Статистическая механика композитных материалов
..pdfРешение задачи (5.10) представляется в виде
е°Ф = (ф</> + ЧГФ)>
где
|
|
|
|
00 |
|
|
|
ор |
|
|
|
ф </> |
= |
|
w |
= |
2 |
'И />; |
|
||
|
|
|
i=i |
|
|
i=i |
|
|
||
|
Ф\п = |
def j G</> (х, |
х 'И у в 0)' dV'; |
|
||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
Ф(/> = def J G(/> (X , |
х 'И у в 0- .ф (Д ) ' dVr; |
i= 2, |
3, |
|||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 \ n = |
def j G(/> (x, |
x') • (v • e (iV dV'\ |
' |
||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
V{/J =def j |
G</)(x, |
x')• [у • 0*’ • • |
(Ф ^, |
+ ^ O J 'd F ; |
||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 — 2, |
3, . |
|
|
|
|
|
e (i> = |
- |
2 |
e X (,) + |
2 |
C t < A**(/) > . |
|
||||
|
|
|
fc=i |
|
|
ft=i |
|
|
|
|
Тензор |
Грина G(^ (x, x') |
находится из уравнений |
||||||||
уС Ф • • vG‘/> (х, |
х') = |
— Еб (х — х'); |
Gii) \s = 0, |
|||||||
где СФ = |
< 0Ф ) . Деформации еФ |
равны еФ = S 0(/). .р |
||||||||
или еФ = |
S°liy• -рФ в зависимости от |
граничных |
условий, |
|||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рф = |
2 |
|
|
|
|
- |
< § л * (/) > • |
|||
|
|
А=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для макроскопических модулей упругости справедливы |
||||||||||
соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с °ф = |
сф + |
< 0°+е«Я)..(ф<я + |
у (я) > . |
|
Изложенный метод решения статистической краевой задачи теории упругости композитной среды с повреж дениями аналогичен методу упругих решений в теории малых упругопластических деформаций [34], посколь ку повреждения фактически вводятся через объемные
171
силы, Вычисления согласно этому методу заканчива ются, как только с заданной точностью будут найдены величины ра) или е<л
Макроскопические модули упругости двухкомпо нентного материала с повреждениями типа пор. Пусть Р 1 , Pz, Q — объемные концентрации прочных элементов
структуры компонентов 1, 2 и пор. Для простоты запи
си здесь опущены верхние индексы, |
указывающие но |
|
мер итерации при учёте |
перераспределения напряже |
|
ний; PI+ />2 +Q = 1- Введем соответствующие этим |
||
величинам индикаторные |
функции |
A,i(x), Я,г(х), Я*(х); |
<Я1 > = Л ; <Kz> = P2', <A*>='Q. Средние модули уп
ругости среды с повреждениями
|
|
|
|
С = № |
+ 0^2, |
|
(5.11) |
||
где |
Cj=<6t>. |
В |
дальнейшем |
будем |
рассматривать |
||||
случай, |
когда |
модули упругости — детерминированные |
|||||||
и изотропные тензоры. |
|
|
среды |
тензор Грина |
|||||
Для хаотически армированной |
|||||||||
G(x, |
х') |
содержит |
средние |
постоянные Ламе l= hP i+ |
|||||
+ I2P2) |
m= m1P1+ m2P2- |
Поправки |
корреляционного |
||||||
приближения к средним |
модулям |
объемной деформа |
ции и сдвига для среды с повреждениями отличаются от поправок для сплошной среды лишь значениями кор реляционных моментов упругих свойств.
В общем случае корреляционный |
момент |
упругих |
|
свойств среды с повреждениями |
|
|
|
<е°е°' >= (Cj—С2) (с; - с2') р,рг + |
|
||
+ (CiC[Pi + C2C'2P2)Q. |
(5.12) |
||
Действительно, |
|
|
|
( 0°0О/ ) = CtCi |
( A,j2 ) +С2С2 |
( А.22 ) -f- |
|
+ ( С А |
+ С А ) ( %\%2 ) » |
|
|
где |
|
|
|
< С > = Pk (1 - P k ) = PiPz + PkQ; k *= 1, |
2; |
<xX>=-p,pt.
откуда после преобразования получаем формулу (5.12).
172
В результате находим макромодули объемной "деформа ции и сдвига хаотически армированной двухкомпонентной среды с повреждениями:
К° = К — [K**PiP2 + (KiPi+KlP2)Q\ (/C+4/3G)-1;
G °=G - 2/5 (К + 2G) [G^Pfz + |
, |
, |
(5-13) |
|
(G?P1+GiPa) Q) x |
||||
xKK-M/SGjG]"1. |
|
|
||
Здесь K^KiPi+KzPz, |
G=G1P1 + G2P2; K * = K i~ K 2, G*= |
|||
=Gt — G2; KI, K2, Git |
G2— модули |
объемной |
деформации |
и сдвига компонентов. Выражения для соответствующих величин в произвольной итерации / получим, поставив над К, G, Ри Р2, Q индекс (/).
Выражения для модулей с учетом моментов более высоких порядков не приводятся ввиду громоздкости.
Аналогично вычисляются макроскопические модули однонаправленно армированной среды с изотропными компонентами. В данном случае в формулах для попра вок корреляционного приближения^ (3.26) следует за
менить центральные моменты вида |
С*Ю\ на выраже |
||||
ния |
вида (5.12) |
и ввести |
средние |
модули |
согласно |
(5.11): |
|
|
|
|
|
C]ui = l + 2 m + q {(/* + |
n f f PtP2 + £(/t + |
/n4)2 Pt+ |
|||
|
+ (k+ n k fP d Q} + g [/n*2PiP2 + |
(rfPi+mlPz) Q]; |
|||
|
Ciiaa = l + |
q {(l* + 0 |
2PtP2 + |
[ (/1+ m 1)2P i+ |
|
+ |
(4 + m2f P 2\ Q) — g [tn*2P{Pz + (mlPi+mlPz) Q]; (5.14) |
C°m3 = l + q{l*(l*+т*)Р,Р2 +
4-14 (4 4" щ) Pi 4- 4 (4 4“ пь) P2] Q}*
G3333 = / 4- 2m 4 - q ll**PiP2 + G2IPI4-/2P2) Ql;
G2323 = tn + f [m*2P tP2 4 - {miPi+mlPz) Q].
Вычисления показывают, что пористость особенно сильно влияет на свойства в плоскости, перпендикуляр ной волокнам. Влияние пористости Q=0,05 на модули Юнга вдоль волокон и перпендикулярно волокнам при различном содержании стекловолокна в стеклопластике
173
Е-Ю~Ю,Ш 2
Рис. 32. Влияние пористости Q= 0,05 на модули Юнга однонаправленного стеклопластика вдоль волокон (/) и перпендикулярно волокнам (2).
Штриховые линии — без учета пори-
Ofi 0,5 0,6 0,7 Р
27-63С показано на рис. 32. |
Экспериментальные точки |
с 95%-ными доверительными |
интервалами (отмечены |
штрихами) указаны по данным ,[129].
Средние напряжения в компонентах поврежденного материала. Поскольку (см. п. 1 гл. 4) для вычисления средних напряжений в компонентах требуются те же интегралы, что и при вычислении поправок, нетрудно обобщить процедуру, изложенную выше, на вычисление
величин вида С*- • < > , входящих в выражение для напряжений в компонентах. Эта процедура сводится в конечном счете к замене центральных моментов второго порядка упругих свойств. В результате для средних на пряжений в компонентах хаотически армированной среды (с учетом лишь корреляционного приближения) получим
|
|
= Ри + |
Р к1{КеааЬи + 2F"heu), |
(5.15) |
где |
при k = l, |
2 |
|
|
Fk = ( - l)fc+1 (К* - |
2/3G*)P,PZ+ ( К , - 2/3Gh)PhQ- |
|||
- |
1/15 { [(-l)ft+i K*PtPz + KkPhQ] 15K - 4 (K+ 2G) x |
|||
|
x [ ( - |
G*PJP2 4- GkPkQ\} (/C+4/3G)-1; |
||
|
F"k = ( - 1 |
)h+'G*PlPz + GkPhQ - 2/5 {K + |
2G) x |
|
|
X [(—l)h+ 1G*P,P2 + GhPhQ] (K + 4/3G)-1. |
Приведем также соотношения, необходимые для вычисления средних напряжений в компонентах одно
174
направленно |
армированной |
среды |
с повреждениями |
||
типа пор: |
|
|
|
|
|
p\V = Ри + V |
{ [(-l)ft+1 l*PiPz + |
lhPkQ] е ^ и |
+ |
||
+ 2 [ ( - |
l)ft+I m*/\P2 + mhPhQ] еи + [ ( - l)fi+> х |
||||
X{l* + 2m*) Р,Р2 + (/„ + |
2 mh) PhQ] [l (/ааРрефф + |
||||
^ a a fiy |
$ i j “Ь 2m ( 7,;аа6фф-|-/;^убСу{)]}, |
(^' ) |
где
1-f- 5m
11111 = ^2222 = — v8 m (/ + 2 m)
со |
CO |
со |
11122 = ^*2211 ~ л |
1+ m |
r |
—^2112 |
—A |
л |
v» 1 1212 |
|||
8 |
m(l + 2 m) |
|
|
/ -f 3m
8m (l + 2m)
Композитные Среды с повреждениями типа трещин.
По аналогии с действием, дислокаций (согласно А. М. Косевичу [160]) действие повреждений на напряженное и деформированное состояние среды сводится к дейст
вию объемных сил |
с плотностью —Е у в --ci>i(1)6(x—х*). |
||||||||
Система уравнений, |
описывающих |
напряженное |
и де |
||||||
формированное |
состояние |
среды |
с трещинами, |
имеет |
|||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у . | (1) — 2у .0 . •со(11)6(х — х*) = 0; |
|
|
|||||||
e(1) = defx(1); |
6 “ >= 0 |
- •е(1>. |
|
^5Л7^ |
|||||
Решение ее |
относительно флуктуаций деформаций нахо |
||||||||
дится в форме |
е0(1) = |
Ф- -е(,> + |
Ч*41’ • -е, |
|
|
|
|||
где |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч"1’ = — def 2 |
f G(х, |
х 'И у в - - |
(Ь-Ф)]*6 ( х - |
х*) dV' |
|||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
(5.18) |
Функционал Ф находится по формуле |
(2.71), |
I — еди |
|||||||
ничный тензор четвертого ранга: е = |
I - - е; |
е = (ei}). |
|
||||||
Функционал Ч'41’ |
записываем следующим образом: |
|
Ч"1»= — Е- fdefv'-[G -e- • (1 + Ф)]'б(х — x*)dV' +
17S
+ 2 J def (v'-G)•[©••(! + Ф)]' 6 (x — x*) dV' =
V
- 2 j*def n'-[G-9- • (I + Ф )]'б(х — x*)dS' —
— S j yd ef G- в '• • (I + Ф)' 6 (x — x*) dV'
V
Первое слагаемое в правой части равно нулю на основании свойств функции Грина. Кроме того, функ цию у* def G представляем в виде суммы сингулярного и регулярного слагаемых:
y-defG(x, х') = GcS(x — х') + Gp(x, х').
Тогда интегрирование дает
» = —2Gc6 (х - х*).в* • • (I + Ф*) — 2G; -. 0* • • (I + Ф*)•
На основании этого деформация среды |
|
||
8(1>= 8 + |
е<u- |
— SGcГб (х - |
х*), |
тде гг1) =Ф - П е р в о е |
слагаемое равно |
деформации |
|
сплошной среды, |
второе дает дополнительную дефор |
мацию в точке за счет увеличения средней деформации в результате разрушений, третье характеризует влияние на деформацию в данной точке повреждений в соседних
точках, нако.нец, четвертое учитывает |
разрывы. Таким |
же образом записывается деформация |
среды с трещи |
нами в произвольном приближении. |
|
Далее вычисляются напряжения | (1)', |
|й!), проверяются |
условия прочности компонентов, находятся поврежденности
«со<2>= е(1) (х*) и деформации е(1)'
Для произвольного приближения / можно записать
8 °<Р = ф . -е(Р + |
- -е(/_1>; |
|
|Ф = 0 . .[(I + ф). .е<Р + |
ЧГ</>- •е(/"1)]; |
(5.19) |
+ Х(о(Р (х*) б (х — х*).
376
В приближении / решается система уравнений вида
(5.17) |
с объемными силами |
— Б у в • • о (/)б(х — х*), |
|
поэтому выражение для Ч?(^ |
имеет вид (5.18) |
и изменяют |
|
ся лишь точки М(х*). |
продолжается |
до тех пор, |
|
Итерационный -процесс |
|||
пока |
не будет 'найдена с заданной точностью величина |
При этом е<я»е(Ы).
В отличие от модели разрушения, исследованной в работе [165], модули упругости 0 и С здесь рассматри ваются неизменными во всех приближениях. Это соот ветствует предположению о малости величины Qv. Если такое предположение не оправдывается, необходимо учитывать изменение свойств 0 и С в результате обра зования пустот.
Граничные условия, используемые при вычислении величин е<я, вводятся так же, как в работе [165]. Суще ственным является то, что -макроскопические модули упругости, вычисляемые по формулам вида
С° = С + < 0°..(Ф + ЧО>,
оказываются зависящими от напряженного состояния. Для хаотически армированной среды тензор С° остается изотропным только при всестороннем равномерном рас тяжении-сжатии. Во всех других случаях тензор С° при обретает тот или иной вид в зависимости от приложен ной нагрузки.
Решение краевой задачи для среды с трещинами (5.19) дает предельные состояния /?*, начиная с которых последовательность е, eW, е(2), становится расходя щейся. Следовательно, начиная с некоторого значения z*, расходится ряд, задающий меру микроловрежденности z. По .совокупности предельных напряженных со стояний строится уравнение предельной поверхности макроскопического разрушения. Однако надо иметь в виду, что построенный таким образом критерий макро скопического разрушения будет справедлив лишь для однократного нагружения (или многократного при не изменном напряженном состоянии). Повторное нагруже
12. Зак. 674 |
177 |
ние другой системой сил приводит к иному характеру микроповреждений, поэтому имеющаяся поврежденность со должна учитываться как начальная.
Расчет диаграмм |
деформирования и поврежденно- |
сти. Рассмотрим [166] |
одноосное растяжение вдоль оси |
х х тела (образца) из |
двухкомпонентного хаотически |
армированного (изотропного) материала. Пусть модули
упругости материала, |
отнесенные |
к элементам струк |
туры,— статистически |
однородные |
и эргодические |
случайные^поля. Напряжения и деформации, отнесенные к элементам структуры материала,— также случайные поля, характеристики распределения которых находятся в результате статистических краевых задач теории уп ругости (гл. 2 ). Если распределение напряжений в ком
поненте &= 1 , 2 нормальное с параметрами р(п \ S (M , T O , принимая, согласно работе [54], ответственными за разрушение растягивающие напряжения в элементах структуры, вычислим вероятность разрушения компо нента по формуле
Qk == |
- L |
|
+ |
|
(5.20) |
|
|
ф |
( . А |
к ) |
|
|
2 |
|
I |
я«> |
) |
где Ф (г) — функция Лапласа; |
р<*> — предел прочности при |
растяжении компонента к.
Величина Qh представляет собой долю разрушенных элементов структуры компонента к. В дальнейшем бу дем полагать, что разрушенный элемент структуры пол ностью теряет несущую способность, т. е. анизотропию сопротивления элемента с трещиной учитывать не бу дем. Если Р\ и Я2— объемные доли компонентов в ма териале, то по формуле полной вероятности найдем меру поврежденное™ материала
Q — P\Qz + Я2Q2*
Доля прочных элементов структуры компонента к равна
Pb = Ph( l - Q h).
Разрушение части элементов структуры приводит к перераспределению напряжений. Это можно учесть, по строив решение статистической краевой задачи теории упругости для среды с повреждениями типа пор (5.9).
178
Заметим, что итерации по К° и б*'* строятся независимо,
поэтому каждому б,(/) соответствует ряд по К0 Первый член этого ряда дает удовлетворительные результаты, если свойства компонентов отличаются несущественно и
величины Р\, Рч близки к 0,5. |
Он соответствует корре |
|||
ляционному |
приближению |
в |
терминах |
моментных |
функций. |
|
|
|
(с учетом по |
Для макромодулей по формуле (5.13) |
||||
вреждений) |
в произвольном |
приближении / получаем |
Я°Ф = ДФ — [К*2Р(рР{Р + Q‘/> (К]Р\П+
+ K W ) \ (ЮР + 4/3G1/»)-1;
С°Ф = G(P — 2/5 (ЮР + 2G'/>) [G^P^P^ + (G]P^]+
+ G|P(2,-)) Q'/’j [G</> (ЮР + 4/3G'/»)]-1,
где
K</> = KjPV’) + KsPV*; |
G(P = |
GjPV* + |
G ^ ; |
= Ph П (i - Q P ); |
Q(/) = |
i - P P - |
P(2n |
1=1 |
|
|
|
Переход к модулям Юнга и коэффициентам Пуассона осуществляется по формулам
£0(/) = |
9/С0(/> |
G0^ |
. |
пЧП = |
3/С°</> — 2G°</> |
" |
3/С0(/) |
+ G0^ |
’ |
Л |
2(3/C0(/) + G0</)) |
Если нагружение производится по способу монотон ного увеличения перемещений, то средние (и макроско пические) деформации еп остаются в итерациях неиз менными. Напряжения и поперечные деформации изме няются, поскольку изменяются макроскопические по стоянные упругости E°w и п°{.у
Р<П = еиЕ°“'-, еЩ = еЦ>='-п*Ре
где рФ = р’ФРФ + р’Ф'фФ; р\ : 11 — средние напряжения
в среде с повреждениями, вычисленными по формуле (5.15). Имея в виду лишь иллюстрацию сходимости решения, из ложенного выше, деформации (продольные и поперечные) в обоих компонентах считаем нормально распределенными,
12* |
179 |
их дисперсии равными и не зависящими от нагрузки. Коэф фициенты корреляции между продольными и поперечными деформациями принимаем равными' нулю. На основании этого дисперсии напряжений в компонентах записываем так:
sW)2 = l(Kh + Ghf |
+ 2 (Kh- 0*)*] LUii, |
где LnH — дисперсия |
деформаций. Кроме того, ввиду |
линейной связи между напряжениями и деформациями в компонентах принимаем нормальный закон распреде ления напряжений. Тогда* вероятность разрушения эле ментов структуры (можно вычислить по формуле (5 .2 0 ).
Дисперсии напряжений в компонентах считаем неиз менными в каждом приближении. Физически это озна чает, что концентрация, напряжений, обусловленная появлением трещин, не учитывается. Такое допущение
на первый взгляд может |
показаться грубым, однако |
|
можно указать |
на процесс |
разрушения «перегружен |
ных» элементов |
структуры, |
«выравнивающий» неодно |
родное поле напряжений.
Вычисления проводятся до тех пор, пока полученное значение будет отличаться от предыдущего не более чем на заданную малу^о величину. Сходимость последова тельности приближений в общем случае не исследована, однако результаты проведенных расчетов показывают, что для некоторых материалов эта последовательность сходится достаточно быстро, и уже во втором приближе
нии получаем напряжения р и с точностью не ниже 2 %.
Эти значения |
принимаем |
в качестве |
истинных напря |
|
жений, а величину QW— в качестве меры микроповреж- |
||||
денности материала. В результате |
последовательного |
|||
увеличения деформаций |
еп |
(или перемещений щ) об |
||
разца строим |
зависимость |
Рп=р п (£ ц )— диаграмму |
||
растяжения. Наибольшее |
из значений |
напряжений р \х |
назовем макроскопическим разрушающим напряжением при растяжении. Поскольку «нагружение» осуществля ется по мягкому способу — путем увеличения переме щений, то в результате вычислений удается построить участок диаграммы деформирования за пределом проч ности и постепенно достичь Q= 1, при этом рп =*0. Кро ме того, ввиду единственности решения упругой задачи участок диаграммы растяжения должен быть одинако
во