Статистические методы анализа и обработки наблюдений

1.5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ 31

вероятность одного из них. Вычислим, например, вероят­ ность того, что событие А осуществилось в первые же k раз. При этом нужно учесть, что в остальных п — k испытаниях событие Л не должно осуществиться ни разу, т. е. все п — k

раз должно осуществиться противоположное событие А с вероятностью q = \—р. Используя независимость испыта­ ний, получим, что Р (A'l) = pkqn~k.

Число частных случаев А к, как уже указывалось, равно С*, и все они равновозможны (имеют одинаковую вероят­ ность). Поэтому

Р ( А к) = Р(А1)+Р (Л£) + = Ckpkqn~k- (1.2)

Полученной формулой удобно пользоваться при решении задач, связанных с повторением испытаний.

П р и м е р . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что из 5 выст­ релов 3 поразят мишень.

Частота события Л определяется по формуле со = -Л , где

п — число всех испытаний, пА — число появлений события Л. Поэтому Р (Л*) можно считать вероятностью того, что

со = kjn. Из (1.2) вытекает тогда формула

которая позволяет вычислять вероятность всех возможных значений частоты со. Непосредственными расчетами нетруд­ но проверить, что при увеличении п вероятности большин­ ства частот будут резко стремиться к нулю и лишь для не­ скольких частот, лежащих близ самой вероятной частоты, эти вероятности будут сохранять заметное значение.

Попытаемся вычислить самую вероятную (т. е. обладаю­ щую наибольшей вероятностью) частоту. Для этого изучим повнимательнее функцию

32 § 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Составим отношение

Мы видим, что это отношение убывает с возрастанием к Пока оно больше 1, функция f(k) возрастает, когда оно стг нет меньше 1, функция / (к) начнет убывать. Следовательно для некоторого к функция f(k) имеет максимум, который соответствует самой вероятной частоте. Если бы k могл быть нецелым, этот максимум достигался бы как раз тогда когда

т. е. при k= np—q. Вообще же говоря, максимум функци] f (к) будет при к, равном ближайшему к пр—q целом’ числу. Это к и будет самым вероятным числом появленш события А при п испытаниях. Из сказанного выше следует что оно всегда удовлетворяет неравенству | k—(пр—^)|<1

Найденному числу k соответствует самая вероятная ча стота k » удовлетворяющая неравенству

Из этого неравенства немедленно вытекает, что при /г-мх вероятнейшая частота о Т е м самым доказано утвержде ние: для достаточно большого числа испытаний вероятней шая частота события мало отличается от его вероятности

Полученное утверждение полностью согласуется « основным требованием к вероятности. В реальных испыта ниях, правда, осуществляется не только самая вероятная частота, но и некоторые близкие к ней частоты. Можно однако, доказать следующее более общее утверждени' ( т е о р е м а Б е р н у л л и ) : каково бы ни было наперед за данное положительное число е, вероятность того, что ча стота события отличается от его вероятности больше, 4ej на е, стремится к нулю при неограниченном увеличенш числа испытаний. Это утверждение мы докажем ниже в п. 3.3

34 § 2 . СЛ УЧ АЙНЫЕ В Е ЛИ Ч И Н Ы

Чтобы в достаточной степени охарактеризовать случай­ ную величину, нужно прежде всего задать набор ее допусти­ мых значений. Эти допустимые значения могут быть как ог­ раничены, так и неограничены в совокупности; в зависи­ мости от этого и сама случайная величина называется

ограниченной или неограниченной.

Наиболее важной является классификация случайных величин в зависимости от числа их допустимых значений. Это число может быть самым разнообразным — от двух до бес­ конечности (оно не может равняться единице, так как при этом величина перестанет быть случайной).

Если число допустимых значений случайной величины конечно, то такая величина называется конечнозначной. Конечнозначная случайная величина обязательно огра­ ничена.

Примеры конечнозначных случайных величин встре­ чаются на каждом шагу даже в повседневной жизни. Именно к таким величинам относятся число зрителей в кинотеатре во время киносеанса, выручка магазина за день, номер обуви случайного прохожего и т. д. С конечнозначными случайными величинами можно встретиться и при наблю­ дениях, особенно, если результат может выражаться толь­ ко в целых числах. Например, при изучении ядерных про­ цессов регистрируется число вспышек на соответствующем фотоснимке.

Любое случайное событие, даже не имеющее числовой природы, можно сопоставить с конечнозначной случайной величиной следующего типа: каждому появлению события А ставится в соответствие число 1, непоявлению — число 0. Еще более важной случайной величиной такого типа яв­ ляется число появлений события А в п независимых испы­ таниях.

Перечисленные примеры показывают важность изучения конечнозначных случайных величин. Однако в практических приложениях, особенно в теории наблюдений, чаще прихо­ дится иметь дело-с величинами, возможное число значений которых бесконечно. Поясним это на примере измерщшя давления газа. Это давление под влиянием множества слу­ чайных причин все время изменяется (хотя, быть может, и незначительно), поэтому оно является случайной величиной. Если в результате двух измерений получились значения

36 §2. С ЛУЧА ЙНЫЕ В Е Л И Ч И Н Ы

рассматривать газ при различных температурах, то допусти­ мые значения скоростей молекул будут одни и те же, хотя со­ стояния газа будут различными.

Для того чтобы полностью охарактеризовать случайную величину, необходимо не только указать, какие значения она может принимать, но и как часто, т. е. с какой вероят­ ностью она принимает эти значения. Иными словами, нужно задать распределение этой случайной величины.

Легче всего это сделать для конечнозначной величины. Здесь можно непосредственно указать, с какой вероятностью она принимает каждое из своих допустимых значений. Опи­ сание совокупности значений случайной величины с ука­ занием вероятности каждого значения называется законом распределения этой величины.

Пусть х1г х2, ..., хп — возможные значения случайной величины; через р{ обозначим вероятность принять значение х( (в одном испытании). Тот факт, что случайная величина примет в результате испытания одно из своих значений, есть достоверное событие; при этом она не может одновре­ менно принять более одного значения. Таким образом, зна­ чения х1г х2, .... хп являются частными случаями достовер­ ного события, в силу чего

Р1 + Р2+ +Рп = 1-

Рассмотрим, например, распределение числа очков на верхней грани брошенного кубика. Здесь могут быть значе­

ния 1, 2, 3, 4, 5 и 6, а вероятности всех значений равны .

Мы получили пример так называемого конечнозначного рав­ номерного распределения, т. е. распределения, при котором все допустимые значения конечнозначной случайной вели­ чины имеют одинаковые вероятности.

В более общем случае, чтобы задать закон распределения случайной величины, нужно просто выписать все ее значе­ ния и при каждом из них соответствующую вероятность. Обычно такую запись оформляют в виде таблицы, где верх­ няя строка содержит значения случайной величины, а ниж­ няя— вероятности этих значений. Полученная таблица на­ зывается рядом распределения случайной величины.

Найдем в качестве примера закон распределения суммы очков, выпавших на двух одновременно брошенных играль­

ных кубиках. При бросании двух кубиков могут возникнуть 36 различных комбинаций выпавших очков, однако некото­ рые комбинации дадут одинаковые суммы. Подсчитывая число возможных комбинаций для каждого значения суммы, мы с помощью классического определения найдем все соот­ ветствующие вероятности. Так, два очка могут образоваться лишь одним способом — по одному очку на каждом кубике,

уже образоваться двумя способами — одно очко на первом кубике, два на втором или два очка на первом кубике, одно на втором. В результате значение 3 будет иметь вероятность

^ = Продолжая вычисления, получим весь ряд распре­

деления заданной величины, приведенный в таблице 2.1 (рекомендуем читателям самостоятельно проверить осталь­ ные значения этой таблицы).

Самой важной для приложений конечнозначной случай­ ной величиной является число появлений некоторого собы­ тия А с вероятностью р в последовательности п независимых испытаний. Эта величина может принимать любое значение k=0, 1, 2, ..., п. Закон ее распределения был фактически найден в п. 1.5: если обозначить вероятность значения k через Pn{k) (в п. 1.5 она обозначалась Р (Л*)), то

Вероятности (2.1) полностью совпадают с членами разложе­ ния бинома Ньютона (p+q)n, поэтому и само распределение называют биномиальным. Это же совпадение позволяет легко проверить, что сумма всех вероятностей в биномиаль­ ном распределении равна единице. Действительно,

38 §2. СЛ УЧАЙНЫЕ ВЕ ЛИ ЧИ НЫ

Для дискретной случайной величины также можно зада­ вать закон распределения, так как все ее значения можно от­ делить друг от друга и перенумеровать. Однако при этом соответствующие вероятности уже нельзя просто перечис­ лить— нужно указать общее правило их нахождения. В ка­ честве важного примера приведем распределение Пуассона. Случайная величина, подчиняющаяся закону Пуассона, при­ нимает любое значение k=0, 1,2, с вероятностями

где а — некоторый положительный параметр.

Значения дискретной случайной величины, так же как и конечнозначной, являются в совокупности частными слу­ чаями достоверного события. Поэтому сумма вероятностей этих значений (правильнее говоря, сумма ряда, составлен­ ного из этих вероятностей) должна быть также равна единице. Нетрудно проверить, что это условие выполнено

нельзя задавать с помощью вероятностей отдельных значе­ ний. Число значений здесь так велико (их обычно даже нельзя перенумеровать), что для большинства из них вероятность принять это значение равна нулю. Здесь возни­ кает та же ситуация, что и для геометрической вероятности (см. п. 1.4): событие может произойти, а вероятность его равна нулю.

Поскольку мы уже упомянули о геометрическом опреде­ лении вероятности, рассмотрим его в качестве простейшего примера недискретной случайной величины. Возьмем за основу испытания отрезок [0,1] некоторой числовой оси и будем в нем выбиратьслучайнуюточку. В качестве случайной величины будем рассматривать координату этой точки, обо­ значаемую через х. Согласно геометрическому определению, вероятность любой координаты равна нулю. Однако сам этот факт еще не определяет случайной величины — подоб­ ному условию удовлетворяют и многие другие величины.

Геометрическое определение позволяет находить вероят­ ности более сложных событий — попаданий случайной точ­ ки в ту или иную часть отрезка. В нашем примере эта вероятность численно равна длине рассматриваемой части *). С точки зрения случайной величины такие события можно описать следующим образом: изучается вероятность того, что в результате испытания значение случайной величины попадет в некоторую заранее намеченную совокуп­ ность чисел.

Аналогичную задачу можно ставить для произвольной случайной величины. При этом наибольший интерес пред­ ставляют совокупности чисел, определяемые одним или несколькими неравенствами. Иными словами, нужно уметь находить вероятность того, что случайная величина в ре­ зультате испытания примет значение, удовлетворяющее одному или нескольким заданным неравенствам. Эта задача является особенно важной в теории наблюдений, где нужно знать вероятность того, что ошибка (случайная величина) не превзойдет некоторого допустимого предела.

Вероятность, с которой случайная величина удовлетво­ ряет некоторым неравенствам, обозначается через Р{ }, где в фигурных скобках выписываются заданные неравенст­ ва. Например, Р{а^£,<С.Ь} означает вероятность того, что случайная величина £ в результате испытания примет зна­ чение, удовлетворяющее неравенствам а^£,<.Ь.

Пусть £ — случайная величина и х — произвольное действительное число. Вероятность того, что £ примет зна­ чение меньшее, чем х, является функцией от х\

F{x) = ? { l < x ) ,

она называется функцией распределения случайной вели­ чины |.

Функцию распределения можно определить для любой случайной величины, независимо от числа ее допустимых значений, однако наиболее полезна эта функция для описа­ ния недискретных случайных величин, распределение кото­ рых мы пока вообще не умеем описывать.

*) Существуют части отрезка, для которых нельзя определить дли­ ну, например, совокупность всех точек с рациональными координатами. Соответствующие таким частям события мы просто не будем рас­ сматривать.