см. рис. 4.7, б) содержит составляющую е3 (*), кото­ рая характеризует точность выполнения системой функции вос­ произведения задающего воздействия, и несколько составляющих, которые в сумме характеризуют точность выполнения функции подавления возмущений.

Из формул (4.54) — (4.57) следует одно из важнейших правил ТАУ:

втиповой одноконтурной системе, состоящей из объекта W0 (р)

ирегулятора Wp (р), полная ошибка регулирования г (t) и ее составляющие и в статике и в динамике обратно пропорцио­ нальны выражению (1 + Wp (р) W0(p)), т. е. точность регули­ рования тем лучше, чем больше усилительные свойства регуля­ тора.

Вычисление мгновенных значений сигнала ошибки и его со­ ставляющих при произвольном законе изменения внешних воздейст­ вий представляет собой сложную задачу. Поэтому точность систем принято оценивать по значениям е3 и ев в статическом и установив­ шемся динамическом режимах работы системы. Соответственно различают статическую и динамическую точности.

Статическая точность. В статическом режиме ошибки возни­

кают только в статической системе, а в астатической системе они равны нулю, поэтому статическую точность оценивают только при анализе статических систем.

Статической системой управления называется система, объект и регулятор которой являются статическими элементами, т. е.

Подставляя в уравнения динамики (4.51) и (4.57) одноконтур­

Если вместо возмущения ув задано z3 (см. рис. 4.7, а), то в чис­ лители вторых слагаемых уравнений (4.71) и (4.72) следует подстав­ лять передаточный коэффициент k0B, характеризующий канал

23— х .

Первое слагаемое в правой части уравнения (4.72) характери­ зует статическую ошибку по задающему воздействию, второе — статическую ошибку по возмущению. Обе эти ошибки тем больше, чем больше внешние воздействия, и тем меньше, чем больше знаме­ натель (1 + kpk0). Следовательно,

точность статической системы тем лучше, чем больше переда­

где Дхр — отклонение управляемой величины х от заданного зна­ чения, создаваемое возмущением ув — ув0 при разомкнутом кон­ туре регулирования; Дх3 — отклонение управляемой величины, создаваемое тем же возмущением уво в замкнутой системе. Коэффи­ циент статизма показывает, во сколько раз отклонение выходной величины управляемого объекта меньше отклонения этой величины

неуправляемого объекта (при одном и том же значении возмущаю­ щего воздействия).

Очевидно, что

где k = kpko — передаточный коэффициент разомкнутого контура. Точность статической системы считается удовлетворительной, если коэффициент S = 0,1 -^-0,01. Следовательно, общий переда­ точный коэффициент разомкнутого контура статической системы

должен находиться в диапазоне 10 -г- 100.

Приведем примеры расчета статической точности конкретных систем.

Пример 1. Оценим статическую точность системы стабилизации частоты

Предполагаем, что все элементы системы линейны. По уравнению (4.34), описывающему статику системы, можно рассчитать необходимое значение задающего воздействия и3. Оно равно и30 « 30 В.

Если в процессе работы момент нагрузки будет изменяться от 900 до 1100 Н-м, т. е. АМ с = 200 Н-м, то в системе будут возникать статические ошибки, максимальное значение которых

В неуправляемом двигателе (т. е. при разомкнутом контуре системы) такие же изменения момента создавали бы отклонения частоты вращения

Это значение коэффициента S получается и при вычислении его непо­ средственно по формуле (4.76).

Пример 2. Определим необходимое по условию статической точности значение передаточного коэффициента электронного усилителя в системе стабилизации расхода руды (см. рис. 4.6). Пусть передаточные коэффици­

где k = kvk0 — передаточный коэффициент разомкнутого контура;

рядка, если ее регулятор обладает астатизмом v-ro порядка, т. е. содержит v интегрирующих звеньев. В промышленной автоматике обычно используются системы с v, равной 1 и 2 . Астатическими яв­ ляются системы с И-, ПИ- и ПИД-регуляторами.

Из выражения (4.88) следует, что составляющая е, обусловлен­ ная изменением задающего воздействия х3, зависит от общего по­ рядка астатизма v, а составляющая ев, обусловленная изменением возмущающего воздействия ув, зависит только от порядка астатизма регулятора.

Установившееся значение сигнала ошибки определим, исполь­ зуя теорему о конечном значении оригинала (см. табл. 2 .2):

табл. 4.2.

На основании анализа результатов, приведенных в табл. 4.2, можно сформулировать о б щ и е п р а в и л а :

1.Если суммарный порядок астатизма v типовой системы ра­