Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий

Сравнительно редко употребляются перекрестные планы (cros- over design), построенные на базе латинских квадратов малого раз­ мера, и переменные планы (change-over design), имеющие черты, связывающие их с цепными блок-схемами и с перекрестными пла­ нами [4].

16.2. Планы многофакторного анализа

Планы многофакторного анализа (ПМА) используются для оценки линейных эффектов и эффектов взаимодействий многих фак­ торов, варьируемых на одинаковом (симметричные планы) или неодинаковом (несимметричные планы) числе уровней. Общее уравнение математической модели, представляющей результаты эксперимента по таким планам, имеет вид

каждый фактор варьируется на двух уровнях. Эти планы наибо­ лее освоены и распространены. Полные планы, когда реализуется весь набор из 2к комбинаций уровней факторов, позволяют оце­ нить все эффекты модели, включая взаимодействия. Если часть эффектов (обычно это взаимодействия высших порядков) в модели отсутствует, то используют дробные факторные планы или так называемые дробные реплики, представляющие определенную часть полного эксперимента типа 2к. Реплика называется регуляр­ ной, если она представляет 1/2к часть от 2к эксперимента, где к — целое число. Такая реплика содержит 2к~р опытов и обозначается соответствующим образом. Если реализуется часть 2кэксперимента, не кратная степени двойки, т. е. не равная 1/2* , то такая реплика называется нерегулярной.

Многоуровневые симметричные планы, в которых факторы варьируются на 3, 4, . , т уровнях и обозначаются соответст­ венно как 3/е, 4,с, ., т к планы. Эти планы также могут быть пол­ ными и дробными.

Многоуровневые несимметричные планы, в которых факторы варьируются на различных уровнях, строятся различными способами: а) комбинированием полных и дробных планов типа 2к, 3Л, 4fc, т. е. планы типа 3 X 2к, 4 X 2fc, 5 X 2fc, 3 X 2к и т. д.; б) совмещением факторных планов типа 2к с латинскими квадра­ тами, прямоугольниками, кубами (особенностью этих планов явля­ ется требование равенства числа опытов эксперимента степени двойки, т. е. N = 2к)\ в) комбинированными методами на основе PBIB- и BIB -схем; г) методом теории конечных полей; д) методом

261

преобразования симметричных планов в соответствующие несим­ метричные.

Кроме перечисленных планов следует отметить планы, обеспе­ чивающие оценку не только исследуемых факторов и их взаимо­ действий, но также и эффекты последовательности воздействия факторов. При использовании планов каждый объект испытыва­ ется всеми к факторами, варьируемыми на двух уровнях (1 — на­ личие фактора, 0 — его отсутствие) в определенной последова­ тельности и измерение выходного показателя производится после каждого воздействия. Получаемая модель имеет вид y{j.k [хг,

з*. = т + uik + где i = l, т число объектов, которые подвергались воздействию только одной

рений.

К этому же классу можно отнести также планы для оценки остаточных эффектов, перекрестные (cross-over) планы, планы с груп­ пировкой и планы с расщепленными делянками, которые обычно рассматриваются в группе планов дисперсионного анализа [4—7!

16.3. Планы для изучения поверхности отклика

Этот класс планов применяется для детального изучения об­ ласти оптимума и участков поверхности отклика со значитель­ ной кривизной, где линейная модель становится неадекватной. Обычно для математического описания бывает достаточно полинома второго порядка, реже третьего порядка, используя планы соот­ ветственно второго и третьего порядков.

Планы 2-го порядка * позволяют получить математическое описание в виде полной квадратичной модели, содержащей кроме основных эффектов bj все парные взаимодействия Ъ.и и квадратич­

с учетом критериев оптимальности, рассмотренных нами в гл. 10 (напри­ мер, .4-оптимальность, D-оптимальность и т. д.).

262

типа 2к или его репликой. Используют эти планы обычно на заклю­ чительном этапе исследования: при описании экспериментальной области в ситуациях, когда отсутствует априорная информация об объекте и его полиномиальную модель приходится подбирать последовательно, начиная с простейшего линейного уравнения, которое затем достраивается до полной квадратичной модели. В таких случаях применение композиционных планов оказывается наиболее выгодным по числу опытов.

Выбор величины плеча а и числа точек щ определяется кри­ терием оптимальности (ортогональность, ротатабельность). При по­ строении ортогональных и ротатабельных центральных компози­ ционных планов (ОЦКП, РЦКП) в качестве ядра используют мини­ мально возможные регулярные реплики 2к~р, которые обеспечивают независимую раздельную оценку всех основных эффектов bj и эф­ фектов взаимодействия bju.

Если известно априори, что часть эффектов bj (или bJt) в мо­

дели отсутствует, то используют планы Хартли, строящиеся на ос­ нове минимальных регулярных реплик 2*-р, в которых должны быть не смешаны между собой только парные эффекты b -и (часть

или даже все эффекты bJU могут быть смешаны с эффектами bj).

Планы Хартли более экономны, чем ОЦКП и РЦКП, и рекоменду­ ются при построении интерполяционных моделей типа квадратич­ ного полинома для объектов с малым уровнем шумов.

Для этих же целей можно использовать композиционные планы Вейстлейка с еще меньшим числом точек, построенные на основе минимально возможных нерегулярных реплик. Недостаток планов Вейстлейка — коррелированность эффектов квадратичной модели, что затрудняет их расчет и интерпретацию.

Некомпозиционные планы применяются при наличии априор­ ной информации о существенности кривизны поверхности отклика, позволяющей начинать эксперимент сразу с реализации плана второго порядка. К их числу относятся планы типа неполного факторного эксперимента Зл, симплексно-суммируемые планы и прочие. Первые представляют собой определенные выборки строк из матрицы 3fc. В основу их построения положен принцип комби­ нирования матриц 2кпо сбалансированной схеме неполных блоков.

Симплексно-суммируемые планы делятся на симметричные и несимметричные в зависимости от вида суммирования. Эти планы можно также рассматривать как композиционные, потому что они получаются на базе симплекс-планов первого порядка соот­ ветствующей достройкой.

Планы третьего порядка применяются сравнительно редко, лишь в случаях, когда квадратичная модель неадекватна. Обычно

263

ного цикла. В простейшем случае при последовательном отсеива­ нии используется линейная модель аддитивного типа

Е (У{j ) = Е ( т - j-g.j -{- г) = Е (?п -f- г;у_1, fil+i -)- vj-i, S i + 2 -f-

• •• И- v j - 1, e,+7c ~f~ •• • 4 “ VJ , «,■+«) = m - \ ~ V j - U i Ч- 6 »

где y{j.—результат эксперимента в /-й подгруппе и i-м цикле

с-циклового эксперимента, т —общее среднее, е—ошибка экспери­ мента, g{J—комбинированный эффект от st. переменных, включен­

ных в модель. Предполагается, что только к-й из этих 5, перемен­ ных в подгруппе g.j значим, т. е. имеется эффект и,--\>в.+к, который

больше ошибки или комбинации всех остальных я.—1 незначи­ мых переменных. Если это так, то вся группа g{ .должна быть пол­

ностью пересмотрена в следующем (г+1)-м цикле. Если Е (y{j) = = Е (m +gf/,+e), то подгрупца gip, содержащая незначимые пере­ менные, исключается из рассмотрения и далее следует (г+1)-й цикл.

В более сложных случаях в модель включают эффекты взаимо­ действий факторов [5,6].

16.5.Планы для экспериментирования

вусловиях дрейфа

Блочные планы, ортогональные к дискретному дрейфу, пред­ ставляют собой обычные планы типа ПМА, сбалансированные так, чтобы часть столбцов плана использовалась для оценки эффектов дискретного дрейфа независимо от эффектов исследуемых факто­ ров.

Планы, ортогональные к непрерывному дрейфу, могут быть построены на основе таблиц полиномов Чебышева. Они исполь­ зуются для изучения линейных эффектов управляемых коли­ чественных факторов независимо от полиномиального дрейфа любого порядка. В случае необходимости оценки также и взаимо­ действий управляемых факторов используют обычные планы 2к, отбирая те столбцы планов, которые имеют минимальные корреля­ ции с эффектами дрейфа. К этим же планам относятся планы Кокса, предназначенные для изучения одной количественной или качест­ венной переменной, варьируемой на двух, трех, четырех уровнях в условиях дрейфа второго и третьего порядков.

Комбинированные планы для совместного изучения коли­ чественных и качественных переменных в условиях непрерывного полиномиального дрейфа получают соответствующим комбини­ рованием планов Чебышева и планов Кокса.

Планы для экспериментирования в условиях дрейфа исполь­ зуются для исключения влияния неоднородностей типа дискрет­ ного и непрерывного дрейфа на исследуемые эффекты и оценки этого влияния независимо от эффектов варьируемых факторов и составляют основу группы планов ковариационного анализа [4].

16.6.Планирование эксперимента на диаграммах состав—свойство

Специфика задачи состоит в том, что естественная координатная система — бариоцентрическая на симплексе. Ортогональный план построить нельзя.

Первая возможность преодоления этой трудности — преобразо­ вание системы координат в декартову размерности к—1, где к— число компонентов системы (факторов), и использование любых известных планов для описания области или оптимизации.

Вторая возможность — планирование на симплексе. Для ап­ проксимации гладких поверхностей полиномом заданной степени используются симплексные решетки Шеффе. Они задаются-симмет­ ричной системой точек, число которых определяется степенью по­ линома. Свободный член и коэффициенты при степенях переменных (выше первой) нельзя оценить такой выборкой (альтернатива—ис­ пользовать однородные полиномы, не содержащие оценок взаимо­ действий).

Если на симплекс наложены линейные ограничения, то необ­ ходимо строить план на произвольном выпуклом многограннике. Для этого предложены планы Мак-Лина—Андерсона, которые задаются множеством точек, лежащих в вершинах, серединах ребер и гранях многогранника.

Для включения в план дополнительных факторов применяются симплексно-центроидные планы. Возможно также совмещение симплексных решеток с факторными планами, латинскими квад­ ратами ит. п . ,а также с репликами от этих планов.

Когда существует опасность смещения оценок из-за выбора низкой степени полинома, используются планы Дрейпера—Лоу­ ренса, минимизирующие такое смещение.

Известны модификации планов для специальных видов аппрок­ симирующих полиномов, например для тригонометрических поли­ номов.

В случае, когда поверхность отклика определяется разрывной

к статистическим и несводимые к статистическим (собственно ди­ намические).

В задачах, сводимых к статистическим, выше уровень шумов, поэтому требуется большее число параллельных опытов.

Объекты исследования классифицируют по характеру дрейфа. Объекты без дрейфа —'вообще не динамические. Если параметры дрейфа не известны, то эксперимент должен их оценить, одновре­ менно с решением основной задачи.

260

Особенности объектов приводят к использованию преимущест­ венно последовательных планов.

Наиболее развиты планы для промышленных экспериментов. К ним относится прежде всего эволюционное планирование Бокса (ЭВОП), которое строится на базе регулярных реплик от фактор­ ных планов и метода крутого восхождения, но с многократными повторами плана и осторожным движением в сторону градиента. Известны многочисленные модификации ЭВОП, например, вра­ щаемое ЭВОП, позволяющее проводить локацию факторного прос­ транства с расширяющейся сферой обследования. В планах ЭВОП используются линейные модели.

Случай непрерывного варьирования рассмотрен только для одного и двух факторов. Предложены планы Бокса—Дженкинса, основанные на модулировании входных сигналов синусоидами, ортогональными друг к другу.

В условиях автоматического управления объектом можно использовать планы адаптационной оптимизации, основанные, на­ пример, на симплекс-процедуре (отражении симплекса относи­ тельно грани, противоположной к вершине с наихудшим резуль­ татом).

Когда неуправляемых переменных несколько и их действие нельзя интерпретировать как дрейф, возникает задача активно­ пассивного эксперимента (часть факторов образует план, а часть— измеряется; обработка результатов совместная).

Иногда, обычно в очень сложных ситуациях, эффективны рандо­ мизированные последовательности опытов, т. е. планы, осно­ ванные на методах случайного поиска.

Планы для решения динамических задач — одна из слабо разра­ ботанных областей математической теории эксперимента, поэтому пока можно говорить скорее не о классификации, а о типологии этих задач и методов их решения [9], [10].

16.8. Планы для изучения механизма явлений

По уровню априорной информации различаются следующие ситуации. Модель известна, константы известны; требуется уточ­ нение (не обязательно всех) констант. Планы такого уточняющего эксперимента можно синтезировать для различных критериев опти­ мальности (обычно для D -оптимальности), причем как в однократ­ ном, так и в последовательном вариантах. Так как вид модели всякий раз новый, то и план надо строить заново.

Модель известна, требуется оценка констант. Это задача ин­ терполяции для известной функции. Выбор критерия оптималь­ ности обеспечивает синтез плана.

Известно несколько альтернативных моделей. Требуется срав­ нить их, выбрать наилучшую, в некотором смысле, и оценить ее константы. Такая задача приводит к планированию дискримини­ рующих экспериментов. План может быть синтезирован анало­

18* 267

Глава семнадцатая

ОЧЕРК ПО ИСТОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

История. Читай и илачь.

Боконои

Планирование эксперимента — продукт нашего времени, од­ нако истокй его теряются в глубине веков. Давайте попытаемся проследить за течением этих ручейков, слившихся сегодня в реку планирования эксперимента.

Существует известный произвол в определении того, относится ли то или иное событие или явление к истокам планирования эксперимента или нет. Поэтому отбор материала в известной мере определяется вкусами и информированностью авторов.

Понимая существующие трудности, начнем все же рассмотре­ ние истории, ибо как иначе можно узнать о будущем?

17.1. Предыстория

Истоки планирования эксперимента уходят в глубокую древ­ ность и связаны с числовой мистикой, пророчествами и суевериями. Это собственно не планирование физического эксперимента, а пла­ нирование числового эксперимента, т. е. расположение чисел так, чтобы выполнялись некоторые строгие условия, например, на ра­ венство сумм по строкам, столбцам и диагоналям квадратной таб­ лицы, клеточки которой заполнены числами натурального ряда. Такие условия выполняются в магических квадратах, которым, по-видимому, принадлежит первенство в планировании экспери­ мента.

Согласно одной легенде примерно в 2200 г. до н. э. китай­ ский император 10 выполнял мистические вычисления с помощью магического квадрата, который был изображен на панцире боже­ ственной черепахи.

Квадрат императора 10

Клетки этого квадрата заполнены числами от 1 до 9, и суммы чисел по строкам, столбцам и главным диагоналям равны 15.

В 1514 г. немецкий художник Альбрехт Дюрер изобразил магический квадрат в правом углу своей знаменитой гравюры-

269