Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод конечных элементов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

8.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

тегральное выражение должно представлять собой произведение

функции внешних	моментов 9й*(х, у)	или ЗУ^х, у)	и функции
углов поворота f (,	т. е. произведение	вида 3Rx (x,	y)^-fi или

§ 17. Прямоугольный КЭ с шестнадцатью степенями свободы

В каждом узле КЭ вводится по 4 степени свободы (рис. 46): пер вые 3 такие же, как и для КЭ с двенадцатью степенями свободы,, а четвертая — соответствующая деформации кручения в узле. Ко ординатные функции для этого КЭ можно сразу записать в явном' виде:

			2	2
	*/) =	^Х1		S	[Hol(x)Hoi(y)Wij + H u ( x ) Ho f ( y ) w xtl +
где	+	Н0 1 (х) Hi j (у) Wyij +						Ни (х) Нц (у) wxyij\,			(5.20)»
где
Я«1 (х) = - 1			(2Х3 -		Зах2 +		а3);	Н02(х) = - ±		(2х3 -	Зах2);
	Я ц ( х ) =		- L ( X3 — lax - +				а2х);		Н12(х) =	(х3 — ах2).
Для	получения		полиномов			/Уо1 (у), Но2 (у), Нп (у), HV1 (у) необхо
димо	а заменить			на	6 ,	а	х — на		у; wif — степени		свободы,
соответствующие				вертикальным
перемещениям узлов; wxij— сте
пени	свободы,		соответствующие
угловым перемещениям узлов от
носительно оси у; Wyij — степени

свободы, соответствующие угло вым перемещениям узлов относи тельно оси х\ wxyij — степени сво боды, соответствующие крутиль ным деформациям в узлах.

Вид аппроксимирующих функций приведен в табл. 10. Матрица жесткости для этого КЭ строится аналогично матрице жесткости для КЭ с двенадцатью степенями свободы, т. е. на основе выраже ний: функционала полной потенциальной энергии (5.4), напряже ний и деформаций (5.2) и аппроксимирующих функций (табл. 10).

Сравнивая КЭ с шестнадцатью степенями свободы и КЭ Клафа, видим, что большее количество степеней свободы дает более точнуюаппроксимацию перемещений. Это объясняется тем, что КЭс шест надцатью степенями свободы обеспечивает по границам КЭ сов местность -не только вертикальных перемещений, но и углов по ворота. Такая совместность определяет существование всех ком понентов деформаций и усилий, входящих в функционал полной потенциальной энергии; В КЭ Клафа соблюдается совместность

Информация об узле

	1
	1,1
1	=	1
/	=	i
	2
	2,1
1 =		2
/	=	1
	3
	1,2
1	=	1
/	=	2
	4
	2,2
1	=	2
/	=	2

	Обозначение
Степень свободы	аппроксимирую
	щей функции
wn	h
Wxii	/2
Wyll	/я
Wxyu	h
wn	h
U>X2l	h
&У21	fl
&ХУ21	h
Щ2	/9 \
wXl2	fio
Wyi2	h i
WXyi2	fl2
w22	/l 3
WX22	fu
&У22	fib
WXf/22	fib

Вид аппроксимирующей функции

tfo i.W tfoi(У) Нц (x) Hn (y) Hoi (x) Hn (y) Hn (x) Hn (У) H,,2 (x) Hn (y) Hn (x) Hol (y) H02 (x) Hn (y)

H±2 (*) Н1г (у)

Ho1 (x) HQZ (у)

Нц (x) Hot (У)

Hoi (x) H12 (y)

Hu (x) Hla (y)

HQ2 W и 02 (у)

Н\2 (x) Ног (У)

Hot (х) Нц (у)

Hi2 (х) Я12 (у)

только вертикальных перемещений; углы поворота (первые произ водные функции перемещений) на границах КЭ претерпевают раз рывы, что обусловливает несуществование на границах КЭ 2-х производных от перемещений, которые входят в функционал пол ной потенциальной энергии. Несмотря на это, последние теоретиче ские исследования показывают, что использование КЭ Клафа обес печивает сходимость решения задачи. Численные исследования под тверждают, что при решении задачи изгиба плит с одним и тем же общим количеством степеней свободы использование КЭ с шестнад цатью степенями свободы на более редкой сетке дает большую точ ность, чем использование КЭ Клафа на более густой сетке. Не смотря на это, КЭ Клафа широко используют в инженерной прак тике благодаря естественности и физической наглядности его степеней свободы.

§ 1 8 . Треугольный КЭ плиты

Для практических расчетов треугольные КЭ очень важны, так как с их помощью можно идеализировать плиту любой конфигура ции, сгустить сетку в местах ожидаемой концентрации напряжений, смоделировать отверстие и т. п. Треугольные КЭ, как и прямо угольные, могут быть совместными и несовместными. Так, совмест ному КЭ с шестнадцатью степенями свободы (в"узле принимается

.		л		dw		dw	d*w \
по 4 степени	свободы — да;				;	-щ	- ; ~хду J можно привести
в соответствие треугольный					КЭ	(в	каждом узле по 6 степеней
л	dw	i	dw	daw *	daw		daw \
свободы - w ; W				‘	’ I F	’	~дуг ) '
Аппроксимирующие
				полиномы,		соответствующие определенной

степени свободы, получают следующим образом. Записывают пол ный полином.5-й степени, содержащий 21 член:

ш (дс,		у) = а г + а 2х + а Зу + а 4л;г + аъху +		а ву2+
+ а 7х3 + а вх2у + аяху2+ а 10</5 + а п л:4 + а 12xsy +
+	а 13хгу2 +		а и ху3'+ а 1ьу* + а 16хь + а 17х*у +
		+ « 1в	+ а 1» * У + «г«ху* + а п уъ.	(5.21)
Поскольку в	каждом узле имеется по 6 степеней а ободы, то, чтобы
привести в	соответствие Еекюр коэффициентов аппроксимирую
щего полинома {а } с			вектором степеней CL обеды {д), нужны 3 до
полнительных		условия. Эти условия назначают из того, чтобы
вдоль, каждой стороны треугольника изменение ^				(п — нормаль

кстороне) представлялось в виде полинома 3-й степени координаты, отсчитываемой вдоль стороны. Эта кубическая зависимость одно значно определяется четырьмя величинами (первой производной по нормали к стороне и вмешанной производной) в каждой из двух соответствующих вершин треугольника. Условия обеспечивают не прерывность прогиба и углов поворота при переходе от одного КЭ

кдругому. Удовлетворение условия является преимуществом эле мента, так как обеспечивается принадлежность аппроксимирующих

функций к энергетическому пространству Н а , а следовательно, и су ществование функционала полной потенциальной энергии системы.

Следует ожидать, что такой КЭ имеет высокую степень сходи мости, соответствующую степени сходимости КЭ с шестнадцатью степенями свободы. С другой стороны, большое количество степе ней свободы в узле увеличивает порядок разрешающей системы уравнений и ширину ленты. Кроме того, этот КЭ нельзя использо вать в одном расчете совместно с прямоугольными КЭ, так как они различаются количеством степеней свободы в узлах. С этой точки зрения более удобен треугольный КЭ, имеющий по 3 степени сво

боды в узле i^W) . В определенном смысле его можно

считать аналогом прямоугольного КЭ Клафа.

В основе построения аппроксимирующих функций, соответствую щих девяти степеням свободы, лежит аппроксимирующий полином

3-й степени:	1			^'
w (х, у) =		oti +	а»х 4- а 3у +	а 4х2 + а Бхг/ + a ty2 -+-
	+	а 7х3	+ а 8* гУ + «9ху3 + « 10г/3.		(6.22)
Поскольку	этот	полином содержит		10 коэффициентов, то	чтобы

вектор (а) соответствовал вектору (<?}, необходимо дополнитель ное условие. Иногда предлагают принять его в виде а в = ccj. Но в этом случае при определенной ориентации сторон треугольника матрица [С] становится вырожденной. Конечно, возможны различные искусственные приемы, преодолевающие это затруднение

однако условие а 8 = а9 выглядит очень необос нованным.

Более естествен при ем, основанный на вве дении дополнительной Функции ф (х , у), кото рая не зависит от степе ней свободы узлов КЭ й

всегда равна нулю на его сторонах. -Каждая же аппроксими рующая функция, соответствующая q{-й (/ = 1, j>, ..., 9) степени сво боды, включает эту функцию с определенным ’ коэффициентом б,. Коэффициенты 6, находятся из условия ортогональности ф, и /, (t =

— 1, 2, ..., 9). Эго условие более естественно, так как соответствует общему духу вариационной постановки задачи

Рассмотрим треугольный КЭ Q (рис. 47). Функция перемещения и удовлетворяет на этом КЭ дифференциальному уравнению

Здесь		V V « = —			DР_ ••		(5.23)
Здесь				Eh?
		D =		Eh?			(5.24)
		D =	12 (1 -		р2) ’		(5.24)
			12 (1 -		р2) ’
р — нагрузка;		Е — модуль продольной				упругости; h — толщина
пластины; р — коэффициент Пуассона.
На Q определим скалярное произведение для любых двух функ
ций v, w,	принадлежащих пространству It^Q ):
[ о ,	w]	D \ l [ dx2 V dx2w +		dy2v ^ i w + l l ^ v ^ iW +
	+ k ' VdT*w) + 2 (1~			M	l ^	v - ^ - w } d Q .	(5.25)
Введем переменные в новых				координатах (рис. 48):
							(5.26)

Из выражений (5.26) получаем следующие зависимости:

L ]

~ 1

<9'

х2

х2Уз

(5.27)

U TI

ду>

Уз

Тогда

скалярное

произведение (5.25)

примет вид

\ г* дГ2Г

д2

/2 д

[v, W] =

D ^ [ a l l w

v - ^ w

a 12(-w

v 1 -;W

а2

а*

/ а 2

а2

+ и I F W + а1

я»

а2

+ “аг-^г и

+ “а

д^вц

V-^To-Wj +

a|ari wari2

а2

d£di),

(5.28)

”^ аз3

a|ari v а\дц

где

ОС22 — —

\ 0^23 —

2 '

* 3

а зз —

+ 2 ( 1 — IX)

4 —

*2^8

f/з

Зададимся по области Й' следующим законом перемещений

(рис. 48):

и =

сг +

с2% +

спц +

сА12 +

съЪц +

свТ)2 +

с 7£ 3

С8£ 2Т]

c9%v)2 + c10rf.

(5.29)

В каждом узле й' будем считать определенными 3 степени

свободы — перемещение

(и)

оба

угла

поворота

j .

Из выражения

(5.29)

получаем такую единственную функцию ф,

что если

переместить КЗ

й'

по ее закону, то все степени свободы

остаются

нулевыми:

ф =

1ц (1 — £ — л)-

(5.30)

Из условия

равенства

i -й (/ = 1, 2, 3) степени свободы в 6-м

(6 =	1, 2, 3) узле и раценства нулю всех остальных степеней сво
боды	получаем	9 функций,			определенных с точностью до слагае
мого б’лЧ. (бТ		=	const):
	/i1* =		1 - 3&2 -		Зг)2 +	2£*'+ 2ту> +		б^Ч;
		/i2) =		Уг (Я-	2.Т12 +	П* -	¥ч) + 6(Х2Ч;
/i8) = ** ( - 5 + 2£2 -				5s + £л2) + *э ( - 4			+ 2rj2 -	if + £2т]) + 6?Ч;
				/У* = 3\|* — 2\|* +			6(аЧ ;

			Г.	=		+	б(22Ч ;
	f ?	=	*2 (i2 -		Е8) -		Х3Ъ?Ч+ 6 i\ ;
		/ з'^ З ц 2 — 2г)3 + б(зЧ ;
		/з2> =		Уз (— Л1 +			Л8) +	6э2Ч ;
	/з3) = —^ Л 2 + хз (л2 — Л8) + 6(8)ф.								(6.31)
Константы	(i ,	k =	1,	2,	3) найдем из условия ортогональ
ности полиномов ?k и			яр,	т. е.
			6 i » _ .			1/1°. Ф1			С-32»
			6 i » _ .			т Ь г			С-32»
и [Ф* Ф] —		3 (а11 + а12 Ч- ®13 Ч" а22 Ч" ®гз Ч" 0»5®3з)>
			g(I)		__ а 11 Ч~а 12 .
			1			[ф. ф)		’
6(i ) = —	.И3	(«и Ч- 1 >5txl2 4- а13 Ч~ 2,5а22 -J- 1,5<х23 Ч~ 0,5а33)
	3[ф, Ф1

и т. д.

Определив 6[С\ переходим к построению

H = [ H k I, *2]*1, *2=i; Hkl,k2— [Hkl.fytl, f2=i;

матрицы жесткости:

г(П)

*i’, и — [/Au, Д?’].

(5.33)

Так, например,

t f l ; i - 6 « 1 1 + 6a,2- i 2 i H ; ».■) ! ,

я!;? = у3(а п + а 12 + 4а22 + а 23) — б^б^ М>, i|>] (5 -34)

И т. д.

Полученная матрица удовлетворяет условиям равновесия. При веденная методика основана на более логичных предпосылках, чем вольное приравнивание коэффициентов или отбрасывание отдель ных членов в полиномах, количество коэффициентов которых пре восходит выбранное количество степеней свободы для треугольного КЭ. И все же в ряде случаев использование треугольного КЭ о ап проксимирующими функциями (5.31) дает неприемлемые резуль таты. Это объясняется тем, что функции (5.31) не удовлетворяют условиям полноты, По-видимому; необходима дополнительная корректировка этих функций с учетом условий полноты.

§	19. Примеры расчета тонких пластин
Пример 11. ' Рассмотрим		квадратную	свободноопертую тонкую пла
стину под действием сосредоточенной силы,			приложенной в точке пересечения
осей симметрии	контура (рис.	4 9). М атериал пластины изотропен, коэффи
циент П уассона	р = 0 ,3 .

Область пластины удобно расчленяется на квадратные

КЭ, номера

ко

торых проставлены в скобках (рис. 49). Двойная симметрия

системы

п о зв о

ляет сократить

число неизвестных и рассматривать лишь четвертую

часть

об

л асти . Узлы

расчетной

схемы пронумерованы от 1 до 9.

степенями

сво

Д ля

расчета применим

прямоугольный

КЭ

с двенадцатью

боды. Следовательно,

каждому

узлу

нужно придать

степени свободы —

<Pxi*

Фyi

(* =

!»

2, 3 ,

4 ).

Число

неизвестных

перемещений определим с

учетом

симметрии

и граничных условий на контуре

пластины.

результате

останется

семь

неизвестных:

w2t Ф of

w5, ф

(при

этом

учтена и

диаго-

нальная

симметрия,

из

которой

следует,

чтоW4 = w2\ Фи4 *= ~~ФХ2* Ф ^ в

гу*

КЭ

подсчи-

= -фтх* з ’

^Уб

Ф *б *

^1/ 8 * “

ср

Коэффициенты жесткости

тываем для одного значенияm =

п н .

ф .

—

ш 1

из

табл.

Порядок

< / « ,

алгеб

формирования линейных

раических

уравнений

относи

(3)

тельно

неизвестных

перемеще

ний покажем на примере узла 2.

Первое

уравнение

в физи

ческом

смысле

является

урав-

(П

(2)

нением

равновесия

всех

сил,

приложенных

к узл у 2 ,

в прол

екции на

направление

переме

щения до2. В

состав сил

входят

реакции

дополнительной

связи

у зл а

возникающ ие

от

пере

мещений узлов КЭ (/) и (2),

которые

примыкают

к узлу

такж е

от

внешних

нагрузок.

ВКЭ (1) узел 2 имеет по

рядковы й индекс 3 (см .ри с.

45).

( .

матрице

ж есткости

(табл.

строка

реакции Rt в направле

Рис. 49

нии

линейного

перемещения

распол агается

под

индексом 7 .

в порядке

обхода

узлов

(рис.

45)

ум

Поэтому

узловые

перемещения КЭ(1)

ножаем

на

соответствующ ие

коэффициенты

ж есткости

йЭ

строки 7

матрицы

ж есткости:

Я(31>= Й71™« + *7вФ*4 + k1*<Pyi + *74®* + *75ф*5+ *7вфW+

ЬцЩ + *7вФжв +

*7»фу, +

* J,IO« ’i +

П ФЛ1 +

12Ф|/1-

(5.35)

Приняв

во

внимание,

что

=»= <ри

-= <р^ =

<рл

=* 0 ;

ш4 “

К>2;

ФУ4 =

— ф^а;

Фу« =

- 4 V

получим

= ^71

^?»Ф*2 + bltwt Ч" ^75фх6 — ^7C?XS 4" ^77®* *Н

*7вФл, +

А ,,10“’1-

После

подстановки числовых значений и приведения подобных

членов

реакция

принимает

вид

* 1 1 ) ------5

4 -56Ш1 +

1>9'l2w* - т

1 « « Ч

. -

4,Бв®ив +£ -

1 ,Б8фА5. _

П ереходя

к КЭ (2), применим аналогичную

процедуру.

этом

КЭ узел

2 имеет порядковый индекс 4

(рис. 46),

а в матрице

жесткости

искомая

реак-


ция занимает десятую строку		(табл. 9 ).	Отметим, что выражение		реакции
(5 .3 5 )	является результатом	умножения	соответствующ ей строки		матрицы
ж есткости на вектор-столбец узловы х перемещений				КЭ, записанных в порядке
обхода	узлов (рис. 45). Д ля	КЭ(2) вектор	узловы х	перемещений имеет вид

( и>ъ

Ф*5

Ф|/5

{?}(2) =

(5 .36)

Ф*8-

Ф*2

После умножения 10-й строки матрицы ж есткости на вектор-столбец. (5 .3 6 ), подстановки числовых значений и приведения подобных членов получим^

R ? = £ W .56® , +-	2,44фх2 +	■£• 2.14фЛ - Я 4 .5 6 ш6 +
+ —	2,7® . +	—	0,86® .
а		а1	т *в

У зел 2 свободен от внешних нагрузок, поэтому суммарную реакцию до

полнительной связи в направлении до2 приравниваем к нулю:

дО) + я<2) = о

Таблица И

Щ	1		**я.	wt		^хь	Правая
Щ	w9		**я.	wt		^хь	часть
.10 ,56	— 9,12	4,28	0	— 1,44	1,72	0	Ра
.10 ,56	— 9,12	4,28	0	— 1,44	1,72	0	W
							W
— 4,56	19,68	0,86	2,14	— 9,12	4,28	0,86	0
2,14	0,86	3,04	0,62	0	0,96	0,38	0
0	2,14	0,62	1,52	0,86	0,38	0,48	0
— 1,44	— 18,24	0	1,72	42,24	0	8,Г;6	0
0,86	4,28	0,96	0,38	0	6,08	1,24	0

0,86

0,38

0,48

4,1,248

3,04

Теперь можно записать линейное уравнение МКЭ в следующем виде:

4.56Ш ! +

1 9 ,6 8 *В,+. 0,86Фж2 +

2 , 1 ^

- ^

2ш6 +

-5 - 4,28ср^ +

0,86ф л

(5 .37)

Второе

уравнение

физическом

смысле

представляет собой

уравнение

равновесия

моментов,

приложенных

к узлу2

в .направлении

перемещения

Фх2* Процедура формирования полностью повторяет изложенную ст о й

разни

цей,

что

для

умножения

на

векторы-столбцы

узловых

перемещений

выбира

ются

уж е

8-я

и 11-я

строки

матрицы

жесткости

(табл.

9).

Так составляю т

уравнений

по числу

неизвестных

перемещений.

После

деления всех уравнений на величинуD получают

систему

линейных

алгеб

раических уравнений

относительно неизвестных

перемещений.

Чтобы

коэф

фициенты системы

(табл. И ) были безразмерными, дополнительно

выполняют

такую операцию: строки и столбцы,

соответствующие

линейным

перемеще

ниям wt,w2 и

wв, умножают на размер а стороны КЭ. Умножение

строк,

вклю

чая и

правые

части,

не

изменяет

неизвестных перемещений

xof,w2 и Доб»

умножение

столбцов

на

постоянную величинуа

уменьшает эти

перемещения

в а раз. Поэтому

полученные из

решения

системы

линейные

пере

мещения

следует ва раз увеличи

вать.

Следовательно,

искомые у з

ловые

перемещения

( Wx

0,1972а

0,1211а

Фдг2•

Ра

— 0,1148

— 0,1251

0>5

0 ,0 8 1 7 а

1.7

Фл

— 0 ,0 69 5

су

— 0,0868

OJMQJM

(5.38)

г ( Т

1м

Эффективность

аппроксима

ции

функции

прогиба

полиномом

Рис.

(5 .5 )

обнаруж ивается

уж е

том,

что

при

сравнительно

негустой

fc.

S£

Я*

Сэ

сетке

(рис,

49) погрешность в мак

кН-М

симальном

прогибе

по отношению

fST

Nr,

А1

к аналитическому

решению

этой

же

задачи

невелика

и составляет

6 .5 % .

Сгустив сетку

до

размеров

10 X

Ю,

можно

получить

прак-

Рис.

тически точное решение. Эта оцен

напряжений

у точки

ка, однако,

не относится к

усилиям в зоне концентрации

приложения

силы.

Такие

области

подлежат

специальному

исследованию,

выходящ ему

за

рамки

настоящ его пособия.

—

узловых

точ

ках

Погонные изгибающие и крутящий моменты (первые

КЭ, второй

—

в центре его тяж ести)

определяют с помощью

матрицы

по

гонных

моментов (5 .1 9),

(гл. 4),

МКЭ тесно

увязывают

с автома

Пример

12.

Как

уж е отмечалось

тизацией вычислительных операций на ЭВМ . Не прибегая к автоматическому составлению уравнений, получить решение удовлетворительной точности уда

ется, как правило, только ценой	больших еатрат времени и труда* да и то
лишь для ограниченного круга	сравнительно простых задач. В настоящ ее

время

исследователи располагаю т

довольно

обширным

фондом

программ

программных комплексов,

которые

значительно автоматизирую т

процессы

решения задач

с помощью МКЭ (см. гл* 10). Т ак,

при использовании

програм

много .комплекса «Супер-76» для ЭВМ

«М инск-32»

вручную

лишь формируют

расчетную схем у .

Рассмотрим шарнирноопертую по контуру квадратную тонкую плиту,*

находящ ую ся

под

Действием

равномерно

распределенной

нагрузкир =

0 ,3 ;

100

кН /м2,

М атериал

плиты

изотропен;

коэффициент

П уассона

|ы=

модуль

продольной

упругостиЕ =

2*.105М П а;

толщина

плитыh = 0 ,0 5 м.

чет

учетом

граничных

условий

симметрии

системы

рассматривалась

верть

области

(рис.

5 0 ),

разделенная

на

квадратных

К Э .

Расчет

проведен

по

программе

«Супер-76». Эпюры распределенного изгибающего

момента в пло

скости симметрии плиты показаны на

рис.

сплошной

линией.

Чтобы

про

иллю стрировать зависимость

степени

точности результатов от густоты сетки,

ту же задачу решили при

сетке 4

для

всей области .

Р езу л ь тат при

веден

на

рис.

51 штриховой

линией,

Глава 6. МНОГОСЛОЙНЫЕ БАЛКИ И ПЛАСТИНЫ

§ 20. Основные гипотезы и функционал полной потенциальной энергии для балки

Рассмотрим задачу о плоском изгибе балки (рис. 52), которая состоит из слоев различного материала, работающих совместно —

А-А

без отрыва и проскальзывания. Каждый слой k (k = 1, 2, ..., п) при толщине hk может быть переменным по ширине: bk = bk (z). В поперечном сечении балка может иметь отверстия, которые не на рушают ее симметрии относительно осй г.

В общем случае материал любого слоя обладает свойствами, переменными по его толщине, а также различными в направлении осей х и г, т. е. материал анизотропен. К анизотропным материалам относятся, в частности, современные композиционные материа лы — различного рода волокнистые пластики. У таких материалов низкие жесткость и прочность при сдвиге в плоскостях, нормаль ных к плоскостям армирования волокнами. Считая плоскости арми

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202221.8 Mб28Металлорежущие станки..pdf
#
15.11.202221.04 Mб10Металлургия технология угля и неметаллических полезных ископаемых3..pdf
#
15.11.202214.65 Mб50Металлургия цветных металлов..pdf
#
15.11.202220.79 Mб59Металлургия черных и цветных металлов..pdf
#
15.11.202218.69 Mб54Метод конечных элементов. Основы.pdf
#
15.11.20228.24 Mб32Метод конечных элементов..pdf
#
15.11.202225.35 Mб35Метод проекций с числовыми отметками в решении инженерных задач..pdf
#
15.11.20221.4 Mб21Методика расчета многоступенчатой газовой турбины..pdf
#
15.11.2022971.33 Кб10Методические рекомендации по выполнению лаборатор- ных работ по дисциплинам «Основы эксплуатации автомо- бильных дорог» и «Дорожные условия и безопасность движе- ния».pdf
#
15.11.2022971.33 Кб2Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисцип..pdf
#
15.11.2022336.86 Кб1Методические указания к выполнению курсовой работы по дисц. «Экономик.pdf