Методы обеспечения надежности изделий машиностроения

шейся после (/—1)-го испытания вероятности отказа (1 — P/_i) за счет i-й доработки.

Следовательно, выражение (5.61) характеризует эффектив­ ность доработки и соответственно модель роста надежности. Принимая допущение о постоянстве параметра a2l= a2, запишем выражение (5.61) в виде

Д Р 2, = 0 ,(1 (5.62)

На основании результатов решения получено математичес­

где M[Pi\ — математическое ожидание процесса Pi в /-м сечении.

5.8. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ РОСТА НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ С УЧЕТОМ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Рассмотренные в предыдущих параграфах модели роста надежности основаны на описании процесса доработок посред­ ством учета статистических данных; тем самым лишь косвенно бу­ дут учтены факторы, с помощью которых осуществляют улучше­ ние параметров. Даже наилучшая аппроксимация кривых роста надежности описывает явление в среднем и не позволяет дать конкретные рекомендации в каждом отдельном случае. П°эт°му необходимо разработать такую модель роста надежности, кото­ рая бы позволяла активно вмешиваться в процесс доработок. Только при таком подходе теория роста надежности станет дей­ ствующим инструментом не только для описания процесса дора­ боток, но и его непосредственного улучшения.

Математическая модель роста надежности с учетом управ­ ляющих воздействий основывается на следующих допущениях и предпосылках:

испытания нового изделия проводят комплексно с учетом различных режимов испытаний (нагрузок, температур, вибраций

ит. д.);

вслучае появления отказа и установления его причины проводят доработку;

доработка изделия носит комплексный характер, т. е. до­ рабатывают не только отказавший элемент, но и другие элемен­ ты, непосредственно связанные функциональной зависимостью при выполнении изделием поставленной задачи. Можно проводить доработку и одного элемента одновременно по нескольким вы­ ходным параметрам.

131

Следует иметь в виду, что изменения конструктивных или технологических параметров дорабатываемых элементов связаны корреляционной зависимостью с отказавшим элементом и непо­ средственно влияют на выходную характеристику этого элемента и тем самым косвенно влияют на выходную характеристику

изделия.

Корреляционную зависимость дорабатываемых параметров между отказавшим элементом и элементами, связанными с ним функциональной зависимостью, находят классическими методами математической статистики, определяют коэффициенты корреля­ ции bijy которые затем вводят в уравнения отработки:

У- (0 = Ьп Щ(/)'+ Ьа «2 (/) + + bimum(0, (5.64)

где y,{t) — выходная характеристика элемента или изделия в мо­ мент проведения i-й доработки.

Обозначим bji = Ьцк, где Ьцк — коэффициент корреляции между /-м и k-м элементами (параметрами) в момент проведения /-й до­ работки. Коэффициент корреляции находят из соотношения вида

где щ, Uk — средние значения параметров управлений /-го и &-го

функций самих управлений, производных от функций управле­ ний и т. д. Таким образом, имея результаты проектирования и отработки изделия-аналога, можно построить функциональные зависимости и корреляционные связи, отражающие иизменения конструктивных, технологических и других параметров и влияние их на выходные характеристики элементов или изделия в целом. При проектировании и отработке нового изделия, когда стати­ стические данные отсутствуют, функциональные зависимости и корреляционные связи определяют расчетами. Принятые допу­ щения и предпосылки позволяют при разработке математичес­ кой модели применять матричный аппарат. В этом случае при составлении уравнений доработок в качестве коэффициентов

132

Необходимость матричного подхода отпала бы, если бы каж­

и матричный подход не дал бы ничего нового по сравнению со скалярными моделями, записываемыми для каждой характери­ стики отдельно. Однако, осуществляя направленное управление щ на £//, мы, в силу специфики отрабатываемой системы, косвенно влияем на другие характеристики, осуществляя косвенное управ­ ление. Степень косвенного влияния определяется коэффициентами bijy поэтому матрица не является диагональной и необходим матричный подход, который определяет зависимость выходных характеристик от входных. Все элементы матрицы, расположен­ ные на диагонали, непосредственно влияют на управление вы­ ходной характеристикой системы, а внедиагональные элементы матрицы отражают косвенное влияние управления на другие па­ раметры и соответственно выходную характеристику системы в целом.

Частным случаем является доработка элемента без изменения параметра управления других элементов. В этом случае изме­ нение параметра управления при доработке оказывает непо­ средственное влияние на выходную характеристику дорабатыва­ емого элемента и соответственно выходную характеристику си­ стемы (изделия). Этот случай аналогичен использованию диаго­ нальной матрицы, когда изменение параметра управления влияет только на выходные характеристики дорабатываемого элемен­ та и изделия. Таким образом, математическая модель процесса отработки сложной технической системы основывается на мат­ ричном подходе к нахождению выходных характеристик создава­ емого изделия посредством изменения конструктивных, техно­ логических и других параметров управления, выраженных в явном виде.

При разработке математической модели задача состоит в том, чтобы при создании нового изделия получить выходную характеристику не хуже выходной характеристики, полученной после отработки изделия-аналога при условии изменения кон­ структивных, технологических и других параметров нового из­ делия, предназначенного для выполнения более сложных задач.

Учитывая специфику отработки сложных технических систем, рассмотрим задачу определения управляющих воздействий в явном аналитическом виде. Для решения этой задачи сделаны следующие предпосылки. При разработке математической модели сохранен подход, использованный в работе [6 ], т. е. считается неизвестной модель системы, а необходимые управляющие воз­ действия находят, исходя из задания желаемой динамики раз­

133

вития системы и желаемого закона управления. Принимая во внимание специфику рассматриваемой задачи, в математичес­ кую модель вводят новый класс желаемых законов управления, а также допущение об экспоненциальности (плавности) желае­ мой динамики развития системы, что позволяет избежать постро­ ения нелинейных уравнений. При таком подходе к решению за­ дачи можно получить систему линейных уравнений, обеспечива­ ющих нахождение управляющих воздействий в явном виде. Модель отработки представим в виде системы, имеющей вход, выход и характеризуемое состояние (рис. 5.3).

В качестве входа в эту систему принимается вектор управ­ ляющих воздействий, который можно представить в виде: кон­ структивных изменений параметров отрабатываемой системы, узла или элемента, заложенных в конструкторской документа­ ции; изменение технологических параметров в части ужесточения допусков на изготавливаемые и контролируемые детали, узлы, сборки и т. п.; уточнение эксплуатационной документации.

Из практики отработки сложных технических систем извест­ но, что наибольшее влияние на выходную характеристику ока­ зывают управляющие воздействия, связанные с конструктив­ ными изменениями параметров отрабатываемой системы, узла и элемента. Меньшее влияние оказывают изменения технологи­ ческих параметров и еще менее — уточнения эксплуатационной документации.

Под конструктивными изменениями параметров понимается: изменение геометрических размеров, весовых характеристик, за­ паса прочности, запаса по ресурсу, изменение материала, вве­ дение резервирования элементов, узлов и т. п. Изменения тех-

Рис. 5.3. Модель отработки системы

134

нологических параметров связаны с увеличением или уменьше­ нием допусков при изготовлении или регулировании, введением дополнительных технологических операций и так далее, а уточ­ нение эксплуатационной документации — с внесением в инструк­ цию эксплуатации дополнительных указаний при ручных опера­ циях. Например, вводятся таблички с надписями: «Опасно», «Внимание», «Выпустить воздух» и т. д.

Если в процессе отработки изделия выполняют большое число доработок и соответственно накоплен достаточно обшир­ ный статистический материал, то в этом случае целесообразно строить модель роста надежности для каждого вида управляю­ щих воздействий, т. е. для конструкционных, технологических, изменений эксплуатационной документации. Влияние каждого управляющего воздействия на выходную характеристику си­ стемы целесообразно оценить по предыстории с помощью функ­ ций регрессии, которые позволяют учесть как количественные, так и качественные факторы. В качестве выходных характери­ стик элеметов, узлов, механизмов и изделия в целом понимается изменение основных параметров, заложенных в технических условиях на них. Такими характеристиками могут быть: вероят­ ность безотказной работы, наработка на отказ, величина вы­ ходного тока или напряжения, производительность и т. д.

Наиболее важной выходной характеристикой, предъявляемой к сложной технической системе, является ее работоспособность, которая чаще всего представлена в виде наработки на отказ или вероятности безотказной работы. Эти характеристики явля­ ются обобщенными, так как они определяют, в конечном итоге, выполнение поставленной перед изделием задачиГ.

Рассмотрим случай, когда выходная характеристика выра­

Основная задача процесса доработок состоит в том, чтобы обеспечить рост величин Tt{t\ а значит, приблизить к нулю зна­ чение функции (5.68). Практика отработки изделий показывает, что во многих случаях желательно иметь плавное изменение выходной характеристики, т. е. это изменение должно соответ­ ствовать изменению во времени решения дифференциального

135

Примем

е-"' = 1 И * т К |>

— матричная экспонента;

у°

— вектор начального состояния выходной характеристики из­ делия (системы).

Для простоты предположим, что D — диагональная мат­ рица, т. е.

Г АфОО. . . 0 '

где %i— некоторые постоянные независимые друг от друга из­ менения отклонений.

При таком выборе матрицы D из уравнения (5.70) следует

будет плавно приближаться к нулю, если положить коэффи­

100 ... (Л

[ 0 1 0 ... 0 I — единичная матрица

00 1J

Следует отметить, что в данном случае можно было обой­ тись решением скалярных уравнений, так как матрица диаго­ нальная, но она здесь дана для дальнейшего обобщения, по­ скольку использовалась матричная экспонента для недиагональ­ ной матрицы.

136

о t

Рис. 5.4. Желаемая динамика изменения выходной характеристики Y

Многолетняя практика отработки сложных технических си­ стем показывает, что механизмы, пульты и другие сборочные единицы испытывают в объеме, равном объему испытаний изде­ лия в целом. На основании этого можно предположить, что время отработки для всех исполнительных механизмов одинаково,

Таким образом, соотношения (5.70) и (5.71) определяют заданные условия изменения выходной характеристики изделия. Эти условия должны обеспечиваться выбором управляющих воздействий, т. е. выбором вектора управлен . рактика по­ казывает, что успех в реализации заданной пр гр ммы отра от

137

Всякую доработку осуществляют лишь после определенного накопления факторов, вызывающих необходимость ее прове­ дения. В количественной форме это выражается следующим образом. Если выходная характеристика изделия представляет собой центральный момент, выраженный в функции времени Y (t)= T ?(t)— T(t), по которому проводят доработку, то управляю­ щее воздействие U(t) должно быть пропорционально интегралу на отрезке [0, /о]. Эти соображения предполагают выбор сле­ дующей формы желаемого закона управления:

где U(t = 0 )= 0 .

Такая форма записи желаемого закона управления содер­ жит управление в неявной форме. В этом случае описывается ситуация, когда управление осуществляется по накопленному суммарному изменению выходной характеристики. Кроме того, считается, что каждое управление прямо и косвенно влияет на суммарное изменение выходной характеристики в форме линейной комбинации управлений. Переходя от скалярного слу­ чая к векторному, когда управление является векторной функ­ цией времени, имеем

[ «I ( 0 ■

U(t) = u-it)

. Unit) .

и аналогично выходная характеристика представляет вектор

У\ (O'

Y(t) = у 2(0

у40

Постоянная величина В в уравнении (5.75) является не чи­ слом, а матрицей, постоянной и определенной для некоторого одного момента времени, т. е.

138

bu\lul2\b\n •*• •ьulm

в = ^ 21^22 • • • ^ 2 m

^nl^n2 *• *bnm

где коэффициенты Ьц (элементы матрицы) находят, используя опытные данные.

Тогда уравнение (5.75) в развернутом виде можно записать так:

Таким образом, желаемый закон управления, отображаемый ууравнением (5.75), является уравнением неявного вида. Если в это уравнение подставить заданное значение вектора У(/)= =у]р>то полученное в результате уравнение

(5.77)

может не иметь решения при каждом значении /, так как в этом случае ничем не гарантируется выполнение условия

являющегося необходимым и достаточным для разрешимости уравнения. В уравнении (5.78) В + — матрица, псевдообратная к матрице В.

Для решения уравнения (5.77) воспользуемся методом наи­

т. е. сумма квадратов координат вектора г= у}р — В - ^ р - дол­

жна достигать наименьшего значения. В соответствии с этим решение имеет вид

(5.79)

или с учетом соотношений (5.70) и (5.75) и при введении обо­ значения у°= утр получим

139

После подстановки (5.85) в выражение (5.83) имеем

■утр

1= t/° + 4-(l - е '°)в+1 (5.86) U(О-

В общем виде при заданном времени отработки Т вектор управляющих воздействий

Таким образом, функция управления u,{t) экспоненциально возрастает или убывает относительно значения и? в зависимости от того, является произведение i-Pi строки матрицы В + на стол-

140