Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од

ном xn

=

n

имеет предел, равный

1

.

2n +1

2

всех значениях

n

>

N

(

ε

)

выполняется неравенство

x − 1

< ε.

n

2

Найдем абсолютную величину разности

n

−

1

=

−1

=

1

.

2n +

2

(

)

(

2n +

)

1 2

2n +

1

2

1

Таким образом,

неравенство

xn

−

1

< ε выполняется,

если

2

1

< ε, откуда n >

1

−

1

. Поэтому в качестве N (ε)

мож-

2

(

)

2n +1

4ε

2

но взять целую часть числа

1

−

1

; т.е.

N = E

1

−

1

.

4ε

2

4ε

2

Итак, для любого ε

найдено такое N (ε) , что из неравенства

n > N следует справедливость неравенства

x

−

1

< ε,

а это оз-

n

2

начает, что lim

n

=

1

.

2n +

1

n→∞

2

Теперь, чтобы лучше уяснить приведенные рассуждения,

рассмотрим числовой пример: пусть выбрано ε

= 0,003, тогда из

1

1

250

1

N = E

−

= E

−

= E (82,833...) = 82 .

3

4

0, 003

2

2

Значит, для всех номеров n, больших, чем 82 при ε

= 0,003,

неравенство

x

−

1

< ε

будет

выполняться.

Начиная

с

83-го

n

2

1

− 0, 003;

1

+ 0, 003 ,

т.е. в интервале (0, 497;0,503) . Убедимся

2

2

сначала, что при n < 82 неравенство

x

−

1

< ε

не выполняется.

n

2

Пусть,

например,

n =

80 .

Тогда, поскольку

xn

=

n

, полу-

2n +1

чим, что x

=

80

=

80

,

2 80 +1

80

161

80

−

1

=

1

, а

1

> 0, 003 ,

161

2

322

322

n = 81 , то x =

81

=

81

,

2 81 +1

81

163

81

−

1

=

1

> 0, 003 .

163

326

2

Из этих расчетов видно,

что когда номер n члена последо-

вательности меньше 82 (n = 81, n = 80) , неравенство

x

−

1

< ε

n

2

не выполняется:

вместо

того, чтобы

разность

xn

−

1

была

2

меньше 0,003, мы получили

xn

−

1

> 0,003 .

2

Если

же

взять,

например,

n = 83 ,

то

x

=

83

и

83

167

83

−

1

=

1

, а

1

< 0, 003 ,

и неравенство

x

−

1

< ε

выпол-

167

2

334

334

n

2

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

1. δ

(дельта) – окрестность

Для любого δ

> 0 интервал

точки x0:

(2.23) оси OX называется δ -ок-

x − x0

< δ или

рестностью точки x0.

x0 − δ< x < x0 + δ.

(2.23)

Рис. 2.2

2. Символическая

запись

Точка x0, к которой стре-

предела функции в точке:

мится независимая перемен-

lim f (x) = A

(2.24)

ная x, называется её предель-

x→

x0

ной точкой.

A – предел функции f (x)

при x → x0 (x стремится к x0).

3. Символическая

запись

Определение

определения предела функции

(на «языке ε − δ » или по

в точке:

Коши)

lim f (x) = A

Число A называется преде-

x→

x0

лом функции f (x)

при x → x0,

( >ε

0

(

)

0 ,

если для любого сколь угодно

δ>ε

x :

x−

x0<

δ, x ≠

x0

малого положительного числа

ε существует такое положи-

f (x) − A

< ε)

(2.25)

тельное число δ , зависящее

от ε , что для всех x ≠ x0, удов-

летворяющих

неравенству

x − x0

< δ, выполняется нера-

венство

f (x) − A

< ε .

Замечание 1

x ≠

Условие

x − x0

< δ,

x0 ,

в определении предела функ-

ции можно записать так:

0 <

x − x0

< δ.

Следует обратить внимание

на то, что в этом определении

не требуется, чтобы функция

была задана и в предельной

точке; нужно только, чтобы

функция была определена в ка-

кой-нибудь окрестности пре-

дельной точки, но не обязатель-

но в самой точке.

Замечание 2

Отыскание предела

функ-

ции, определенной в некоторой

окрестности точки x0, но не в

ней самой, и будет составлять

одну из важнейших задач тео-

рии пределов.

4.

Геометрический

смысл

предела функции при x →

x0.

Если выполняется равенст-

во (2.24), то точки графика

функции

y = f (x) должны

на-

ходиться в полосе шириной 2ε ,

ограниченной прямыми y = A−ε

и

y = A + ε, для всех значений x,

удаленных от точки x0 не далее,

чем на δ

(рис. 2.3).

Рис. 2.3

При

δ →

0 , в случае непре-

рывных функций, величина ε

будеттакже стремиться к нулю.

5.

0 < x0 − x < δ

Совокупность

чисел

x,

или

удовлетворяющих

неравенству

− δ< x < x

(2.26)

(2.26),

называется

левосторон-

x

0

0

ней δ -окрестностью

точки

x0

(рис. 2.4).

Рис. 2.4

6.

0 < x − x0 < δ

Совокупность

чисел

x,

или

удовлетворяющих

неравенству

< x < x

+ δ

(2.27)

(2.27),

называется

правосто-

x

0

0

ронней δ -окрестностью точки

x0 (рис. 2.5).

Рис. 2.5

7.

Независимая переменная x

lim

f (x) = f (x −0) = B

– (2.28)

приближается к

x0 слева

x→ x−

0

0

1

(рис. 2.6), оставаясь меньше x0.

0

(x<x0 )

предел функции слева (или ле-

восторонний предел).

8. Символическая

запись

Определение

определения предела функции

Число B1 называется преде-

слева:

лом функции f (x) слева, если

lim

f (x) = B1

для любого сколь угодно мало-

x→

0

го положительного числа ε

су-

x− 0

( x<x0 )

ществует такое положительное

( >ε 0

δ>(ε) 0,

число δ , зависящее от ε , что для

(2.29)

всех x, удовлетворяющих ус-

x, 0< x0− x< δ

f (x) − B1

<ε).

ловию

0 < x0 − x < δ

( x < x0 ) ,

выполняется

неравенство

(x0 −δ< x < x0 )

f (x) − B1

< ε.